3.2 一元二次不等式及其解法（2）同步学案

高二数学 必修5 第三章 §3.2 一元二次不等式及其解法(2)
班级 姓名
学习目标
1. 巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；
2. 进一步熟练一元二次不等式的解法；
3. 理解分式不等式、无理不等式等不等式的解法
学习过程
探究一：三个“二次关系”
例1、已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是{x|x<－2或x>－}，求不等式ax2－bx＋c>0的解集．
小结：二次不等式给出解集，既可以确定对应的二次函数图象开口方向（即a的符号），又可以确定对应的二次方程的两个根，由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式，或通过代入法求解不等式.探究二、简单分式不等式的解法
例2、（1）解分式不等式； （2）解分式不等式．
变式1、已知不等式<1的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)，求a的值.
小结：归纳分式不等式的解法：
将分式不等式转化为整式不等式：
① ②
③ ④
探究三：不等式恒成立问题：
例3、当取什么值时，一元二次不等式对一切实数都成立？
变式2、当取什么值时，的解集为空集？
课后作业
基础训练题
1．不等式＜0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(0，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－1,0) D．(－∞，－1)
2．不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x＞3或x＜－2}，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是(　　)
A．y＝2x2＋2x＋12　　　　　　　 B．y＝2x2－2x＋12
C．y＝2x2＋2x－12 D．y＝2x2－2x－12
3．下列不等式的解集是?的为(　　)
A．x2＋2x＋1≤0　　　 B.≤0 C．()x－1＜0 D.－3＞
4．设集合A＝{x|x>3}，B＝{x|<0}，则A∩B＝(　　)
A．? B．(3,4) C．(－2,1) D．(4，＋∞)
5．如果A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝?，则实数a的集合为(　　)
A．{a|0＜a＜4} B．{a|0≤a＜4} C．{a|0＜a≤4} D．{a|0≤a≤4}
6．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　)
A．100台 B．120台 C．150台 D．180台
7．不等式＞0的解集是________．
8．若关于x的不等式－x2＋2x＞mx的解集是{x|0＜x＜2}，则实数m的值是________．
9．已知f(x)＝ax2＋ax－1，若f(x)<0在R上恒成立，则a的取值范围为________．
10．解不等式
(1)≥0； (2)＞1.
11．已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．
二、提高训练题
12．在数列{an}中，a3＝2，a7＝1，如果数列是等差数列，那么a11等于(　　)．
A. B. C. D．1
13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．
已知数列{an}是等和数列，且a1＝－1，公和为1，那么这个数列的前2 011项和S2 011＝________.
14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．
1
2　3
4　5　6
7　8　9　10
11　12　13　14　15
根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________．
必修5第三章 §3.2 一元二次不等式及其解法（2）参考答案
例1、解：∵ax2＋bx＋c<0的解集是{x|x<－2或x>－}，
∴a<0，且－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴有即
不等式ax2－bx＋c>0可化为x2－x＋<0，
即x2－x＋1<0，解得∴不等式ax2－bx＋c>0的解集是{x|1、答案：D
2、解析：选D.由题意知－2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，得－2＋3＝－，－2×3＝.∴m＝－2，n＝－12.因此二次函数的表达式是y＝2x2－2x－12，故选D.
3、答案：D
4、解析：B＝{x|1∴A∩B＝{x|3答案：B
5、解析：当a＝0时，有1＜0，故A＝?.当a≠0时，若A＝?，
则有?0＜a≤4.
综上，a∈{a|0≤a≤4}．
答案：D
6、解析：3000＋20x－0.1x2≤25x?x2＋50x－30000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150.
答案：C
7、解析：不等式＞0等价于(x－2)(x＋4)＜0，∴－4＜x＜2.
答案：(－4,2)
8、解析　由题意知0和2是方程－x2＋2x＝mx，
即x2＋2(m－2)x＝0的两根，由0＋2＝－2(m－2)得m＝1.
答案　1
9、解析：ax2＋ax－1<0恒成立的充要条件是
或a＝0
解得－4答案：－410、解　(1)原不等式等价于
解得x≤1或x＞2，
∴原不等式的解集为{x|x≤1或x＞2}．
(2)原不等式可改写为＋1＜ 0，即＜0，
∴(6x－4)(4x－3)＜0，∴＜x＜.
∴原不等式的解集为.
11、解：当a＝0时，
不等式为－x－1＜0?x＞－1不恒成立．
当a≠0时，不等式恒成立，则有
即
?
??a＜－.
即a的取值范围是(－∞，－)．
12、解析　设bn＝，则数列{bn}是等差数列，由等差数列的性质可知b3，b7，b11成等差数列，又b3＝＝，b7＝＝，所以b11＝2b7－b3＝，所以＝，解得a11＝.
答案　B
13、解析　a1＝－1，a2＝2，a3＝－1，a4＝2，…，
∴a2 011＝－1，∴S2 011＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 009＋a2 010)＋a2 011＝1 005×1＋(－1)＝1 004.
答案　1 004
14、解析　该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n行有n个数，则第n－1(n≥3)行的最后一个数为＝－，则第n行从左至右的第3个数为－＋3.
答案　－＋3