3.3.2 简单的线性规划问题(1) 同步学案
文档属性
| 名称 | 3.3.2 简单的线性规划问题(1) 同步学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 223.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-31 11:39:40 | ||
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文档简介
高二数学 必修5 第三章 §3.3.2 简单的线性规划问题(1)
班级 姓名
学习目标
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；
能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.
学习过程
一、课前准备
阅读课本Ｐ87至Ｐ88的探究
找出目标函数，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域的定义．
二、新课导学
※ 学习探究
在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：
某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产、件，由已知条件可得二元一次不等式组：
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
注意：在平面区域内的必须是整数点．
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
新知：线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
※ 典型例题
例1、设，其中、满足约束条件，求z的最大值和最小值.
三、总结提升
※ 学习小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
课后作业
一、基础训练题
1．目标函数z＝4x＋y，将其看成直线方程时，z的几何意义是( )
A．该直线的截距 B．该直线的纵截距
C．该直线的横截距 D．该直线的纵截距的相反数
2．z＝x－y在的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )
A．(0,1) B．(－1，－1) C．(1,0) D．(，)
3．已知点P(x，y)在不等式组表示的平面区域内运动，则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－2，－1] B．[－2,1] C．[－1,2] D．[1,2]
4．(2010年高考浙江卷)若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为( )
A．9 B. C．1 D.
5．如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．
6．若实数x、y满足求s＝x＋y的最大值．
7．已知实数x、y满足
(1)求不等式组表示的平面区域的面积；
(2)若目标函数为z＝x－2y，求z的最小值．
二、提高训练题
8．设z＝2y－2x＋4，式中x，y满足条件，求z的最大值和最小值．
必修5第三章 §3.3.2 简单的线性规划问题(1)参考答案
1、解析：选B.把z＝4x＋y变形为y＝－4x＋z，则此方程为直线方程的斜截式，所以z为该直线的纵截距．
2、解析：选C.可以验证这四个点均是可行解，当x＝0，y＝1时，z＝－1；当x＝－1，y＝－1时，z＝0；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝，y＝时，z＝0.排除A，B，D.
3、解析：选C.先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分，
∵z＝x－y，∴y＝x－z.
由图知截距－z的范围为[－2，1]，∴z的范围为[－1,2]．
4、解析：选A.画出可行域如图：
令z＝x＋y，可变为y＝－x＋z，
作出目标函数线，平移目标函数线，显然过点A时z最大．
由得A(4,5)，∴zmax＝4＋5＝9.
5、解析：首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0,5)时截距最大，此时z最大．
答案：(0,5)
6、解：可行域如图所示，
作直线y＝－x，当平移直线y＝－x
至点A处时，s＝x＋y取得最大值，即smax＝4＋5＝9.
7、解：画出满足不等式组的可行域如图所示：
(1)易求点A、B的坐标为：A(3,6)，B(3，－6)，
所以三角形OAB的面积为：
S△OAB＝×12×3＝18.
(2)目标函数化为：y＝x－，画直线y＝x及其平行线，当此直线经过A时，－的值最大，z的值最小，易求A 点坐标为(3,6)，所以，z的最小值为3－2×6＝－9.
8、解：作出不等式组的可行域(如图所示)．
令t＝2y－2x则z＝t＋4.
将t＝2y－2x变形得直线l∶y＝x＋.
则其与y＝x平行，平移直线l时t的值随直线l的上移而增大，故当直线l经过可行域上的点A时，t最大，z最大；当直线l经过可行域上的点B时，t最小，z最小．
∴zmax＝2×2－2×0＋4＝8，
zmin＝2×1－2×1＋4＝4.
班级 姓名
学习目标
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；
能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.
学习过程
一、课前准备
阅读课本Ｐ87至Ｐ88的探究
找出目标函数，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域的定义．
二、新课导学
※ 学习探究
在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：
某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产、件，由已知条件可得二元一次不等式组：
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
注意：在平面区域内的必须是整数点．
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
新知：线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
※ 典型例题
例1、设，其中、满足约束条件，求z的最大值和最小值.
三、总结提升
※ 学习小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
课后作业
一、基础训练题
1．目标函数z＝4x＋y，将其看成直线方程时，z的几何意义是( )
A．该直线的截距 B．该直线的纵截距
C．该直线的横截距 D．该直线的纵截距的相反数
2．z＝x－y在的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )
A．(0,1) B．(－1，－1) C．(1,0) D．(，)
3．已知点P(x，y)在不等式组表示的平面区域内运动，则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－2，－1] B．[－2,1] C．[－1,2] D．[1,2]
4．(2010年高考浙江卷)若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为( )
A．9 B. C．1 D.
5．如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．
6．若实数x、y满足求s＝x＋y的最大值．
7．已知实数x、y满足
(1)求不等式组表示的平面区域的面积；
(2)若目标函数为z＝x－2y，求z的最小值．
二、提高训练题
8．设z＝2y－2x＋4，式中x，y满足条件，求z的最大值和最小值．
必修5第三章 §3.3.2 简单的线性规划问题(1)参考答案
1、解析：选B.把z＝4x＋y变形为y＝－4x＋z，则此方程为直线方程的斜截式，所以z为该直线的纵截距．
2、解析：选C.可以验证这四个点均是可行解，当x＝0，y＝1时，z＝－1；当x＝－1，y＝－1时，z＝0；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝，y＝时，z＝0.排除A，B，D.
3、解析：选C.先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分，
∵z＝x－y，∴y＝x－z.
由图知截距－z的范围为[－2，1]，∴z的范围为[－1,2]．
4、解析：选A.画出可行域如图：
令z＝x＋y，可变为y＝－x＋z，
作出目标函数线，平移目标函数线，显然过点A时z最大．
由得A(4,5)，∴zmax＝4＋5＝9.
5、解析：首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0,5)时截距最大，此时z最大．
答案：(0,5)
6、解：可行域如图所示，
作直线y＝－x，当平移直线y＝－x
至点A处时，s＝x＋y取得最大值，即smax＝4＋5＝9.
7、解：画出满足不等式组的可行域如图所示：
(1)易求点A、B的坐标为：A(3,6)，B(3，－6)，
所以三角形OAB的面积为：
S△OAB＝×12×3＝18.
(2)目标函数化为：y＝x－，画直线y＝x及其平行线，当此直线经过A时，－的值最大，z的值最小，易求A 点坐标为(3,6)，所以，z的最小值为3－2×6＝－9.
8、解：作出不等式组的可行域(如图所示)．
令t＝2y－2x则z＝t＋4.
将t＝2y－2x变形得直线l∶y＝x＋.
则其与y＝x平行，平移直线l时t的值随直线l的上移而增大，故当直线l经过可行域上的点A时，t最大，z最大；当直线l经过可行域上的点B时，t最小，z最小．
∴zmax＝2×2－2×0＋4＝8，
zmin＝2×1－2×1＋4＝4.