第1课时 等差数列的概念及通项公式
学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．
知识点一 等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．
知识点二 等差中项的概念
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项，且A＝.
思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a，b.
答案 插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4).
知识点三 等差数列的通项公式
若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.此公式可用叠加法证明．
1．数列4,4,4，……是等差数列．( √ )
2．数列3,2,1是等差数列．( √ )
3．数列{an}的通项公式为an＝则{an}是等差数列．( × )
4．等差数列{an}中，a1，n，d，an任给三个，可求其余．( √ )
题型一 等差数列的概念
例1 判断下列数列是不是等差数列？
(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；
(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；
(3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…；
(5)a，a，a，a，a，….
解 由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．
反思感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n≥1，n∈N＋)是不是一个与n无关的常数．
跟踪训练1 数列{an}的通项公式an＝2n＋5(n∈N＋)，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
答案 A
解析 ∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列．
题型二 等差中项
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．
解 ∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1,1,3,5,7.
反思感悟 在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．
跟踪训练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
解 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.
所以m和n的等差中项为＝3.
题型三 等差数列通项公式的求法及应用
例3 在等差数列{an}中，
(1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项．
(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.
解 (1)因为解得
所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.
令2n＋5＝91，得n＝43.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项．
(2)设{an}的公差为d，则解得
∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，
所以a10＝13－10＝3.
反思感悟 根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量．
跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
解 (1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，
由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，
即－401是这个数列的第100项．
等差数列的判定与证明
典例1 已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 由an＋1＝3an＋3n，两边同时除以3n＋1，
得＝＋，即－＝.
由等差数列的定义知，数列是以＝为首项，为公差的等差数列．
(2)解 由(1)知＝＋(n－1)×＝，
故an＝n·3n-1，n∈N＋.
典例2 已知数列{an}：a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)．
(1)判断数列{an}是否为等差数列？说明理由；
(2)求{an}的通项公式．
解 (1)当n≥3时，an＝an－1＋2，即an－an－1＝2，
而a2－a1＝0不满足an－an－1＝2(n≥3)，
∴{an}不是等差数列．
(2)当n≥2时，an是等差数列，公差为2.
当n≥2时，an＝1＋2(n－2)＝2n－3，
又a1＝1不适合上式，
∴{an}的通项公式为an＝
[素养评析] (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)或an＋1－an＝d(d为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．
(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.
1．下列数列不是等差数列的是( )
A．1,1,1,1,1 B．4,7,10,13,16
C.，，1，， D．－3，－2，－1,1,2
答案 D
2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为( )
A．2B．3C．－2D．－3
答案 C
解析 由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
3．已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于( )
A．30°B．60°C．90°D．120°
答案 B
解析 因为A，B，C成等差数列，
所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，
又因为A＋B＋C＝180°，
所以3B＝180°，从而B＝60°.
4．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是( )
A．公差为1的等差数列
B．公差为的等差数列
C．公差为－的等差数列
D．不是等差数列
答案 B
解析 由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝.所以数列{an}是公差为的等差数列．
5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )
A．92B．47C．46D．45
答案 C
解析 d＝－1－1＝－2，设－89为第n项，则－89＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)·(－2)，∴n＝46.
1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)?{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)?{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.
一、选择题
1．设数列{an}(n∈N＋)是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d等于( )
A．4B．3C．2D．1
答案 D
解析 ∵a4－a2＝2d＝6－4＝2.∴d＝1.
2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( )
A．52B．62C．－62D．－52
答案 A
解析 公差d＝－2－(－5)＝3，a20＝a1＋(20－1)d＝－5＋19×3＝52.
3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为( )
A．52B．51C．50D．49
答案 A
解析 因为2an＋1－2an＝1，a1＝2，所以数列{an}是首项a1＝2，公差d＝的等差数列，所以a101＝a1＋100d＝2＋100×＝52.
4．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A．26B．29C．39D．52
答案 C
解析 ∵5，x，y，z，21成等差数列，
∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项．
∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，
∴x＋y＋z＝39.
5．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于( )
A．15B．22C．7D．29
答案 A
解析 设{an}的首项为a1，公差为d，
根据题意得
解得a1＝47，d＝－8.
所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
6．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )
A．第7项 B．第8项
C．第9项 D．第10项
答案 B
解析 ∵a1＝20，d＝－3，
∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，
∴a7＝2＞0，a8＝－1<0.
故数列中第一个负数项是第8项．
7．一个等差数列的前4项是a，x，b，2x，则等于( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 ∵b是x,2x的等差中项，∴b＝＝，
又∵x是a，b的等差中项，∴2x＝a＋b，
∴a＝，∴＝.
8．在数列{an}中，a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，则a4等于( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 由题意可得＝＋，解得a4＝，故选A.
二、填空题
9．若一个等差数列的前三项为a,2a－1,3－a，则这个数列的通项公式为__________________．
答案 an＝＋1，n∈N＋
解析 ∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，∴a＝.
∴这个等差数列的前三项依次为，，，
∴d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1，n∈N＋.
10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
答案
解析 设此等差数列为{an}，公差为d，
则∴
解得∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是________．
答案
解析 设an＝－24＋(n－1)d，
则解得三、解答题
12．已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0，求{an}的通项公式．
解 设数列{an}的公差为d，
由已知得
解得
所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.
13．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N＋)．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 由＝＝
＝＝＝＋，
得－＝，n∈N＋，
故数列是等差数列．
(2)解 由(1)知＝＋(n－1)×＝，
所以an＝，n∈N＋.
14．已知数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N＋)，则a10＝________.
答案
解析 易知an≠0，∵数列{an}满足an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N＋)，∴－＝1(n≥2，n∈N＋)，故数列是等差数列，且公差为1，首项为1，∴＝1＋9＝10，∴a10＝.
15．已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N＋)，求数列{an}的通项公式．
解 由an－an＋2＝2知，{an}的奇数项，偶数项
分别构成公差为－2的等差数列．
当n＝2k－1时，2k＝n＋1，a2k－1＝a1＋(k－1)·(－2)＝12－2k，
∴an＝12－(n＋1)＝11－n(n为奇数)．
当n＝2k时，a2k＝a2＋(k－1)·(－2)＝5－2k＋2＝7－2k.
∴an＝7－n(n为偶数)．
∴an＝
第2课时 等差数列的性质
学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算．
知识点一 等差数列通项公式的变形及推广
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N＋)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)，
③d＝(m，n∈N＋，且m≠n)．
其中①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．
②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
③即斜率公式k＝，可用来由等差数列任两项求公差．
知识点二 等差数列的性质
在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
知识点三 由等差数列衍生的新数列
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N＋)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
1．若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则{an}是公差为k的等差数列．( √ )
2．等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.( × )
3．若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列．( √ )
4．若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…是等差数列．( × )
题型一 an＝am＋(n－m)d的应用
例1 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．
解 因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N＋.
反思感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担．
跟踪训练1 {bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.
答案 8
解析 方法一 ∵{bn}为等差数列，
∴可设其公差为d，
则d＝＝＝2，
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
∴b8＝2×8－8＝8.
方法二 由＝＝d，
得b8＝×5＋b3
＝2×5＋(－2)＝8.
题型二 等差数列性质的应用
例2 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
解 方法一 因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
所以a4＝5.
又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，
所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N＋；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N＋.
方法二 设等差数列的公差为d，
则由a1＋a4＋a7＝15，得
a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，
即a1＋3d＝5. ①
由a2a4a6＝45，
得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，
将①代入上式，得
(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，
即(5－2d)(5＋2d)＝9， ②
联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，
即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N＋；
或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13，n∈N＋.
引申探究
1．在例2中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N＋，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as？
解 设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d，
an＝a1＋(n－1)d，
ap＝a1＋(p－1)d，
aq＝a1＋(q－1)d，
ar＝a1＋(r－1)d，
as＝a1＋(s－1)d，
∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，
aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，
∵m＋n＋p＝q＋r＋s，
∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.
2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
答案 20
解析 ∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.
∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，
即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.
反思感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．
跟踪训练2 在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．
解 方法一 ∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，
(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，
∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列．
∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)
＝2×33－39＝27.
方法二 ∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)
＝3a1＋9d＝39，
∴a1＋3d＝13， ①
∵a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)
＝3a1＋12d＝33.
∴a1＋4d＝11， ②
联立①②解得
∴a3＋a6＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋8d)
＝3a1＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27.
题型三 等差数列的设法与求解
例3 已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数．
解 设这三个数分别为a－d，a，a＋d，且d>0.
由题意可得
解得或
∵d>0，∴a＝6，d＝2.
∴这个数列是4,6,8.
反思感悟 设等差数列的三个技巧
(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d.
(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d.
(3)等差数列的通项可设为an＝pn＋q.
跟踪训练3 三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数．
解 设这三个数分别为a－d，a，a＋d.
由题意可得
解得或
∴所求三个数为－2,2,6或6,2,－2.
数列问题如何选择运算方法
典例 等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10.
解 方法一 设{an}的公差为d.
则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d)
＝4a1＋36d＝4(a1＋9d)
＝4a10＝40，
∴a10＝10.
方法二 ∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，
∴a10＝10.
[素养评析] 等差数列中的计算大致有2条路：一是都化为基本量(a1，d，n)然后解方程(组)；二是借助等差数列性质简化计算．前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但不要刻意追求巧法.
1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于( )
A．3B．－6C．4D．－3
答案 B
解析 由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，
所以d＝＝－6.
2．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于( )
A．32B．－32C．35D．－35
答案 C
解析 由a8－a4＝(8－4)d＝4d＝14－2＝12，得d＝3，
所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.
3．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( )
A．3 B．－3
C． D．－
答案 A
解析 由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，
所以a2＝15－12＝3.
4．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( )
A．－182B．－78C．－148D．－82
答案 D
解析 a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33
＝－82.
5．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10＝________.
答案 30
解析 ∵a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，
∴a8＝30.
2a9－a10＝2(a10－d)－a10＝a10－2d＝a8＝30.
1．在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
2．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
一、选择题
1．已知数列{an}为等差数列，a3＝6，a9＝18，则公差d为( )
A．1B．3C．2D．4
答案 C
解析 因为数列{an}为等差数列，所以a9＝a3＋6d，即18＝6＋6d，所以d＝2.
2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于( )
A．45B．75C．180D．300
答案 C
解析 ∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5
＝5a5＝450，∴a5＝90.
∴a2＋a8＝2a5＝180.
3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为( )
A．12B．8C．6D．4
答案 B
解析 由等差数列的性质，得
a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)
＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
4．等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝21.则a7等于( )
A．7B．10C．20D．30
答案 C
解析 ∵a3＋a7－a10＋a11－a4
＝a3＋a7＋a11－(a10＋a4)
＝3a7－2a7＝a7，
∴a7＝21－1＝20.
5．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为( )
A. B．±
C．－ D．－
答案 D
解析 由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan＝tan＝－.
6．已知数列是等差数列，且a3＝2，a15＝30，则a9等于( )
A．12B．24C．16D．32
答案 A
解析 令bn＝，由题意可知b3＝＝，b15＝＝2，则等差数列{bn}的公差d＝＝，则b9＝b3＋(9－3)d＝，所以a9＝9b9＝12，故选A.
7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为( )
A．0B．1C．2D．1或2
答案 D
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
8．(2018·河南省实验中学期末)已知{an}是公差为正数的等差数列，a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13的值为( )
A．105B．120C．90D．75
答案 A
解析 由a1＋a2＋a3＝15，得a2＝5，所以a1＋a3＝10.又a1a2a3＝80，所以a1a3＝16，所以a1＝2，a3＝8或a1＝8，a3＝2.又等差数列{an}的公差为正数，所以{an}是递增数列，所以a1＝2，a3＝8，所以等差数列{an}的公差d＝a2－a1＝5－2＝3，所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝105.
二、填空题
9．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，m，n∈N＋，则am＋n的值为________．
答案 0
解析 设等差数列的公差为d，
则d＝＝＝－1，
从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.
10．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
答案 －21
解析 设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.
∴这三个数的积为－21.
11．在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.
第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
3
…
第2行
2
4
6
…
第3行
3
6
9
…
…
…
…
…
…
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是__________．
答案 n2＋n
解析 第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，其第n＋1项为n＋n·n＝n2＋n.所以数表中的第n行第n＋1列的数是n2＋n.
三、解答题
12．在等差数列{an}中，
(1)若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，求a7－a8；
(2)已知a1＋2a8＋a15＝96，求2a9－a10.
解 (1)a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，
∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
(2)∵a1＋2a8＋a15＝4a8＝96，∴a8＝24.
∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
13．已知{an}为等差数列，且a1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24.
(1)求a20的值；
(2)若bn＝an－，试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.
解 (1)因为a1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24，
所以a3＝6，a4＝8，则公差d＝2，
所以a20＝a3＋17d＝40.
(2)由(1)得an＝a3＋(n－3)d＝6＋(n－3)×2＝2n，
所以bn＝×2n－＝3n－.
由bn>0，即3n－>0，得n>，
所以数列{bn}从第7项开始大于0.
14．若等差数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3，则{an}的通项公式为__________________．
答案 an＝2n－(n∈N＋)
解析 由题意得an＋1＋an＝4n－3， ①
an＋2＋an＋1＝4n＋1， ②
②－①，得an＋2－an＝4.
∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d＝2.
∵a1＋a2＝1，∴a1＋a1＋d＝1，∴a1＝－.
∴an＝－＋(n－1)×2＝2n－(n∈N＋)．
15．已知两个等差数列{an}：5,8,11，…与{bn}：3,7,11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？
解 因为an＝3n＋2(n∈N*)，bk＝4k－1(k∈N*)，两数列的共同项可由3n＋2＝4k－1求得，
所以n＝k－1.而n∈N*，k∈N*，
所以设k＝3r(r∈N*)，得n＝4r－1.
由已知且r∈N*，可得1≤r≤25.
所以共有25个相同数值的项．
