2020版高中数学新人教B版必修5第二章数列章末复习学案（含解析）
文档属性
| 名称 | 2020版高中数学新人教B版必修5第二章数列章末复习学案（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 100.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-31 09:22:02 | ||
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文档简介
第二章 数列章末复习
学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握解决等差数列、等比数列问题的基本技能.3.依托等差数列、等比数列解决一般数列的常见通项、求和等问题．
1．等差数列和等比数列的基本概念与公式
等差数列
等比数列
定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
递推公式
an＋1－an＝d
＝q
中项
由三个数x，A，y组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时A叫做x与y的等差中项，并且A＝
如果在x与y中间插入一个数G，使x，G，y成等比数列，那么G叫做x与y的等比中项，且G＝±
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1
前n项和公式
Sn＝＝na1＋d
当q≠1时，Sn＝＝，当q＝1时，Sn＝na1
性质
am，an的关系
am－an＝(m－n)d
＝qm－n
m，n，s，t∈N＋，
m＋n＝s＋t
am＋an＝as＋at
aman＝asat
性质
{kn}是等差数列，且kn∈N＋
{ }是等差数列
{}是等比数列
n＝2k－1，k∈N＋
S2k－1＝(2k－1)·ak
a1a2·…·a2k－1＝a
判断方法
利用定义
an＋1－an是同一常数
是同一常数
利用中项
an＋an＋2＝2an＋1
anan＋2＝a
利用通项公式
an＝pn＋q，其中p，q为常数
an＝abn(a≠0，b≠0)
利用前n项和公式
Sn＝an2＋bn (a，b为常数)
Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1或Sn＝np(p为非零常数)
2.数列中的基本方法和思想
(1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了叠加法和叠乘法；
(2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加法和错位相减法．
(3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想．
(4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想．
题型一 方程思想求解数列问题
例1 等差数列{an}各项为正整数，a1＝3，前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝1且b2S2＝64，{}是公比为64的等比数列，求{an}，{bn}的通项公式．
解 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，
an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依题意有
由q(6＋d)＝64知q为正有理数，又由q＝知d为6的因子1,2,3,6之一，解①②得d＝2，q＝8，
故an＝2n＋1，bn＝8n－1.
反思感悟 在等比数列和等差数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量．
跟踪训练1 记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.
解 设数列{an}的公差为d，
依题设有
即
解得或
因此Sn＝n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)，n∈N＋.
题型二 转化与化归思想求解数列问题
例2 在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.
(1) 设cn＝，求证：数列{cn}是等差数列；
(2) 求数列{an}的通项公式及前n项和的公式．
(1)证明 ∵Sn＋1＝4an＋2， ①
∴当n≥2，n∈N＋时，Sn＝4an－1＋2. ②
①－②得an＋1＝4an－4an－1.
方法一 对an＋1＝4an－4an－1两边同除以2n＋1，得
＝2－，
即＋＝2，
即cn＋1＋cn－1＝2cn，
∴数列{cn}是等差数列．
由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，
则a2＝3a1＋2＝5，
∴c1＝＝，c2＝＝，故公差d＝－＝，
∴{cn}是以为首项，为公差的等差数列．
方法二 ∵an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1)，
令bn＝an＋1－2an，
则{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列，
∴bn＝3·2n－1.
∵cn＝，∴cn＋1－cn＝－＝
＝＝＝，
c1＝＝，
∴{cn}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)解 由(1)可知数列是首项为，公差为的等差数列，
∴＝＋(n－1)＝n－，
∴an＝(3n－1)·2n－2.
∴Sn＋1＝4an＋2＝2n(3n－1)＋2.
∴Sn＝2n－1·(3n－4)＋2(n≥2)．
当n＝1时，S1＝1＝a1，符合．
∴Sn＝2＋(3n－4)·2n－1(n∈N＋)．
反思感悟 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．
跟踪训练2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)．
(1)求a2，a3的值；
(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．
(1)解 ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)，
∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；
当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，
∴a2＝4；
当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，
∴a3＝8.
(2)证明 ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)， ①
∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1
＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)． ②
①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2
＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2
＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.
∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，
∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．
∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴＝2，
故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
题型三 函数思想求解数列问题
命题角度1 借助函数性质解数列问题
例3 一个等差数列{an}中，3a8＝5a13，a1>0.若Sn为{an}的前n项和，则S1，S2，…，Sn中没有最大值？请说明理由．
解 因为此等差数列不是常数列，所以其前n项和Sn是关于n的二次函数，我们可以利用配方法，结合二次函数的性质求解．设{an}的首项为a1，公差为d，则有3(a1＋7d)＝5(a1＋12d)，所以d＝－a1，所以Sn＝na1＋d＝－n2a1＋na1＝－a1(n－20)2＋a1，故n＝20时，Sn最大，即前20项之和最大．
反思感悟 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n}，这一特殊性对问题结果可能造成影响．
跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝2n－2019，问这个数列前多少项的和最小？
解 设an＝2n－2 019，对应的函数为y＝2x－2 019，易知y＝2x－2 019在R上单调递增，且当y＝0时，x＝，因此，数列{an}为单调递增数列，a1 009<0，a1 010>0，故当1≤n≤1 009时，an<0；当n>1 009时，an>0.
∴数列{an}中前1 009项的和最小．
命题角度2 以函数为载体给出数列
例4 已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f，n∈N＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn.
解 (1)∵an＋1＝f＝＝＝an＋，
∴an＋1－an＝，
∴{an}是以为公差的等差数列．
又a1＝1，∴an＝n＋.
(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1
＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)
＝－(a2＋a4＋…＋a2n)
＝－·＝－(2n2＋3n)．
反思感悟 以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题．
跟踪训练4 设y＝f(x)是一次函数，f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝________.
答案 2n2＋3n
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f(0)＝1，则b＝1，
所以f(x)＝kx＋1(k≠0)．
又[f(4)]2＝f(1)f(13)，
所以(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)，解得k＝2.
所以f(x)＝2x＋1，则f(2n)＝4n＋1.
所以{f(2n)}是公差为4的等差数列．
所以f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝＝2n2＋3n.
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )
A．6B．7C．8D．9
答案 A
解析 设等差数列{an}的公差为d，
∵a4＋a6＝－6，∴a5＝－3，
∴d＝＝2，∴a6＝－1<0，a7＝1>0，
故当等差数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n等于6.
2．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为( )
A．2100－101 B．299－101
C．2100－99 D．299－99
答案 A
解析 由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n-1＝＝2n－1，所以，前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101.
3．在等比数列{an}中，已知a2＝4，a6＝16，则a4＝________.
答案 8
解析 a＝a2a6＝4×16＝64，∴a4＝±8.
若a4＝－8，则a＝a2a4＜0.∴a4＝－8舍去．∴a4＝8.
4．等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.
答案 5
解析 log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2…a5)＝log2a，
又a1a5＝a＝4，且a3＞0，∴a3＝2.
∴log2a＝log225＝5.
5．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为________；数列{nan}中数值最小的项是第________项．
答案 an＝3n－16 3
解析 利用an＝求得an＝3n－16.
则nan＝3n2－16n＝3，
所以n＝3时，nan的值最小．
1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．
2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
3．在求通项求和的基础上，可以借助不等式、单调性等研究数列的最值、取值范围、存在性问题．
学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握解决等差数列、等比数列问题的基本技能.3.依托等差数列、等比数列解决一般数列的常见通项、求和等问题．
1．等差数列和等比数列的基本概念与公式
等差数列
等比数列
定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
递推公式
an＋1－an＝d
＝q
中项
由三个数x，A，y组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时A叫做x与y的等差中项，并且A＝
如果在x与y中间插入一个数G，使x，G，y成等比数列，那么G叫做x与y的等比中项，且G＝±
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1
前n项和公式
Sn＝＝na1＋d
当q≠1时，Sn＝＝，当q＝1时，Sn＝na1
性质
am，an的关系
am－an＝(m－n)d
＝qm－n
m，n，s，t∈N＋，
m＋n＝s＋t
am＋an＝as＋at
aman＝asat
性质
{kn}是等差数列，且kn∈N＋
{ }是等差数列
{}是等比数列
n＝2k－1，k∈N＋
S2k－1＝(2k－1)·ak
a1a2·…·a2k－1＝a
判断方法
利用定义
an＋1－an是同一常数
是同一常数
利用中项
an＋an＋2＝2an＋1
anan＋2＝a
利用通项公式
an＝pn＋q，其中p，q为常数
an＝abn(a≠0，b≠0)
利用前n项和公式
Sn＝an2＋bn (a，b为常数)
Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1或Sn＝np(p为非零常数)
2.数列中的基本方法和思想
(1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了叠加法和叠乘法；
(2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加法和错位相减法．
(3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想．
(4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想．
题型一 方程思想求解数列问题
例1 等差数列{an}各项为正整数，a1＝3，前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝1且b2S2＝64，{}是公比为64的等比数列，求{an}，{bn}的通项公式．
解 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，
an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依题意有
由q(6＋d)＝64知q为正有理数，又由q＝知d为6的因子1,2,3,6之一，解①②得d＝2，q＝8，
故an＝2n＋1，bn＝8n－1.
反思感悟 在等比数列和等差数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量．
跟踪训练1 记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.
解 设数列{an}的公差为d，
依题设有
即
解得或
因此Sn＝n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)，n∈N＋.
题型二 转化与化归思想求解数列问题
例2 在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.
(1) 设cn＝，求证：数列{cn}是等差数列；
(2) 求数列{an}的通项公式及前n项和的公式．
(1)证明 ∵Sn＋1＝4an＋2， ①
∴当n≥2，n∈N＋时，Sn＝4an－1＋2. ②
①－②得an＋1＝4an－4an－1.
方法一 对an＋1＝4an－4an－1两边同除以2n＋1，得
＝2－，
即＋＝2，
即cn＋1＋cn－1＝2cn，
∴数列{cn}是等差数列．
由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，
则a2＝3a1＋2＝5，
∴c1＝＝，c2＝＝，故公差d＝－＝，
∴{cn}是以为首项，为公差的等差数列．
方法二 ∵an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1)，
令bn＝an＋1－2an，
则{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列，
∴bn＝3·2n－1.
∵cn＝，∴cn＋1－cn＝－＝
＝＝＝，
c1＝＝，
∴{cn}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)解 由(1)可知数列是首项为，公差为的等差数列，
∴＝＋(n－1)＝n－，
∴an＝(3n－1)·2n－2.
∴Sn＋1＝4an＋2＝2n(3n－1)＋2.
∴Sn＝2n－1·(3n－4)＋2(n≥2)．
当n＝1时，S1＝1＝a1，符合．
∴Sn＝2＋(3n－4)·2n－1(n∈N＋)．
反思感悟 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．
跟踪训练2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)．
(1)求a2，a3的值；
(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．
(1)解 ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)，
∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；
当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，
∴a2＝4；
当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，
∴a3＝8.
(2)证明 ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)， ①
∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1
＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)． ②
①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2
＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2
＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.
∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，
∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．
∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴＝2，
故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
题型三 函数思想求解数列问题
命题角度1 借助函数性质解数列问题
例3 一个等差数列{an}中，3a8＝5a13，a1>0.若Sn为{an}的前n项和，则S1，S2，…，Sn中没有最大值？请说明理由．
解 因为此等差数列不是常数列，所以其前n项和Sn是关于n的二次函数，我们可以利用配方法，结合二次函数的性质求解．设{an}的首项为a1，公差为d，则有3(a1＋7d)＝5(a1＋12d)，所以d＝－a1，所以Sn＝na1＋d＝－n2a1＋na1＝－a1(n－20)2＋a1，故n＝20时，Sn最大，即前20项之和最大．
反思感悟 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n}，这一特殊性对问题结果可能造成影响．
跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝2n－2019，问这个数列前多少项的和最小？
解 设an＝2n－2 019，对应的函数为y＝2x－2 019，易知y＝2x－2 019在R上单调递增，且当y＝0时，x＝，因此，数列{an}为单调递增数列，a1 009<0，a1 010>0，故当1≤n≤1 009时，an<0；当n>1 009时，an>0.
∴数列{an}中前1 009项的和最小．
命题角度2 以函数为载体给出数列
例4 已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f，n∈N＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn.
解 (1)∵an＋1＝f＝＝＝an＋，
∴an＋1－an＝，
∴{an}是以为公差的等差数列．
又a1＝1，∴an＝n＋.
(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1
＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)
＝－(a2＋a4＋…＋a2n)
＝－·＝－(2n2＋3n)．
反思感悟 以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题．
跟踪训练4 设y＝f(x)是一次函数，f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝________.
答案 2n2＋3n
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f(0)＝1，则b＝1，
所以f(x)＝kx＋1(k≠0)．
又[f(4)]2＝f(1)f(13)，
所以(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)，解得k＝2.
所以f(x)＝2x＋1，则f(2n)＝4n＋1.
所以{f(2n)}是公差为4的等差数列．
所以f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝＝2n2＋3n.
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )
A．6B．7C．8D．9
答案 A
解析 设等差数列{an}的公差为d，
∵a4＋a6＝－6，∴a5＝－3，
∴d＝＝2，∴a6＝－1<0，a7＝1>0，
故当等差数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n等于6.
2．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为( )
A．2100－101 B．299－101
C．2100－99 D．299－99
答案 A
解析 由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n-1＝＝2n－1，所以，前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101.
3．在等比数列{an}中，已知a2＝4，a6＝16，则a4＝________.
答案 8
解析 a＝a2a6＝4×16＝64，∴a4＝±8.
若a4＝－8，则a＝a2a4＜0.∴a4＝－8舍去．∴a4＝8.
4．等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.
答案 5
解析 log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2…a5)＝log2a，
又a1a5＝a＝4，且a3＞0，∴a3＝2.
∴log2a＝log225＝5.
5．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为________；数列{nan}中数值最小的项是第________项．
答案 an＝3n－16 3
解析 利用an＝求得an＝3n－16.
则nan＝3n2－16n＝3，
所以n＝3时，nan的值最小．
1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．
2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
3．在求通项求和的基础上，可以借助不等式、单调性等研究数列的最值、取值范围、存在性问题．