2020版高中数学新人教B版必修5第二章数列2.1.1数列学案（含解析）

2.1.1　数　列
学习目标　1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．
知识点一　数列及其有关概念
1．按照一定次序排列起来的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….
2.数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
思考　数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
答案　不是．顺序不一样．
知识点二　通项公式
如果数列的第n项an与序号n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．不是所有数列都能写出通项公式，若数列有通项公式，通项公式表达式不一定唯一．
知识点三　数列的分类
1．按项数分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
2．按项的大小变化分类：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项都相等的数列叫做常数列．
1．1,1,1,1是一个数列．(　√　)
2．数列1,3,5,7，…的第10项是21.(　×　)
3．每一个数列都有通项公式．(　×　)
4．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．(　×　)
题型一　数列的分类
例1　下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)
A．1，，，，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
答案　C
解析　A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．
反思感悟　判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．
跟踪训练1　下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？
(1)2010,2012,2014,2016,2018；
(2)0，，，…，，…；
(3)1，，，…，，…；
(4)－，，－，，…；
(5)1,0，－1，…，sin，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
解　(1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(4)(5)是摆动数列；(6)是常数列．
题型二　由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例2　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，－，，－；
(2)，2，，8；
(3)9,99,999,9999.
解　(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(3)各项加1后，变为10,100,1000,10000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋.
反思感悟　要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系．
跟踪训练2　写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－，，－，；
(2)，，，；
(3)7,77,777,7777.
解　(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(3)这个数列的前4项可以变为×9，×99，×999，×9999，
即×(10－1)，×(100－1)，×(1000－1)，×(10000－1)，
即×(10－1)，×(102－1)，×(103－1)，×(104－1)，
所以它的一个通项公式为an＝×(10n－1)，n∈N＋.
题型三　数列通项公式的简单应用
例3　(1)已知数列，，，，…，那么0.94,0.96，0.98，0.99中是该数列中某一项值的数应当有(　　)
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案　C
解析　数列，，，，…的通项公式为an＝，
0.94＝＝，0.96＝＝，0.98＝＝，0.99＝，
，，都在数列中，故有3个．
(2)已知数列{an}的通项公式为an＝2n2－10n＋4.
问当n为何值时，an取得最小值？并求出最小值．
解　∵an＝2n2－10n＋4＝22－，
∴当n＝2或3时，an取得最小值，其最小值为a2＝a3＝－8.
反思感悟　(1)判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．
(2)利用函数的性质研究数列的单调性与最值．
跟踪训练3　(1)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，那么是这个数列的第______项．
答案　10
解析　∵＝，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
(2)已知数列{an}中，an＝－n2＋25n(n∈N＋)，则数列{an}的最大项是第________项．
答案　12或13
解析　∵an＝－2＋2是关于n的二次函数，又n∈N＋，
∴当n＝12或n＝13时，an最大．
归纳法求数列的通项公式
典例　观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有_______小圆圈．
答案　n2－n＋1
解析　观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1.故第n个图中小圆圈的个数为(n－1)·n＋1＝n2－n＋1.
[素养评析]　归纳是逻辑推理的一类，可以发现新命题．本例完美诠释了“观察现象，归纳规律，大胆猜想，小心求证”这一认识发展规律．
1．下列叙述正确的是(　　)
A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n}
C．数列0,1,0,1，…是常数列
D．数列是递增数列
答案　D
解析　由数列的通项an＝知，
an＋1－an＝－＝>0，
即数列是递增数列，故选D.
2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝n，n∈N＋ B．an＝n＋1，n∈N＋
C．an＝n＋2，n∈N＋ D．an＝2n，n∈N＋
答案　B
解析　这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为an＝n＋1，n∈N＋.
3．数列{an}中，an＝2n2－3，n∈N＋，则125是这个数列的第________项．
答案　8
解析　令2n2－3＝125，解得n＝8(n＝－8舍去)．
所以125是该数列的第8项．
4．已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N＋，则a1＝________；an＋1＝________.
答案　1　
解析　a1＝＝1，
an＋1＝＝.
5．写出数列：1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式．
解　该数列的通项公式为an＝(－1)n+1·(2n－1)，n∈N＋.
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后的特征；
(4)各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
一、选择题
1．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋，则该数列的前4项依次为(　　)
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C．,0,,0 D．2,0,2,0
答案　A
解析　当n分别等于1,2,3,4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N＋，则－8是该数列的(　　)
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．非任何一项
答案　C
解析　解n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．
3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝n2＋1
答案　C
解析　令n＝1,2,3,4，代入A，B，C，D检验，即可排除A，B，D，故选C.
4．数列，，，，…的第10项是(　　)
A.B.C.D.
答案　C
解析　由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为an＝，n∈N＋，
当n＝10时，a10＝＝.
5．已知an＋1－an－3＝0，n∈N＋，则数列{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
答案　A
解析　an＋1＝an＋3＞an，n∈N＋，即该数列每一项均小于后一项，故数列{an}是递增数列．
6．设an＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么an＋1－an等于(　　)
A. B.
C.＋ D.－
答案　D
解析　∵an＝＋＋＋…＋，
∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－.
7．数列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的一个通项公式an等于(　　)
A.(10n－1) B.(10n－1)
C. D.(10n－1)
答案　C
解析　代入n＝1检验，排除A，B，D，故选C.
8．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　)
A．an＝n，n∈N＋ B．an＝，n∈N＋
C．an＝，n∈N＋ D．an＝n2，n∈N＋
答案　C
解析　∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，
∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，….
二、填空题
9．观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，，，，________，，….
答案　3
解析　由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为＝3.
10．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是________________．
答案　an＝2n＋1，n∈N＋
11．323是数列{n(n＋2)}的第________项．
答案　17
解析　由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去)．
∴323是数列{n(n＋2)}的第17项．
三、解答题
12．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数．
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断88是不是数列{an}中的项？
解　(1)设an＝kn＋b，k≠0.
则解得
∴an＝4n－2，n∈N＋.
(2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5?N＋.
∴88不是数列{an}中的项．
13．在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N＋，请回答下列问题：
(1)这个数列共有几项为负？
(2)这个数列从第几项开始递增？
(3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．
解　(1)因为an＝n(n－8)－20＝(n＋2)(n－10)，
所以当0所以数列{an}共有9项为负．
(2)因为an＋1－an＝2n－7，
所以当an＋1－an>0时，n>，
故数列{an}从第4项开始递增．
(3)an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，
根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36，
即这个数列有最小值，最小值为－36.
14．已知数列{an}的通项公式是an＝(n∈N＋)，则a3＋＝________.
答案　
解析　a3＝2-3＝，a4＝＝，
∴＝，∴a3＋＝.
15．已知数列，n∈N＋.
(1)求证：该数列是递增数列；
(2)在区间内有无数列中的项？若有，有几项；若没有，请说明理由．
(1)证明　∵an＝＝＝＝＝1－，
∴an＋1－an＝－
＝＝＞0，n∈N＋，
∴{an}是递增数列．
(2)解　令∴
∴
∴∴当且仅当n＝2时，上式成立，
故区间内有数列中的项，且只有一项为a2＝.