3.2 一元二次不等式及其解法（3）同步学案

高二数学 必修5 第三章 §3.2 一元二次不等式及其解法(3)
班级 姓名
学习目标
1. 巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；
2. 进一步熟练一元二次不等式的解法；
3. 了解含参数的一元二次不等式的解法及分类讨论的思想。
学习过程
类型一：含参数的一元二次不等式的解法
例1、解关于的不等式：
变式1、已知不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}．
(1)求a、b的值； (2)解不等式ax2＋bn＜(an＋b)x.
变式2、解关于x的不等式＞a.
类型二：不等式恒成立问题
例3、设对于一切都成立，求的范围．
例4、(选讲)已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．
小结：含参数的一元二次不等式的解法就是要对参数进行分类讨论从而得出结果
课后作业
基础训练题
1．若0＜t＜1，则不等式(x－t)(x－)＜0的解集为(　　)
A．{x|＜x＜t} B．{x|x＞或x＜t} C．{x|x＜或x＞t} D．{x|t＜x＜}
2．关于x的不等式＜0, a＋b＞0的解集是(　　)．
A．{x|x＞a} B．{x|x＜－b，或x＞a} C．{x|x＜a，或x＞－b} D．{x|－b＜x＜a}
3．当a＜0时，关于x的不等式(x－5a)(x＋a)＞0的解集是________．
4．求不等式ax＋1＜a2＋x(a∈R)的解集．
5．解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0(a∈R)．
二、提高训练题
6．已知等差数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）、把数列的第1项、第4项、第7项、…、第3n－2项、…分别作为数列的第1项、第2项、第3项、…、第n项、…，求数列的前n项和；
7．设等比数列的首项，前n项和为，且，
且数列各项均正。
（1）求的通项； （2）求的前n项和。
必修5第三章 §3.2 一元二次不等式及其解法（3）参考答案
变式1、解　(1)因为不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}，
所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个根且a＞0，b≥1.
由一元二次方程根与系数的关系式
，解得，所以a＝1，b＝2.
由(1)知a＝1，b＝2，故原不等式可化为x2－(2＋n)x＋2n＜0，
即(x－2)(x－n)＜0.
①当n＞2时，原不等式的解集为{x|2＜x＜n}．
②当n＝2时，原不等式的解集为?.
③当n＜2时，原不等式的解集为{x|n＜x＜2}．
变式2、解　将原不等式移项、通分，化为＜0.
若a＞0，有＞1，原不等式的解为：1＜x＜；
若a＝0，有＜0，原不等式的解为：x＞1；
若a＜0，有＜1，原不等式的解为：x＜或x＞1.
综上所述，原不等式的解集
当a＞0时，；当a＝0时，{x|x＞1}；
当a＜0时，
例4、解　(1)不等式化为：(x－1)p＋x2－2x＋1>0，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－2x＋1，
则f(p)的图象是一条直线．又因为|p|≤2，
所以－2≤p≤2，于是得：
即
即∴x>3或x<－1.
故x的取值范围是x>3或x<－1.
(2)不等式可化为(x－1)p>－x2＋2x－1，
∵2≤x≤4，∴x－1>0.
∴p>＝1－x.
由于不等式当2≤x≤4时恒成立，
所以p>(1－x)max.
而2≤x≤4，所以(1－x)max＝－1，
于是p>－1.故p的取值范围是p>－1.
1、解析：选D.∵0＜t＜1，∴＞1，∴t＜
∴(x－t)(x－)＜0?t＜x＜.
2、解析　原不等式等价于＞0，即(x－a)(x＋b)＞0，
∵a＋b＞0，∴a＞－b，∴可得x＜－b或x＞a，
∴原不等式的解集是{x|x＜－b，或x＞a}．
答案　B
3、解析：∵a＜0，∴5a＜－a，
由(x－5a)(x＋a)＞0
得x＜5a或x＞－a.
答案：{x|x＜5a或x＞－a}
4、解：将原不等式化为(a－1)x＜a2－1.
①当a－1＞0，即a＞1时，x＜a＋1.
②当a－1＜0，即a＜1时，x＞a＋1.
③当a－1＝0，即a＝1时，不等式无解．
综上所述，
当a＞1时，不等式的解集为{x|x＜a＋1}；
当a＜1时，不等式的解集为{x|x＞a＋1}；
当a＝1时，不等式的解集为?.
5、解：∵Δ＝a2＋4×56×a2＝225a2≥0，方程56x2＋ax－a2＝0的解是x1＝－，x2＝.
当a>0时，原不等式的解集是{x|－当a＝0时，原不等式化为56x2<0，∴原不等式的解集是?；
当a<0时，原不等式的解集是{x|6．解：（1）{an}为等差数列，，又且
求得， 公差
∴
，
∴
∴
∴{}是首项为2，公比为的等比数列
∴{}的所有项的和为cn-jy.com
（1）由
得 即
可得
因为，所以 解得，
因而
（2）因为是首项、公比的等比数列，
故
则数列的前n项和
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前两式相减，得

即