3.3.2 简单的线性规划问题(3)同步学案

高二数学 必修5 第三章 §3.3.2 简单的线性规划问题(3)
班级 姓名
学习目标
体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些常见的几何问题.
学习过程
一、课前准备
考点一：非线性目标函数的最优化问题
例1、设，满足条件．
求的最大值和最小值； （2）求的取值范围；
（3）求的最大值和最小值； （4）求的范围．
变式1、已知实数，满足，求的最小值．
考点二：二元一次不等式组求范围的应用
例2、若实数，满足 ，求4+2的取值范围．
变式2、在例2的条件下，求z=2的取值范围．
三、总结提升
※ 学习小结
求z =ax+by的最大值与最小值，就是先求经过可行域内的点的平行直线在y轴上截距的最大值与最小值，再求出z的最大值与最小值；
求的最大、最小值就是求可行域内的点P(x, y)到点(a , b)的距离平方的最大值与最小值；
求的最大、最小值就是可行域内的点P(x , y)和与点(a , b)连线的斜率的最大、最小值.
课后作业
一、基础训练题
1．已知点P(x，y)的坐标满足条件，则x2＋y2的最大值为 (　　)．
A. B．8 C．16 D．10
2．若实数x，y满足不等式组则2x＋3y的最小值是________．
3．已知实数x，y满足则的最大值为________．
4．不等式组所确定的平面区域记为D.若点(x，y)是区域D上的点，则2x＋y的最大值是________；若圆O：x2＋y2＝r2上的所有点都在区域D上，则圆O面积的最大值是________．
5．已知(1)求x2＋y2的最小值；(2)求(x－2)2＋(y+2)2的最小值.
6．已知x、y满足约束条件求的取值范围．
7．已知f(x)＝3x－y，且－1≤x＋y≤1,1≤x－y≤3，求f(x)的取值范围．
二、提高训练题
8．已知x、y满足
(1)求z＝x2＋y2＋2x－2y＋2的最小值；
(2)求z＝|x＋2y－4|的最大值．
必修5第三章 §3.3.2 简单的线性规划问题(3)参考答案
1、解析　画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A(1,1)，|OA|
＝，B(2,2)，|OB|＝2，C(1,3)，|OC|＝.
∴(x2＋y2)max＝|OC|2＝()2＝10.
答案　D
2、解析　作出可行域，如图．
作直线l：2x＋3y＝0，平移l，当l过点A(2,0)时，2x＋3y有最小值4.
答案　4
3、解析　画出不等式组
对应的平面区域Ω，
＝表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜
率．A(1,2)，B(3,0)，∴0≤≤2.
答案　2
4、解析：
如图，令z＝2x＋y可知，
直线z＝2x＋y经过(4,6)时z最大，此时z＝14；
当圆O：x2＋y2＝r2和直线：2x－y－2＝0相切时半径最大．
此时半径r＝，面积S＝π.
答案：14，π
5、解：画出可行域如图，x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2可以
看作可行域内的点(x，y)与原点距离的平方，由图可知
A点到原点距离最小．由得A(1,2)，
∴|AO|2＝(1－0)2＋(2－0)2＝5，
∴x2＋y2的最小值为5.
(x－2)2＋(y+2)2可以看作可行域内的点(x，y)与(2,－2)距离的平方,
由图可知
(2,－2)到A点的距离的平方最小.最小值是17
6、解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示．
设k＝，因为＝表示平面区域内的点与点P(－1，－1)连线的斜率，
由图可知kPA最小，kPC最大，而A(5,0)，C(0,2)，
则kPA＝＝，kPC＝＝3，
所以k∈，即的取值范围是.
7、解　作出不等式组
表示的平面区域，即可行域，如图中
阴影部分所示．在可行域内平移直线l：3x－y＝0，当直
线l向下平移过B(0，－1)，即直线x－y－1＝0与x＋y
＋1＝0的交点时，f(x)min＝3×0＋1＝1；当直线l向下平
移过A(2，－1)即直线x－y－3＝0与x＋y－1＝0的交点时，
f(x)max＝2×3＋1＝7，
∴1≤f(x)≤7.
8、解：作出可行域，如图所示．
∵z＝()2，
∴z可看作是可行域内任一点(x，y)到点M(－1,1)的距离的平方．由图可知zmin等于点M到直线x＋y－4＝0的距离的平方．
∴zmin＝2＝8.
(2)∵z＝|x＋2y－4|＝·，
∴z可看作是可行域内任一点(x，y)到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．
由图可知，点C到直线x＋2y－4＝0的距离最大．
由得点C(7,9)．
∴zmax＝×＝21.