3.3.2 简单的线性规划问题(4)同步学案

高二数学 必修5 第三章 §3.3.2 简单的线性规划问题(4)
班级 姓名
学习目标
1、熟练掌握线性规划中的几类常见问题；
2、理解最有解的个数问题.
学习过程
一、新课导学
例1、已知变量x，y满足条件
(1)若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)最大值的最优解有无数个，求a的值；
(2)若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a的取值范围.

变式1、若满足约束条件
目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，求的取值范围；
目标函数取得最小值的最优解有无数个，求的值。
例2、已知实数满足如果目标函数的最小值为－1，求实数m的值。
例3、若实数x，y满足
(1)求z＝3x＋2y的最小值；(2)求ω＝的最值；(3)求t=x2＋y2－2x－2y＋1的取值范围。
例4、(选讲)(1)O为坐标原点，A(1,1)，若点B(x，y)满足则·取得最小值时，点B的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．无数个
在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为________．
二、总结提升
最优解的个数及取得最优解的位置与直线的斜率有关。
课后作业
一、基础训练题
1．在△ABC中，三顶点分别为A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及其边界上运动，则m＝y－x的取值范围为(　　)
A．[1,3] B．[－3,1] C．[－1,3] D．[－3，－1]
2．已知目标函数z＝2x＋y，且变量x，y满足下列条件则(　　)
A．zmax＝12，zmin＝3 B．zmax＝12，无最小值
C．zmin＝3，无最大值 D．z既无最大值又无最小值
3．给出平面可行域(如图)，若使目标函数z＝ax＋y取最大值的最优解有无穷多个，则a＝(　　)
A. B. C．4 D.
4．已知x，y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝(　　)．
A．2 B．9 C．3 D．0
5．已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于________，最大值等于________．
6．实数x、y满足不等式组则ω＝的取值范围是________．
7．线性目标函数，在线性约束条件下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围
8．已知点(x，y)在如图所示平面区域内运动(包括边界)，目标函数z＝kx－y.当且仅当x＝，y＝时，目标函数z取最小值，则实数k的取值范围是________．
9．已知D是以点A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域（包括边界与内部），如图所示.
(1)写出表示区域D的不等式组；
(2)设点B（－1，－6)，C(－3，2)在直线4x－3y－a=0的异侧，求a的取值范围.
10．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
提高训练题
11．设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是 (　　)．
A．(1,3] B．[2,3] C．(1,2] D．[3，＋∞)
12．画出不等式|x|＋|y|≤1所表示的平面区域，并求出其面积．
必修5第三章 §3.3.2 简单的线性规划问题(4)参考答案
例4、(1)解析：如图，阴影部分为点B(x，y)所在的区域．
∵·＝x＋y，
令z＝x＋y，则y＝－x＋z.
由图可知，当点B在C点或D点时，z取最小值，
故点B的个数为2.
答案：B
(2)解析：如图所示的阴影部分即为满足不等式组的可行域，而直线ax－y＋1＝0恒过点(0,1)，故可看成直线绕点(0,1)旋转．当a>－1时，可行域是一个封闭的三角形区域，由×(a＋1)×1＝2得a＝3.
答案：3
1、解析：直线m＝y－x的斜率k1＝1≥kAB＝，且k1＝1＜kAC＝4，
∴直线经过C时m最小，为－1，
经过B时m最大，为3.
答案　C
2、解析　画出可行域，如图所示．
画直线l：2x＋y＝0，平移直线l，知z＝2x＋y既无最大值，又无最小值．
答案　D
3、解析　由题意，知当直线y＝－ax＋z与直线AC重合时，最优解有无穷多个．
∴－a＝＝－，∴a＝.
答案　B
4、解析　由题意知，当直线z＝2x＋4y经过直线x＝3与x＋y＋k＝0的交点(3，－3－k)时，z最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k)，解得k＝0.故选D.
答案　D
5、解析：画出约束条件对应的可行域，如图．
∵|PO|表示可行域上的点到原点的距离，从而使|PO|取得最小值的最优解为点A(1,1)；使|PO|取得最大值的最优解为点B(1,3)．
∴|PO|min＝，|PO|max＝.
答案：　
6、解析：不等式组表示的区域为图中阴影部分，ω＝即动点(x，y)与定点A(－1,1)连线的斜率．l1的斜率k1＝kAB，
由得B(1,0)，则k1＝－，
又l2与x－y＝0平行，ω∈[－，1)．
答案：[－，1)
7、解析：作出可行域,因为线性目标函数z=3x+2y，在线性约束条件下取得最大值时的最优解只有一个,则直线y=a必须在直线y=2x与y=－x+3的交点B（1，2）的上方，故为：a≥2．
答案：[2,+∞)
8、解析　令z＝0，得l0：kx－y＝0，
由题意，l0的斜率k应界于kBC，kAC之间，
kAC＝－，kBC＝－，∴k∈.
答案　
9、解:（1）直线AB、AC、BC的方程分别为7x－5y－23=0，x+7y－11=0，4x+y+10=0
原点（0，0）在区域D内，表示区域D的不等式组：
（2）将B、C的坐标代入4x－3y－a，根据题意有(14－a)(－18－a)＜0，
得a的取值范围是－18＜a＜14.
10、解　设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，
由题意知

目标函数z＝x＋0.5y，
作出平面区域如图所示：
作直线l0：x＋0.5y＝0，即2x＋y＝0.
并作平行于直线l0的一组直线l：z＝x＋0.5y，当l过点M时，z最大．
由得M(4,6)．
此时zmax＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
11、解析　平面区域D如图所示．
要使指数函数y＝ax的图像上存在区域D上的点，
∴1＜a≤3
答案　A
12、解：作可行域如图所示．四边形ABCD为正方形，边长为，
故S＝×＝2.