2020版高中数学新人教B版必修5第二章数列专题突破二数列的单调性和最大小项学案（含解析）

专题突破二　数列的单调性和最大(小)项
一、数列的单调性
(1)定义：若数列{an}满足：对一切正整数n，都有an＋1＞an(或an＋1＜an)，则称数列{an}为递增数列(或递减数列)．
(2)判断单调性的方法
①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性．
②利用定义判断：作差比较法，即作差比较an＋1与an的大小；作商比较法，即作商比较an＋1与an的大小，从而判断出数列{an}的单调性．
例1　已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)．试判断数列的单调性．
解　f(x)＝＝－2＋.
方法一　∵an＝－2＋(n∈N＋)，an＋1＝－2＋，
∴an＋1－an＝－＝
＝＜0.
∴an＋1＜an.
∴数列{an}是递减数列．
方法二　设x1＞x2≥1，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝－
＝，
∵x1＞x2≥1，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上为减函数，
∴an＝f(n)为递减数列．
反思感悟　研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x1跟踪训练1　数列{an}的通项公式为an＝－3×2n-2＋2×3n-1，n∈N＋.求证：{an}为递增数列．
证明　an＋1－an＝－3×2n-1＋2×3n－(－3×2n-2＋2×3n-1)
＝3(2n-2－2n-1)＋2(3n－3n-1)
＝－3×2n-2＋4×3n-1
＝2n-2，
∵n≥1，n∈N＋，∴n-2≥1-2＝，
∴12×n-2≥8＞3，
∴12×n-2－3＞0，又2n-2＞0，
∴an＋1－an＞0，即an＋1＞an，n∈N＋.
∴{an}是递增数列．
二、求数列中的最大(或最小)项问题
常见方法：
(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．
(2)利用(n≥2)求数列中的最大项an；利用(n≥2)求数列中的最小项an.当解不唯一时，比较各解大小即可确定．
例2　在数列{an}中，an＝，则该数列前100项中的最大项与最小项的项数分别是________．
答案　45,44
解析　an＝＝1＋，设f(x)＝1＋，则f(x)在区间(－∞，)与(，＋∞)上都是减函数．
因为44<<45，
故数列{an}在0反思感悟　本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．
跟踪训练2　已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N＋)，则{an}的最大项是(　　)
A．a3 B．a4
C．a5 D．a6
答案　C
解析　f(x)＝在，上都是增函数．
且1≤n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴{an}的最大值为a5.
例3　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N＋.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出其最小值．
解　(1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.
∵n∈N＋，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．
(2)∵an＝n2－5n＋4＝2－，且n∈N＋，
∴当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
反思感悟　有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．
跟踪训练3　已知(－1)na＜1－对任意n∈N＋恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　设f(n)＝1－，n≥1，则f(n)单调递增．
当n为奇数时，有－a＜1－
又f(n)min＝f(1)＝1－＝.
∴－a＜即a＞－.
当n为偶数时，a＜1－.
f(n)min＝f(2)＝1－＝.
∴a＜.综上，－＜a＜.
例4　已知数列{an}的通项公式为an＝nn+1，n∈N＋，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，请说明理由．
解　∵an＋1－an＝(n＋1)·n+2－nn+1＝n+1·，且n∈N＋，
∴当n>3，n∈N＋时，an＋1－an<0；
当1≤n≤3，n∈N＋时，an＋1－an>0.
综上，可知{an}在n∈{1,2,3}时，单调递增；在n∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a3＝3×3+1反思感悟　如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．
跟踪训练4　已知数列{bn}的通项公式为bn＝，n∈N＋，求{bn}的最大值．
解　∵bn＋1－bn＝－＝，且n∈N＋，
∴当n＝1,2,3,4,5时，bn＋1－bn＞0，即b1＜b2＜b3＜b4＜b5.
当n＝6,7,8，…时，bn＋1－bn＜0，即b6＞b7＞b8＞…，
又b5＝＜b6＝.
∴{bn}的最大值为b6＝.
三、利用数列的单调性确定变量的取值范围
常利用以下等价关系：
数列{an}递增?an＋1＞an恒成立；数列{an}递减?an＋1＜an恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．
例5　已知数列{an}中，an＝n2＋λn，n∈N＋.
(1)若{an}是递增数列，求λ的取值范围．
(2)若{an}的第7项是最小项，求λ的取值范围．
解　(1)由{an}是递增数列?an－(2n＋1)，n∈N＋?λ>－3.
∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．
(2)依题意有即
解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．
反思感悟　注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足不一定a7最小．
跟踪训练5　数列{an}中，an＝2n－1－k·2n－1，n∈N＋，若{an}是递减数列，求实数k的取值范围．
解　an＋1＝2(n＋1)－1－k·2n＋1－1＝2n＋1－k·2n，
an＋1－an＝2－k·2n－1.
∵{an}是递减数列，
∴对任意n∈N＋，有2－k·2n－1＜0，
即k＞恒成立，
∴k＞max＝2，
∴k的取值范围为(2，＋∞)．
1．设an＝－2n2＋29n＋3，n∈N＋，则数列{an}的最大项是(　　)
A．103 B.
C. D．108
答案　D
解析　∵an＝－22＋2×＋3，n∈N＋，
∴当n＝7时，an取得最大值，最大值为a7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n-1－n-1(n∈N＋)，则数列{an}(　　)
A．有最大项，没有最小项
B．有最小项，没有最大项
C．既有最大项又有最小项
D．既没有最大项也没有最小项
答案　C
解析　an＝n-1－n-1＝2－n-1，
令n-1＝t，则t是区间(0,1]内的值，而an＝t2－t＝2－，所以当n＝1，即t＝1时，an取最大值．
使n-1最接近的n的值为数列{an}中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项．
3．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第几项的和最大(　　)
A．10B．11C．10或11D．12
答案　C
解析　∵an＝－n2＋10n＋11是关于n的二次函数，∴数列{an}是抛物线f(x)＝－x2＋10x＋11上的一些离散的点，∴{an}前10项都是正数，第11项是0，∴数列{an}前10项或前11项的和最大．故选C.
4．数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N＋，2≤n≤10)，则数列{an}的最大项的值为________．
答案　1024
解析　∵a1＝2，an＝2an－1，∴an≠0，∴＝2＞1，
∴an＞an－1，即{an}单调递增，∴{an}的最大项为a10＝2a9＝22a8＝…＝29·a1＝29·2＝210＝1024.
5．已知数列{an}中，an＝1＋.若a6为最大项，则实数m的取值范围是________．
答案　(－11，－9)
解析　根据题意知，y＝1＋的图象如下：
由a6为最大项，知5＜＜6.∴－11＜m＜－9.
一、选择题
1．已知数列{an}满足a1>0，2an＋1＝an，则数列{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．以上都不对
答案　B
解析　∵a1>0，an＋1＝an，
∴an>0，∴＝<1，
∴an＋12．在数列{an}中，an＝n，则{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．以上都不是
答案　A
解析　∵an＋1－an＝(n＋1)－n＝1>0，
∴数列{an}是递增数列．
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－9n－100，则其最小项是(　　)
A．第4项 B．第5项
C．第6项 D．第4项或第5项
答案　D
解析　f(x)＝x2－9x－100的对称轴为x＝，且开口向上．
∴an＝n2－9n－100的最小项是第4项或第5项．
4．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　　)
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
答案　C
解析　∵{an}是递减数列，∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.
5．函数f(x)满足f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N＋)，an＝f(n)，则{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
答案　A
解析　an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＝3>0.
6．已知p>0，n∈N＋，则数列{log0.5pn}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．增减性与p的取值有关 D．常数列
答案　C
解析　令an＝log0.5pn.
当p>1时，pn+1>pn，∴log0.5pn+1当07．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则该数列的最大项为(　　)
A．第2项 B．第3项
C．第2项或第3项 D．不存在
答案　C
解析　易知，an＝.函数y＝x＋(x>0)在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增，故数列an＝(n∈N＋)在区间(0，)上递增，在区间(，＋∞)上递减．
又2<<3，且a2＝a3，所以最大项为第2项或第3项．
8．已知数列an的通项公式an＝n＋，若对任意的n∈N＋，都有an≥a3，则实数k的取值范围为(　　)
A．[6,12]B．(6,12) C．[5,12]D．(5,12)
答案　A
解析　n＋≥3＋对任意的n∈N＋恒成立，则k≥3－n，
≥3－n，
当n≥4时，k≤3n，所以k≤12，
当n＝1时，k≥3，
当n＝2时，k≥6，
以上三个要都成立，故取交集得6≤k≤12.
二、填空题
9．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n，则数列{an}的各项中的最小项是第________项．
答案　5
解析　易知，an＝3n2－28n＝32－，故当n取附近的正整数时，an最小．
又4<<5，且a4＝－64，a5＝－65，故数列{an}的各项中的最小项是第5项．
10．若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为________(填序号)．
①an＝－2n＋1；②an＝－n2＋3n＋1；③an＝；④an＝(－1)n.
答案　①③
解析　可以通过画函数的图象一一判断，②有增有减，④是摆动数列．
11．设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．
答案　(2,3)
解析　由题意，得点(n，an)分布在分段函数
f(x)＝的图象上．
因此当3－a>0时，a1当a>1时，a8为使数列{an}递增还需a7故实数a满足条件解得2故实数a的取值范围是(2,3)．
三、解答题
12．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)，且{an}递增，求实数k的取值范围．
解　因为an＋1＝(n＋1)2－k(n＋1)，an＝n2－kn，
所以an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k.
由于数列{an}递增，故应有an＋1－an>0，
即2n＋1－k>0，n∈N＋恒成立，分离变量得k<2n＋1，
故需k<3即可，
所以k的取值范围为(－∞，3)．
13．已知数列{an}的通项公式为an＝.
(1)判断{an}的单调性；
(2)求{an}的最小项．
解　(1)an＋1－an＝(n＋1)＋－
＝1＋－＝，且n∈N＋，
当1≤n≤2时，an＋1－an＜0，
当n≥3时，an＋1－an＞0，
即n＝1，n＝2时，{an}递减，
n≥3时，{an}递增．
(2)由(1)知{an}的最小项从a2，a3中产生．
由a2＝＞a3＝，
∴{an}的最小项为a3＝.
14．已知数列an＝，则数列{an}中的最小项是第________项．
答案　5
解析　an＝＝＝＋，
令3n－16<0，得n<.
又f(n)＝an在上单调递减，且n∈N＋，
所以当n＝5时，an取最小值．
15．作出数列{an}：an＝－n2＋10n＋11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值．
解　列表
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
an
20
27
32
35
36
35
32
27
20
11
0
…
图象如图所示．
由数列的图象知，
当1≤n≤5时数列递增；
当n>5时数列递减，最大值为a5＝36，无最小值．