3.4基本不等式 (1)同步学案
文档属性
| 名称 | 3.4基本不等式 (1)同步学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 200.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-31 12:00:01 | ||
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文档简介
高二数学 必修5 第三章 §3.4基本不等式 (1)
班级 姓名
学习目标
学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
学习过程
一、新课导学
※ 学习探究
探究1：基本不等式的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
将图中的“风车”抽象成如图，
新知一：一般的，如果，我们有：，当且仅当时，等号成立．
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得，
通常我们把上式写作：
新知二： 问：由不等式的性质证明基本不等？
理解基本不等式的几何意义
探究：课本第98页的“探究”
在右上图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
结论：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
评述：
1、如果把看作是正数、的等差中项，看作是正数、的等比中项，
那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2、在数学中，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数.
本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
※ 典型例题
例1、（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
※ 动手试试
练1、当时，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？
练2、已知，且，则当、分别取什么值时，取到最大值？最大值是多少？
练3、已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？
二、总结提升
※ 学习小结
1、重要不等式：已知，则（当且仅当时，等号成立）
重要变形：（当且仅当时，等号成立）
2、基本不等式：已知，则（当且仅当时，等号成立）
重要变形：， （当且仅当时，等号成立）
在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．
课后作业
一、基础训练题
1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )
A．x＋ B．x2－1＋
C．2x＋2－x D．x(1－x)
2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是( )
A．400 B．100
C．40 D．20
3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是( )
A．10 B．25 C．5 D．2
4．已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是( )
A．100 B．50 C．20 D．10
5．下列结论正确的是( )．
A．当x＞0且x≠1时，lg x＋≥2
B．当x＞0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋最小值为2
D．当0＜x≤2时，x－无最大值
6．设a，b∈R，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个数大于1”的条件是 ( )．
A．②③ B．①②③ C．③④⑤ D．③
7．已知x≥0，则当x＝____时，x＋有最小值____．
若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．
某公司一年购买某种货物200吨，分成若干次均匀购买，每次购买的运费为2万元，一年存储费用恰好为每次的购买吨数(单位：万元)，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买________吨．
10．已知函数y＝8x2＋(x≠0)，求函数的最值，并求相应的x值．
提高训练题
11．若x＋≥a2－a对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是 ( )．
A．a≤－2或a≥1 B．a≤－1或a≥2
C．－2≤a≤1 D．－1≤a≤2
12．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是( )．
A．0 B．1 C．2 D．4
13．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．
问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．
必修5第三章 §3.4基本不等式 (1)参考答案
1、答案：C
2、答案：A
3、解析：a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立．
答案：D
4、解析：mn≤＝＝50，当且仅当m＝n＝或m＝n＝－时等号成立．
答案：B
5、答案 B
6、解析 ③显然合适．①中令a＝，b＝，②中a＝b＝1，④中a＝－3，b＝0，
⑤中a＝－1，b＝－4.
答案 D
7、答案：2 4
8、解析：1＝x＋4y≥2＝4，∴xy≤.
答案：大
9、解析 设每次都购买x吨，则需要购买次，则一年的总运费为×2＝万元，一
年的存储费用为x万元，则一年的总费用为＋x≥2 ＝40，当且仅当＝x，
即x＝20时，等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买20
吨．
答案 20
10、解：∵8x2>0，>0，且8x2×＝4(定值)，
∴y＝8x2＋≥2＝4，
即当x＝±时，函数有最小值4.
11、解析 ∵x＞0时，x＋≥2，∴a2－a≤2，即a2－a－2≤0，
∴－1≤a≤2.
答案 D
12、解析 由题意
∴＝＝＋2.
∵x＞0，y＞0，∴＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x＝y时取等号．
答案 D
13、解：设污水处理池的长为x米，则宽为米．
总造价f(x)＝400×(2x＋2×)＋100×＋60×200
＝800×(x＋)＋12000
≥1600＋12000
＝36000(元)
当且仅当x＝(x＞0)，
即x＝15时等号成立．
班级 姓名
学习目标
学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
学习过程
一、新课导学
※ 学习探究
探究1：基本不等式的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
将图中的“风车”抽象成如图，
新知一：一般的，如果，我们有：，当且仅当时，等号成立．
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得，
通常我们把上式写作：
新知二： 问：由不等式的性质证明基本不等？
理解基本不等式的几何意义
探究：课本第98页的“探究”
在右上图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
结论：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
评述：
1、如果把看作是正数、的等差中项，看作是正数、的等比中项，
那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2、在数学中，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数.
本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
※ 典型例题
例1、（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
※ 动手试试
练1、当时，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？
练2、已知，且，则当、分别取什么值时，取到最大值？最大值是多少？
练3、已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？
二、总结提升
※ 学习小结
1、重要不等式：已知，则（当且仅当时，等号成立）
重要变形：（当且仅当时，等号成立）
2、基本不等式：已知，则（当且仅当时，等号成立）
重要变形：， （当且仅当时，等号成立）
在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．
课后作业
一、基础训练题
1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )
A．x＋ B．x2－1＋
C．2x＋2－x D．x(1－x)
2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是( )
A．400 B．100
C．40 D．20
3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是( )
A．10 B．25 C．5 D．2
4．已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是( )
A．100 B．50 C．20 D．10
5．下列结论正确的是( )．
A．当x＞0且x≠1时，lg x＋≥2
B．当x＞0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋最小值为2
D．当0＜x≤2时，x－无最大值
6．设a，b∈R，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个数大于1”的条件是 ( )．
A．②③ B．①②③ C．③④⑤ D．③
7．已知x≥0，则当x＝____时，x＋有最小值____．
若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．
某公司一年购买某种货物200吨，分成若干次均匀购买，每次购买的运费为2万元，一年存储费用恰好为每次的购买吨数(单位：万元)，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买________吨．
10．已知函数y＝8x2＋(x≠0)，求函数的最值，并求相应的x值．
提高训练题
11．若x＋≥a2－a对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是 ( )．
A．a≤－2或a≥1 B．a≤－1或a≥2
C．－2≤a≤1 D．－1≤a≤2
12．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是( )．
A．0 B．1 C．2 D．4
13．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．
问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．
必修5第三章 §3.4基本不等式 (1)参考答案
1、答案：C
2、答案：A
3、解析：a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立．
答案：D
4、解析：mn≤＝＝50，当且仅当m＝n＝或m＝n＝－时等号成立．
答案：B
5、答案 B
6、解析 ③显然合适．①中令a＝，b＝，②中a＝b＝1，④中a＝－3，b＝0，
⑤中a＝－1，b＝－4.
答案 D
7、答案：2 4
8、解析：1＝x＋4y≥2＝4，∴xy≤.
答案：大
9、解析 设每次都购买x吨，则需要购买次，则一年的总运费为×2＝万元，一
年的存储费用为x万元，则一年的总费用为＋x≥2 ＝40，当且仅当＝x，
即x＝20时，等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买20
吨．
答案 20
10、解：∵8x2>0，>0，且8x2×＝4(定值)，
∴y＝8x2＋≥2＝4，
即当x＝±时，函数有最小值4.
11、解析 ∵x＞0时，x＋≥2，∴a2－a≤2，即a2－a－2≤0，
∴－1≤a≤2.
答案 D
12、解析 由题意
∴＝＝＋2.
∵x＞0，y＞0，∴＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x＝y时取等号．
答案 D
13、解：设污水处理池的长为x米，则宽为米．
总造价f(x)＝400×(2x＋2×)＋100×＋60×200
＝800×(x＋)＋12000
≥1600＋12000
＝36000(元)
当且仅当x＝(x＞0)，
即x＝15时等号成立．