第1课时 等比数列的概念及通项公式
学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．
知识点一 等比数列的概念
等比数列的概念和特点．
1．文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．递推公式形式的定义：＝q(n≥2).
3．等比数列各项均不能为0.
知识点二 等比中项的概念
等比中项与等差中项的异同，对比如下表：
对比项
等差中项
等比中项
定义
若x，A，y成等差数列，则A叫做x与y的等差中项
若x，G，y成等比数列，则G叫做x与y的等比中项
定义式
A－x＝y－A
＝
公式
A＝
G＝±
个数
x与y的等差中项唯一
x与y的等比中项有两个，且互为相反数
备注
任意两个数x与y都有等差中项
只有当xy＞0时，x与y才有等比中项
知识点三 等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N＋)．
1．若an＋1＝qan，n∈N＋，且q≠0，则{an}是等比数列．( × )
2．任何两个数都有等比中项．( × )
3．等比数列1，，，，…中，第10项为.( √ )
4．常数列既是等差数列，又是等比数列．( × )
题型一 等比数列的判定
命题角度1 已知数列前若干项判断是否为等比数列
例1 判断下列数列是否为等比数列．
(1)1,3,32,33，…，3n-1，…；
(2)－1,1,2,4,8，…；
(3)a1，a2，a3，…，an，….
解 (1)记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n-1，….
∵＝＝3(n≥2，n∈N＋)，
∴数列为等比数列，且公比为3.
(2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…，
∵＝－1≠＝2，∴此数列不是等比数列．
(3)当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；
当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a.
反思感悟 判定等比数列，要抓住3个要点：
①从第二项起．②要判定每一项，不能有例外．③每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0.
跟踪训练1 下列各组数成等比数列的是( )
①1，－2,4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4.
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④
答案 C
解析 ①②显然是等比数列；由于x可能为0，③不是；
a不能为0，④符合等比数列定义，故④是．
命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列
例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
∴＝2(n∈N＋)．
∴数列{an＋1}是等比数列．
(2)解 由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．
∴an＋1＝2·2n－1＝2n.即an＝2n－1.
反思感悟 等比数列的判定方法
(1)定义法：＝q(n≥2，q是不为0的常数)?{an}是公比为q的等比数列．
(2)等比中项法：a＝an－1·an＋1(n≥2，an，an－1，an＋1均不为0)?{an}是等比数列．
跟踪训练2 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，
a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
＝＝＝3(n＝1,2,3，…)．
又a1－1＝－2，∴数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝－2·3n-1，∴an＝n－2·3n-1.
题型二 等比数列基本量的计算
例3 在等比数列{an}中．
(1)已知a2＝4，a5＝－，求an；
(2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.
解 (1)设等比数列的公比为q，
则解得
∴an＝a1qn-1＝(－8)n-1＝n-4.
(2)设等比数列{an}的公比为q.
∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，∴q＝＝.
∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18.
∴a4＝16，an＝a4·qn-4＝16·n-4.
由16·n-4＝，得n－4＝5，∴n＝9.
反思感悟 已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项．
跟踪训练3 在等比数列{an}中：
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
解 (1)由等比数列的通项公式得a6＝3×(－2)6-1＝－96.
(2)设等比数列的公比为q，
那么解得
所以an＝a1qn-1＝5×2n-1，n∈N＋.
方程的思想在等比数列中的应用
典例1 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
解 方法一 设这四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得解得或
所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0，4，8，16；
当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15，9，3，1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
方法二 设这四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)，
由条件得解得或
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝3，q＝时，所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
典例2 设四个实数依次成等比数列，其积为210，中间两项的和是4，则这四个数为多少？
解 设这四个数依次为，a，aq，aq2(q≠0)，
根据题意得解得q＝－2或－，
当q＝－2时，a＝－4，
所求四个数依次为2，－4，8，－16.
当q＝－时，a＝8，
所求四个数依次为－16，8，－4，2，
综上，这四个数依次为2，－4，8，－16或－16，8，－4，2.
[素养评析] (1)解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个数成等比数列的设元技巧：
①若三个数成等比数列，可设三个数为，a，aq或a，aq，aq2(q≠0)．
②若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2或，，aq，aq3(q≠0)．
(2)像本例，明确运算对象，选择运算方法，求得运算结果充分体现数学运算的数学核心素养.
1．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4B．8C．6D．32
答案 C
解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n-1，2n-1＝32，所以n＝6.
2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64B．81C．128D．243
答案 A
解析 ∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.
又a1＋a2＝3，∴a1＝1，故a7＝1·26＝64.
3．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于( )
A．607.5B．608C．607D．159
答案 C
解析 ∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n-1，
∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝＝607.
4．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于( )
A．－24B．0C．12D．24
答案 A
解析 由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24.
5．45和80的等比中项为________．
答案 －60或60
解析 设45和80的等比中项为G，
则G2＝45×80，∴G＝±60.
6．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．
解 设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么
②÷①，得q＝，
将q＝代入①，得a1＝.
因此，a2＝a1q＝×＝8.
综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8.
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q(与n无关的常数)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N＋，且数列各项均不为零)．
2．两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方．
3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.
一、选择题
1．2＋和2－的等比中项是( )
A．1B．－1C．±1D．2
答案 C
解析 设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝(2＋)(2－)＝1，∴G＝±1.
2．(2018·四川广安中学高一月考)有下列四个说法：
①等比数列中的某一项可以为0；
②等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)；
③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；
④若b2＝ac，则a，b，c成等比数列．
其中正确说法的个数为( )
A．0B．1C．2D．3
答案 B
解析 只有③正确．
3．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a2a12＝16，则a5等于( )
A．1B．2C．4D．8
答案 A
解析 ∵a2a12＝a1q·a1q11＝a·q12＝a·212＝16，
∴a＝2-8，又an＞0，∴a1＝2-4，
∴a5＝a1q4＝2-4·24＝1.
4．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )
A．16B．27C．36D．81
答案 B
解析 ∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
5．已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
答案 B
解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号．∴ac＝b2＝9.
6．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( )
A．9B．10C．11D．12
答案 C
解析 在等比数列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.∵am＝a1qm-1＝qm-1，∴m－1＝10，∴m＝11.
7．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )
A．3B．2C．1D．－2
答案 B
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.
二、填空题
8．在等比数列{an}中，若a3＝3，a10＝384，则公比q＝________.
答案 2
解析 a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2.
9．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________________．
答案 80,40,20,10
解析 设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.
∴这4个数依次为80,40,20,10.
10．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.
答案 1
解析 设等差数列的公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，
∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1，
∴q＝＝＝1.
11．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________．
答案
解析 设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28,28q石，
∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或.
又0＜q＜1，∴q＝.
三、解答题
12．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
解 ∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.
∴an＋1＝2an，
又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0，
又由an＋1＝2an知an≠0，
∴＝2，∴{an}是首项为－1，公比为2的等比数列．
∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
13．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
解 (1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，
因此an＝，n∈N＋.
14．如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝.
15．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2a5＝.
(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式；
(2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．
解 (1)∵2an＝3an＋1，∴＝.
又∵数列{an}的各项均为负数，∴a1＜0，
∴数列{an}是以为公比的等比数列．
∴an＝a1·qn-1＝a1·n-1，
∴a2＝a1·2-1＝a1，
a5＝a1·5-1＝a1，
又∵a2·a5＝a1·a1＝，
∴a＝.又∵a1<0，∴a1＝－.
∴an＝×n-1＝－n-2(n∈N＋)．
(2)令an＝－n-2＝－，
则n－2＝4，n＝6∈N＋，
∴－是这个等比数列中的项，且是第6项．
第2课时 等比数列的性质
学习目标 1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质，并能用相关性质简化计算.
知识点一 等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为q，则
an＝a1·qn-1 ①
＝am·qn-m ②
＝·qn ③
其中当②中m＝1时，即化为①.
当③中q＞0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数．
知识点二 等比数列常见性质
(1)对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝am·an-m+1(n>m且n，m∈N＋)；
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an；
(3)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列；
(4)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列；
(5)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2.
(6)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和.
1．an＝amqn-m(n，m∈N＋)，当m＝1时，就是an＝a1qn-1.( √ )
2．等比数列{an}中，若公比q<0，则{an}一定不是单调数列．( √ )
3．若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．( × )
4．若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列．( × )
题型一 等比数列通项公式的推广应用
例1 已知等比数列{an}中．
(1)若a4＝2，a7＝8，求an；
(2)若{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an.
解 (1)∵＝q7-4＝，
即q3＝4，∴q＝，
∴(n∈N＋)．
(2)由a＝a10＝a5·q10-5，且a5≠0，
得a5＝q5，即a1q4＝q5，
又q≠0，∴a1＝q.
由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan，
∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q，
解得q＝或q＝2.
∵a1＝q，且{an}为递增数列，∴
∴an＝2·2n-1＝2n(n∈N＋)．
反思感悟 (1)应用an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.
(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q>0.
跟踪训练1 已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于( )
A．21B．42C．63D．84
答案 B
解析 设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，
解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.
题型二 等比数列的性质及其应用
例2 已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
解 (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a
＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)
＝log395＝10.
反思感悟 抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．
跟踪训练2 设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2…a9)等于( )
A．38B．39C．9D．7
答案 C
解析 ∵a4·a8＝a5·a7＝3a7且a7≠0，∴a5＝3，
∴log3(a1a2…a9)＝log3a＝log339＝9.
题型三 由等比数列衍生的新数列
例3 已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )
A．4B．6C．7D．5
答案 D
解析 ∵{an}为等比数列，
∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，
∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)
＝5×10，
又{an}各项均为正数，
∴a4a5a6＝5.
反思感悟 借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量．
跟踪训练3 等比数列{an}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为( )
A．32B．64C．128D．256
答案 B
解析 由等比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比数列，且＝2，
故a36＝4×24＝64.
等比数列的实际应用
典例 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示n(n∈N＋)年后这辆车的价值．
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解 (1)n年后车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5(1－10%)，a2＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，
∴n年后车的价值为an＝13.5×(0.9)n万元．
(2)由(1)得a4＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．
[素养评析] (1)等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．
(2)发现和提出问题，建立和求解模型，是数学建模的核心素养的体现.
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为( )
A．2B．3C．4D．8
答案 A
解析 由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.
2．等比数列{an}中，若a2a6＋a＝π，则a3a5等于( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 a2a6＝a＝a3a5，∴a3a5＝.
3．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( )
A.B.C．2D．2
答案 C
解析 奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，则＝q5＝32，则q＝2，故选C.
4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
答案 8
解析 设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7
＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)
＝(a1a8)3＝23＝8.
5．已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？
解 不是等比数列．
∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，
∴a1a3≠a，∴数列{an}不是等比数列．
1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．
2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
一、选择题
1．在等比数列{an}中，若a2019＝8a2016，则公比q的值为( )
A．2B．3C．4D．8
答案 A
解析 ∵a2019＝8a2016＝a2016·q3，∴q3＝8，∴q＝2.
2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为( )
A．100 B．－100
C．10000 D．－10000
答案 C
解析 ∵lg(a3a8a13)＝lga＝6，
∴a＝106，∴a8＝102＝100.∴a1a15＝a＝10000.
3．(2018·大连模拟)在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1等于( )
A．2B．4C.D．2
答案 B
解析 在等比数列{an}中，a2a4＝a＝1，又a2＋a4＝，数列{an}为单调递减数列，所以a2＝2，a4＝，所以q2＝＝，所以q＝(舍负)，a1＝＝4.
4．等比数列{an}中，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6.则a8等于( )
A．64B．128C．256D．512
答案 B
解析 a2＋a3＝q(a1＋a2)＝3q＝6，
∴q＝2，∴a1＋a2＝a1＋2a1＝3a1＝3，
∴a1＝1.∴a8＝27＝128.
5．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为( )
A.B．3C．±D．±3
答案 B
解析 设等差数列为{an}，公差为d，d≠0.
则a＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
化简得d2＝－2a1d，
∵d≠0，∴d＝－2a1，∴a2＝－a1，a3＝－3a1，∴q＝＝3.
6．(2018·长春模拟)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为( )
A．8B．9C．10D．11
答案 C
解析 由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∵a1am＝9，∴a1am＝a5a6，∴m＝10，故选C.
7．(2018·济南模拟)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于( )
A．12B．13C．14D．15
答案 C
解析 设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n-3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14，故选C.
二、填空题
8．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
答案 18
解析 由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.
9．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
答案 －6
解析 由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.
∵a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a1a4，
∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，
解得a1＝－8，∴a2＝－6.
10．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.
答案 8
解析 由等比数列的性质，得a3a11＝a，∴a＝4a7.
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝a7＝4.
再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8.
11．在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.
答案 1024
解析 设等比数列{an}的公比为q，
a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a·q6＝1， ①
a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8， ②
②÷①得q48＝8，q16＝2，
∴a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝a·q166＝a·q6·q160＝(a·q6)(q16)10＝210＝1024.
三、解答题
12．已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．
解 ∵{an}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64.
又∵a3＋a7＝20，∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.
①当a3＝4，a7＝16时，＝q4＝4，此时a11＝a3q8＝4×42＝64.
②当a3＝16，a7＝4时，＝q4＝，此时a11＝a3q8＝16×2＝1.
13．在等比数列{an}(n∈N＋)中，a1＞1，公比q＞0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an；
(3)试比较an与Sn的大小．
(1)证明 因为bn＝log2an，
所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2＝log2q(q＞0)为常数，
所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.
(2)解 因为b1＋b3＋b5＝6，
所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.
又因为a1＞1，
所以b1＝log2a1＞0，
又因为b1·b3·b5＝0，所以b5＝0，
即即解得
因此Sn＝4n＋·(－1)＝.
又因为d＝log2q＝－1，
所以q＝，b1＝log2a1＝4，
即a1＝16，
所以an＝25－n(n∈N＋)．
(3)解 由(2)知，an＝25－n＞0，
当n≥9时，Sn＝≤0，
所以当n≥9时，an＞Sn.
又因为a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝，
a7＝，a8＝，
S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，S8＝4，
所以当n＝3,4,5,6,7,8时，an当n＝1,2或n≥9，n∈N＋时，an＞Sn.
14．已知等比数列{an}的公比为q(q≠－1)，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N＋)，则以下结论一定正确的是( )
A．数列{bn}为等差数列，公差为qm
B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C．数列{cn}为等比数列，公比为qm2
D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm
答案 C
解析 bn＝am(n－1)＋1·(1＋q＋q2＋…＋qm-1)，由q≠－1易知bn≠0，＝＝qm，故数列{bn}为等比数列，公比为qm，选项A，B均错误；
cn＝a·q1＋2＋…＋(m-1)，＝＝m＝(qm)m＝，故数列{cn}为等比数列，公比为，D错误．故选C.
15．在等差数列{an}中，公差d≠0，a1，a2，a4成等比数列，已知数列a1，a3，，，…，，…也成等比数列，求数列{kn}的通项公式．
解 由题意得a＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
得d(d－a1)＝0，
又d≠0，∴a1＝d.
又a1，a3，，，…，，…成等比数列，
∴该数列的公比q＝＝＝3，
∴＝a1·3n+1.
又＝a1＋(kn－1)d＝kna1，
∴数列{kn}的通项公式为kn＝3n+1(n∈N＋)．
