3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域 同步学案

高二数学 必修5 第三章§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
班级 姓名
学习目标
1．了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界，会用二元一次不等式组表示平面区域；
2．经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力.
学习过程
一、新课导学
※ 学习探究
探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，的解集为 . 那么，在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？
探究2：你能研究：二元一次不等式的解集所表示的图形吗？（怎样分析和定边界？）
从特殊到一般：
先研究具体的二元一次不等式的解集所表示的图形.
如图：在平面直角坐标系内，=6表示一条直线.
平面内所有的点被直线分成三类：
第一类：在直线=6上的点，满足式子：＿＿＿＿＿＿＿；
第二类：在直线=6左上方的区域内的点，满足式子：＿＿＿＿＿＿＿；
第三类：在直线=6右下方的区域内的点，满足式子：＿＿＿＿＿＿＿；
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点都在直线=6的_____；
反过来，直线=6左上方的点的坐标都满足不等式.
因此，在平面直角坐标系中，不等式表示
直线=6左上方的平面区域；如图:
类似的：二元一次不等式>6表示直线=6右下方的区域；
如图:直线叫做这两个区域的边界
结论：
1、二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、不等式中仅或不包括 ；但含“”“”包括 ； 同侧同号，异侧异号.
※ 典型例题
例1、画出不等式表示的平面区域.
分析：先画 ___________（用 线表示），再取 _______判断区域，即可画出．
归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．特殊点一般如：，，．特殊地，当时，常把原点作为此特殊点．
变式1：(1)画出不等式4x―3y≤12表示的平面区域. (2)画出不等式x≥1表示的平面区域
例2、画出不等式组表示的平面区域的解集．
归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
变式2：画出不等式表示的平面区域.
变式3、不等式组表示的平面区域内的整点坐标是 ．（整点即坐标为整数的点）
变式4、由直线，和围成的三角形区域（包括边界）用不等式可
表示为 .
例3、要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型
钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要三种规格的成品分别为15块、18块、27块，用数学关系式和图形表示上述要求.
例4、一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
二、总结提升
※ 学习小结
由于对在直线同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点） 班级 姓名
课后作业
一、基础训练题
1．不在3x＋2y＜6表示的平面区域内的点是(　　)
A．(0,0) B．(1,1) C．(0,2) D．(2,0)
2．上图中表示的区域满足不等式(　　)
A．2x＋2y－1＞0 B．2x＋2y－1≥0 C．2x＋2y－1≤0 D．2x＋2y－1＜0
3．设点P(x，y)，其中x，y∈N，则满足x＋y≤3的点P的个数为(　　)
A．10 B．9 C．3 D．无数
4．不等式组表示的平面区域是下列图中的(　　)
5.如上右图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是(　　)．
A.B.C.D.
6．在平面直角坐标系中，不等式x2－y2＞0表示的平面区域是(　　)．

7．已知点(－3,1)和(0，－2)在直线x－y－a＝0的一侧，则a的取值范围是(　　)
A．(－2,4) B．(－4,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
8．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是__________．
9．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是________．
10．画出下列不等式组表示的平面区域：
(1) (2) (3)
11．在△ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC(包含边界)内部所对应的二元一次不等式组．
二、提高训练题
12．在平面直角坐标系中， 若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为(　　)
A．－5 B．1 C．2 D．3
13．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
14．画出不等式组表示的平面区域并求出其面积．
15．一工厂生产甲、乙两种产品，生产每种产品的资源需求如下表
品种
电力/kW·h
煤/t
工人/人
甲
2
3
5
乙
8
5
2
该厂有工人200人，每天只能保证160 kW· h的用电额度，每天用煤不得超过150 t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量的范围．
必修5第三章§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域参考答案
1、答案：D
2、答案：B
3、答案：A
解析：当x＝0时，y可取0,1,2,3有4个点；
当x＝1时，y可取0,1,2有3个点； 当x＝2时，y可取0,1有2个点；
当x＝3时，y可取0，有1个点，故共有10个点，选A.
4、答案：D
5、答案　C
解析　观察图象可知，阴影部分在直线y＝－2上方，且不包含直线y＝－2，故可得不等式y>－2.又阴影部分在直线x＝0左边，且包含直线x＝0，故可得不等式x≤0.由图象可知，第三条边界线过点(－2,0)、点(0,3)，故可得直线3x－2y＋6＝0，因为此直线为虚线且原点O(0,0)在阴影部分，故可得不等式3x－2y＋6>0.观察选项可知选C.
6、答案　B
解析　由x2－y2＞0可得①或②两个不等式组对应的平面区域
如图B所示，
7、答案　D
解析：(－3－1－a)(0＋2－a)＞0，即(a＋4)(a－2)＞0，∴a＞2或a＜－4.
8、解析：画出直线2x－3y＋6＝0如图，再作直线x＝－2，与直线2x－3y＋6＝0交于点A(－2，)．因为点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t＞.
答案：t＞
9、解析：不等式组表示的平面区域是三角形，如图所示，则该三角形的面积是×4×2＝4.
答案：4
10、解：
(3)
11、解　如图，直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可用两点式或
点斜式求出)．直线AC的方程为
2x＋y－5＝0，
直线BC的方程为x－y＋2＝0，把(0,0)代入2x＋y－5得
2x＋y－5＝－5＜0，
∴AC左下方的区域为2x＋y－5＜0.
把(0,0)代入x＋2y－1得x＋2y－1＝－1＜0，而(0,0)不在
三角形区域内．∴AB右上方的区域为x＋2y－1＞0.
同理BC右下方的区域为x－y＋2＞0.
又∵包含边界，∴不等式组应为
12、解析：选D.如图，
由
得A(1，a＋1)，
由得B(1,0)，
由得C(0,1)．
∵△ABC的面积为2，∴S△ABC＝(a＋1)＝2，∴a＝3.
13、解析　不等式组表示的平面区域如图中
的阴影部分所示，用平行于x轴的直线截该平面区域，若
得到一个三角形，则a的取值范围是5≤a<7.
答案　[5,7)
14、解　不等式组等价于① 或②
分别作出以上两个不等式组所表示的平面区域，可以发现不
等式组①表示一个点A，不等式组②表示的平面区域如图所
示．
因此原不等式组表示的平面区域就是图中阴影部分，
其中点A(0,1)，B(－2,3)，C(－2，－1)，
于是平面区域的面积为×2×|3－(－1)|＝4.
15、解：设每天分别生产甲、乙两种产品x t和y t，生产x t甲产品和y t乙产品的用电量是(2x＋8y) kw·h，根据条件，有2x＋8y≤160；用煤量为(3x＋5y) t，根据条件有3x＋5y≤150；用工人数为(5x＋2y)≤200；另外，还有x≥0，y≥0.综上所述，
x、y应满足不等式组
甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，即如图所示的阴影部分(含边界)：