第1课时 等差数列的前n项和公式
学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.3.已知数列{an}的前n项和公式求通项an.
知识点一 等差数列的前n项和
1．定义：对于数列{an}，一般地，称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和．
2．表示：常用符号Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.
知识点二 等差数列前n项和公式
等差数列的前n项和公式
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
知识点三 a1，d，n，an，Sn知三求二
1．在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝或Sn＝na1＋d.
两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和．
2．依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．
知识点四 数列中an与Sn的关系
对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，
则有an＝
特别提醒：(1)这一关系对任何数列都适用．
(2)若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示．
若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式．
1．若数列{an}的前n项和为Sn，则S1＝a1.( √ )
2．若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N＋.( × )
3．等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法．( √ )
4．1＋2＋3＋…＋100＝.( √ )
题型一 等差数列前n项和公式的基本运算
例1 在等差数列{an}中：
(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
解 (1)方法一 由已知条件得
解得
∴S10＝10a1＋d＝10×3＋×4＝210.
方法二 由已知条件得
∴a1＋a10＝42，
∴S10＝＝5×42＝210.
(2)S7＝＝7a4＝42，
∴a4＝6.
∴Sn＝＝＝＝510.
∴n＝20.
反思感悟 (1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用．
(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．
跟踪训练1 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
解 由得
解方程组得或
题型二 由数列{an}的前n项和Sn求an
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解 根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知
Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2，n∈N＋)，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－
＝2n－， ①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－，n∈N＋.
∵an＋1－an＝2(n＋1)－－＝2，
故数列{an}是以为首项，2为公差的等差数列．
引申探究
若将本例中前n项和改为Sn＝n2＋n＋1，求通项公式．
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－
＝2n－. ①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋＋1＝不符合①式．
∴an＝
反思感悟 已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示．
跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.
解 当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝3n－3n-1＝2·3n-1.
当n＝1时，代入an＝2·3n-1得a1＝2≠3.
∴an＝
题型三 等差数列在实际生活中的应用
例3 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
解 设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，
则a1＝50＋1000×1%＝60，
a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5，
…
a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5，
即第10个月应付款55.5元．
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
所以有S20＝×20＝1105，
即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)．
反思感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．
跟踪训练3 甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
解 (1)设n分钟后两人第1次相遇，由题意，
得2n＋＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.
解得n＝7，n＝－20(舍去)．
所以第1次相遇是在开始运动后7分钟．
(2)设n分钟后第2次相遇，由题意，
得2n＋＋5n＝3×70，
整理得n2＋13n－420＝0.
解得n＝15，n＝－28(舍去)．
所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.
1．已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于( )
A．2300B．2400C．2600D．2500
答案 D
解析 由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)×2，
解得m＝50，所以S50＝50×1＋×2＝2500.
2．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( )
A．2B．3C．6D．7
答案 B
解析 方法一 由解得d＝3.
方法二 由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.
3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.
答案 190
解析 S19＝＝
＝19a10＝19×10＝190.
4．已知数列{an}是等差数列，Sn是它的前n项和．若S4＝20，a4＝8，则S8＝________.
答案 72
解析 设{an}的公差为d，则由解得a1＝d＝2，
∴S8＝8×2＋×2＝72.
5．已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，则an＝________.
答案 3(n＋1)(n∈N＋)
解析 由a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)， ①
当n≥2，n∈N＋时，得a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)n(n＋1)， ②
①－②，得nan＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)
＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]＝3n(n＋1)，
∴an＝3(n＋1)(n≥2，n∈N＋)．
又当n＝1时，a1＝1×2×3＝6也适合上式，
∴an＝3(n＋1)，n∈N＋.
1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．
2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：
若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)；若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m，n，p∈N＋)．
3．由Sn与an的关系求an主要使用an＝
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于( )
A．18B．27C．36D．45
答案 C
解析 S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36.
2．在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( )
A．200B．100C．90D．70
答案 B
解析 S10＝＝100.
3．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an-1＋(n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的前9项和等于( )
A．27B.C．45D．－9
答案 A
解析 由已知数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列，
∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.
4．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项的和为( )
A．10000 B．8000
C．9000 D．11000
答案 A
解析 由已知得{an＋bn}为等差数列，故其前100项的和为S100＝
＝50×(25＋75＋100)＝10000.
5．在等差数列{an}中，若S10＝4S5，则等于( )
A.B．2C.D．4
答案 A
解析 由题意得10a1＋×10×9d＝4，
∴10a1＋45d＝20a1＋40d，∴10a1＝5d，∴＝.
6．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765B．665C．763D．663
答案 B
解析 ∵a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，∴n<15，
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
7．在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10等于( )
A．－9B．－11C．－13D．－15
答案 D
解析 由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，
∵an<0，∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝＝＝＝－15.
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n(n∈N＋)，则a2＋a18等于( )
A．36B．35C．34D．33
答案 C
解析 方法一 a2＝S2－S1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，
a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.
∴a2＋a18＝34.
方法二 易知{an}为等差数列．∴a2＋a18＝a1＋a19，S19＝＝192－2×19，∴a1＋a19＝34，即a2＋a18＝34.
二、填空题
9．在等差数列{an}中，an＝2n＋3，n∈N＋，前n项和Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，则a－b＋c＝________.
答案 －3
解析 因为an＝2n＋3，所以a1＝5，Sn＝＝n2＋4n，与Sn＝an2＋bn＋c比较，得a＝1，b＝4，c＝0，所以a－b＋c＝－3.
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200·，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝________.
答案 100
解 因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，
所以a1＋a200＝1，所以S200＝＝100.
11．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
答案 15
解析 设等差数列的公差为d，
则S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，
S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.
由解得
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
三、解答题
12．在等差数列{an}中，
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8；
(2)已知a2＋a4＝，求S5.
解 (1)方法一 ∵a6＝10，S5＝5，
∴解得∴a8＝a6＋2d＝16.
方法二 ∵S6＝S5＋a6＝15，
∴15＝，即3(a1＋10)＝15.
∴a1＝－5，d＝＝3.∴a8＝a6＋2d＝16.
(2)方法一 ∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝，
∴a1＋2d＝.
∴S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5×＝24.
方法二 ∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝，
∴S5＝＝×＝24.
13．已知数列{an}的所有项均为正数，其前n项和为Sn，且Sn＝a＋an－(n∈N＋)．
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，
解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．
当n≥2时，
an＝Sn－Sn-1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3)．
所以4an＝a－a＋2an－2an-1，
即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
因为an＋an-1>0，所以an－an-1＝2(n≥2)．
所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．
(2)解 由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，n∈N＋.
14．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．
答案 10
解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.
∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
15．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．
又公差d>0，∴a3
∴∴∴an＝4n－3，n∈N＋.
(2)由(1)知，Sn＝n×1＋×4＝2n2－n，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
∴2c2＋c＝0，∴c＝－ (c＝0舍去)．
经检验，c＝－符合题意，∴c＝－.
第2课时 等差数列前n项和的性质
学习目标 1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值．
知识点一 等差数列{an}的前n项和Sn的性质
性质1
等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列
性质2
若等差数列的项数为2n(n∈N＋)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0)；
若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0)
性质3
{an}为等差数列?为等差数列
思考 若{an}是公差为d的等差数列，那么a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是否也是等差数列？如果是，公差是多少？
答案 (a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝(a4－a1)＋(a5－a2)＋(a6－a3)＝3d＋3d＋3d＝9d，
(a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6)＝(a7－a4)＋(a8－a5)＋(a9－a6)＝3d＋3d＋3d＝9d.
∴a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为9d的等差数列．
知识点二 等差数列{an}的前n项和公式的函数特征
1．公式Sn＝na1＋可化成关于n的表达式：Sn＝n2＋n.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．
2．等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
(2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．
1．等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数．( × )
2．等差数列{an}的前n项和Sn＝An2＋bn.即{an}的公差为2A.( √ )
3．若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.则的公差为.( √ )
4．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则{an}不是等差数列．( √ )
题型一 等差数列前n项和的性质的应用
例1 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．
解 (1)方法一 在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
方法二 在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
(2)＝＝＝＝＝.
反思感悟 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
跟踪训练1 一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和．
解 设Sn＝an2＋bn.
∵S10＝100，S100＝10，
∴解得
∴Sn＝－n2＋n.
∴S110＝－×1102＋×110＝－110.
题型二 求等差数列前n项和的最值问题
例2 在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．
解 方法一 ∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d＝17×25＋d，
解得d＝－2.
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二 同方法一，求出公差d＝－2.
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
∵a1＝25>0，
由得
又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法三 同方法一，求出公差d＝－2.∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.∴a13>0，a14<0.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法四 同方法一，求出公差d＝－2.设Sn＝An2＋Bn.
∵S9＝S17，
∴二次函数f(x)＝Ax2＋Bx的对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，
∴当n＝13时，Sn取得最大值169.
反思感悟 (1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形：
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和．
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和．
(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找．
②运用二次函数求最值．
跟踪训练2 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
解 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n(n∈N＋)．
(2)方法一 由(1)知，a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
方法二 由(1)知，a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列．
令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N＋，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
题型三 求数列{|an|}的前n项和
例3 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
解 ∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
＝na1＋d＝13n＋×(－4)＝15n－2n2；
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
＝2×－(15n－2n2)＝56＋2n2－15n.
∴Tn＝
反思感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}．若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和．
跟踪训练3 已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S2＝16，S4＝24，得
即解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N＋)．
由an≥0，解得n≤5，则
①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)
＝n2－10n＋50，
故Tn＝
用数形结合思想求解数列中的参数问题
典例 在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
答案
解析 方法一 由当且仅当n＝8时Sn最大，知a8＞0且a9＜0，
于是解得－1＜d＜－，
故d的取值范围为.
方法二 Sn＝n2＋n.
对称轴为＝－，
∵n＝8时，Sn取最大值．∴7.5＜－＜8.5，
即－8＜＜－7，∴d∈.
[素养评析] 利用数形结合抓住事物本质，解决问题才能思路清晰，方法简捷，等差数列{an}(a1>0，d<0或a1<0，d>0)中，an＝dn＋(a1－d)，其图象为y＝dx＋(a1－d)上的一系列点，要求Sn的最大(小)值，只需找出距x轴最近的两个点；Sn＝n2＋n，其图象为y＝x2＋x上的一系列点．要求Sn的最大(小)值，只需找出距对称轴最近的点.
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A．13B．35C．49D．63
答案 C
解析 S7＝＝7·＝7·＝49.
2．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于( )
A．12B．13C．14D．15
答案 B
解析 ∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5，∴d＝a3－a2＝5－3＝2，
∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.故选B.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63B．45C．36D．27
答案 B
解析 ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为( )
A．5B．6C．7D．8
答案 B
解析 由7a5＋5a9＝0，即7a1＋28d＋5a1＋40d＝0，
得＝－.
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
因为函数y＝x2＋x的图象的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.
5．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋3n，p－q＝5，则ap－aq＝________.
答案 20
解析 由Sn＝n2＋n＝2n2＋3n知公差d＝4，
∴ap－aq＝(p－q)d＝5×4＝20.
1．等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形
(1)Sn＝n·；
(2)Sn＝n2＋n；
(3)＝n＋.
2．求等差数列前n项和最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点.
一、选择题
1．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( )
A．11或12 B．12
C．13 D．12或13
答案 D
解析 ∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
∴数列{an}为等差数列．
又a1＝24，d＝－2，
∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n
＝－2＋.
∵n∈N＋，∴当n＝12或13时，Sn最大，故选D.
2．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为( )
A．160B．180C．200D．220
答案 B
解析 由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，
由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，
于是S20＝10(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×(－8＋26)＝180.
3．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2B．－1C．0D．1
答案 B
解析 ∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝An2＋Bn，
∴λ＝－1.
4．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2011＝S2016，Sk＝S2008，则正整数k为( )
A．2017 B．2018
C．2019 D．2020
答案 C
解析 因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011＝S2 016，Sk＝S2 008，可得＝，解得k＝2 019.故选C.
5．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为( )
A．6B．7C．8D．9
答案 B
解析 因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有
所以即≤k≤.
因为k∈N＋，所以k＝7.故满足条件的n的值为7.
6．已知{an}为项数为2n＋1的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 S奇＝，S偶＝，
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.
7．已知等差数列{an}中，a1009＝4，S2018＝2018，则S2019等于( )
A．－2019 B．2019
C．－4038 D．4038
答案 C
解析 因为{an}是等差数列，所以S2 018＝1 009(a1＋a2 018)＝1 009(a1 009＋a1 010)＝2 018，则a1 009＋a1 010＝2.又a1 009＝4，所以a1 010＝－2，则S2 019＝＝2 019a1 010＝－4 038.
8．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立，则k的值为( )
A．22B．21C．20D．19
答案 C
解析 对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立，即Sk为Sn的最大值．
因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2n，
当Sn取得最大值时，满足解得19≤n≤20.
即满足对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立的k的值为20.
二、填空题
9．数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1(n∈N＋)，则它的通项公式是______________________．
答案 an＝
解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2，不符合上式，
∴an＝
10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．
答案 4或5
解析 由解得
∴a5＝a1＋4d＝0，∴S4＝S5且同时最大．
∴n＝4或5.
11．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝(n∈N＋)，则＋＝________.
答案
解析 设An＝kn(7n＋45)，Bn＝kn(n＋3)，则n≥2，n∈N＋时，an＝An－An－1＝k(14n＋38)，bn＝k(2n＋2)，则＝＝，＝＝，所以＋＝＋＝.
三、解答题
12．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的自然数n的值．
解 (1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9，
得解得
所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n，n∈N＋.
(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.
因为Sn＝－(n－5)2＋25，
所以当n＝5时，Sn取得最大值．
13．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
解 (1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，
∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，
∴{an}是等差数列，又∵a1＝8，a4＝2，
∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N＋.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，
则Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2.
∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.
当n>5时，an<0；
当n＝5时，an＝0；
当n<5时，an>0.
∴当n>5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，
当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.
∴Tn＝
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n等于( )
A．12B．14C．16D．18
答案 B
解析 因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.
15．已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝(n∈N＋)，则＋＝________.
答案
解析 因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，所以＋＝＝＝＝＝.
