3.4基本不等式 (2)同步学案

高二数学 必修5 第三章 §3.4基本不等式 (2)
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学习目标
学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
学习过程
一、课前准备
复习1：重要不等式：对于任意实数，有，当且仅当________时，等号成立.
复习2：基本不等式：设，则，当且仅当____时，不等式取等号.
二、新课导学
※ 学习探究
类型一、
例1、若，求的最小值．
变式1、若，求的最小值．
类型二、
例2、已知0变式2、已知,求函数的最大值.
类型三、公式的变形用
例3、已知x >5，求的最小值.
变式3、已知x <5，求的最值.
例4、已知 0变式4、已知 0例5、已知a,b是正数,a+b=1， 求的最小值.
变式5、已知a,b是正数, a+2b=1，求的最小值
三、总结提升
※ 学习小结
规律技巧总结:
1、利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.
2、利用基本不等式求最值时，各项必须为正数，若为负数，则添负号变正.
※知识拓展
1、基本不等式的变形：
；；；；
2、一般地，对于个正数，都有，（当且仅当时取等号）
3、当且仅当时取等号）
课后作业
一、基础训练题
1．函数y＝3x2＋的最小值是(　　)
A．3－3 B．－3 C．6 D．6－3
2．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是(　　)
A．2 B．2 C．4 D．5
3．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有(　　)
A．最大值64 B．最大值 C．最小值64 D．最小值
4．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是 (　　)．
A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m
5．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________．
6．当x＝________时，函数f(x)＝x2(4－x2)(0＜x＜2)取得最大值________．
7．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．
8．如图2，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各2 dm，左右空白各1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.
9．若a>0，b>0，且4a＋b＝1，则＋的最小值是________．
10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋＋6的最小值；
(2)求函数y＝(x＞1)的最值．
11．已知f(x)＝＋4x. (1)当x＞0时，求f(x)的最小值； (2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．
12．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
提高训练题
13．求函数y＝(x＞－1)的最小值．
14．已知正常数a，b和正变数x，y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值是18，求a，b的值．
必修5第三章 §3.4基本不等式 (2)参考答案
1、解析　y＝3＝3≥3·(2－1)＝6－3.
答案　D
2、解析：∵＋＋2≥＋2≥2＝4.当且仅当时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.
答案　C
解析：∵x、y均为正数，∴xy＝8x＋2y≥2＝8，
当且仅当8x＝2y时等号成立．∴xy≥64.
答案　C
4、解析　设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C.
答案　C
5、答案：1
6、解析　∵f(x)＝x2·(4－x2)≤2＝4，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时取等号，
∴f(x)max＝4.
答案　　4
7、解析：1＝x＋4y≥2＝4，∴xy≤.
答案：大　
8、解析：设题图阴影部分的高为x dm，宽为 dm，则四周空白部分面积是y dm2，
由题意，得y＝(x＋4)(＋2)－72＝8＋2(x＋)≥8＋2×2＝56.
答案：56
9、解析：＋＝＋＝8＋(＋)≥8＋2＝16，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，所以＋的最小值是16.
答案：16
10、解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.
∴y＝x＋＋6＝x＋1＋＋5≥2 ＋5＝9，
当且仅当x＋1＝，即x＝1时，取等号．
∴x＝1时，函数的最小值是9.
(2)y＝＝＝(x＋1)＋
＝(x－1)＋＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.
∴(x－1)＋＋2≥2＋2＝8.
当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立，
∴y有最小值8.
11、解：(1)∵x＞0，∴，4x＞0.
∴＋4x≥2＝8.
当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x＞0时，f(x)的最小值为8.
(2)∵x＜0，∴－x＞0.
则－f(x)＝＋(－4x)≥2＝8，
当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．
∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8.
12、解　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得
f(x)＝Q(x)＋
＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N)，
f(x)＝50x＋＋3 000
≥2 ＋3 000＝5 000(元)．
当且仅当50x＝，即x＝20时上式取“＝”
因此，当x＝20时，f(x)取得最小值5 000(元)．
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．
13、解　y＝＝(x＋1)＋＋5，
∵x＞－1，∴x＋1＞0，∴y≥2 ＋5＝9，当且仅当x＋1＝即x＝1时，函数取得最小值9，故函数的最小值为9.
14、解　x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，∴(＋)2＝18.又∵a＋b＝10，∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.