2020版高中数学新人教B版必修5第二章数列专题突破三数列通项公式的求法学案（含解析）

专题突破三　数列通项公式的求法
求数列的通项公式，是数列问题中的一类重要题型，在数列学习和考试中占有很重要的位置，本专题就来谈谈数列通项公式的求法.
一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式
例1　由数列的前n项，写出通项公式：
(1)3,5,3,5,3,5，…；
(2)，，，，，…；
(3)2，，，，，…；
(4)，，，，，….
解　(1)这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5.所以它的一个通项公式为an＝4＋(－1)n，n∈N＋.
(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(3)数列可化为1＋1,2＋，3＋，4＋，5＋，…，
所以它的一个通项公式为an＝n＋，n∈N＋.
(4)数列可化为，，，，，…，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
反思感悟　这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系．需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜想”，而且表达式不一定唯一．
跟踪训练1　由数列的前几项，写出通项公式：
(1)1，－7,13，－19,25，…；
(2)，，，，，…；
(3)1，－，，－，….
解　(1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n+1(6n－5)，n∈N＋.
(2)数列化为，，，，，…，分子，分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(3)数列化为，－，，－，…，
所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n+1，n∈N＋.
二、利用递推公式求通项公式
命题角度1　累加、累乘
例2　(1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝a1＋an＋n，求通项公式；
(2)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，求an.
解　(1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，
即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)．
即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
又a1＝1也适合上式，∴an＝，n∈N＋.
(2)由条件知＝，分别令n＝1,2,3，…，n－1，
代入上式得(n－1)个等式，累乘，即···…·＝×××…×(n≥2)．
∴＝，又∵a1＝，∴an＝.
又a1＝也适合上式，∴an＝，n∈N＋.
反思感悟　形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式求通项可以使用叠加法，步骤如下：
第一步　将递推公式写成an＋1－an＝f(n)；
第二步　当n≥2时，依次写出an－an－1，…，a2－a1，并将它们叠加起来；
第三步　得到an－a1的值，解出an；
第四步　检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式．叠乘法类似．
跟踪训练2　在数列{an}中，a1＝1，an－an－1＝n－1(n＝2,3,4，…)，求{an}的通项公式．
解　∵当n＝1时，a1＝1，
当n≥2时，这n－1个等式累加得，
an－a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝，
故an＝＋a1＝且a1＝1也满足该式，
∴an＝(n∈N＋)．
命题角度2　构造等差(比)数列
例3　已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2，且a1＝1，则an＝________.
答案　2×3n-1－1
解析　设an＋1＋A＝3(an＋A)，化简得an＋1＝3an＋2A.
又an＋1＝3an＋2，∴2A＝2，即A＝1.
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3.
∴数列{an＋1}是等比数列，首项为a1＋1＝2，公比为3.
则an＋1＝2×3n-1，即an＝2×3n-1－1.
反思感悟　形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：
第一步　假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；
第二步　由待定系数法，解得t＝；
第三步　写出数列的通项公式；
第四步　写出数列{an}通项公式．
跟踪训练3　已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，求数列{an}的通项公式．
解　设an＋1＋λ×5n+1＝2(an＋λ×5n)， ①
将an＋1＝2an＋3×5n代入①式，
得2an＋3×5n＋λ×5n+1＝2an＋2λ×5n，
等式两边消去2an，得3×5n＋λ×5n+1＝2λ×5n，
两边除以5n，得3＋5λ＝2λ，则λ＝－1，
代入①式得an＋1－5n+1＝2(an－5n)． ②
由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0，
则＝2，
则数列{an－5n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
则an－5n＝2n-1，故an＝2n-1＋5n(n∈N＋)．
命题角度3　预设阶梯转化为等差(比)数列
例4　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋.
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明　由an＋1＝4an－3n＋1，
得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋.
因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，
所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)解　由(1)，可知an－n＝4n-1，n∈N＋，
于是数列{an}的通项公式为an＝4n-1＋n，n∈N＋.
反思感悟　课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造好等差(比)数列让学者证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深．
跟踪训练4　在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N＋)．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明　由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，
整理得－＝3(n≥2)，
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．
(2)解　由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，
所以an＝，n∈N＋.
三、利用前n项和Sn与an的关系求通项公式
例5　已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N＋，则an等于(　　)
A．2n+1B．2nC．2n-1D．2n-2
答案　A
解析　因为Sn＝2an－4，所以n≥2时，Sn-1＝2an-1－4，两式相减可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an-1，整理得an＝2an－1，因为S1＝a1＝2a1－4，即a1＝4，所以＝2.所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列，则an＝4×2n-1＝2n+1，故选A.
反思感悟　已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)的解题步骤：
第一步　利用Sn满足条件p，写出当n≥2时，Sn－1的表达式；
第二步　利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式；
第三步　若求出n≥2时的{an}的通项公式，则根据a1＝S1求出a1，并代入n≥2时的{an}的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式．如果求出的是{an}的递推公式，则问题化归为例3形式的问题．
跟踪训练5　在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1(n∈N＋)，求数列{an}的通项公式an.
解　由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1，得
当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝an，
两式作差得nan＝an＋1－an，
得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，
即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故当n≥2时，nan＝2·3n-2.
于是an＝
1．已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是(　　)
A．an＝(－1)n-1＋1
B．an＝
C．an＝2sin
D．an＝cos(n－1)π＋1
答案　C
解析　对n＝1,2,3,4进行验证，知an＝2sin不合题意，故选C.
2．数列0，，，，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝(n∈N＋)
B．an＝(n∈N＋)
C．an＝(n∈N＋)
D．an＝(n∈N＋)
答案　C
解析　注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则an＝________.
答案　
解析　因为an＝an－1(n≥2)，
所以an－1＝an－2，…，a2＝a1.
以上(n－1)个式子相乘得
an＝a1···…·＝＝.
当n＝1时，a1＝1也满足an＝.
综上an＝.
4．数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3n＋1，n∈N＋，则它的通项公式为________．
答案　an＝
解析　当n＝1时，a1＝S1＝5；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2.
故数列{an}的通项公式为an＝
5．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式是________．
答案　an＝4n-1
解析　依题意a1＋4a1＋42a1＝21，
所以a1＝1，
所以an＝a1qn-1＝4n-1.
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n.求{an}的通项公式．
解　因为Sn＝2n2－3n，
所以当n≥2时，
Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，
所以an＝Sn－Sn－1＝4n－5，n≥2，
又当n＝1时，a1＝S1＝－1，满足an＝4n－5，
所以an＝4n－5，n∈N＋.
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.证明{an}是等比数列，并求其通项公式．
解　由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，
得an＋1＝λan＋1－λan，
即an＋1(λ－1)＝λan.
由a1≠0，λ≠0得an≠0，
所以＝.
所以{an}是首项为，公比为的等比数列，
所以an＝n－1，n∈N＋.
一、选择题
1．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N＋)，则a100的值是(　　)
A．9900B．9902C．9904D．11000
答案　B
解析　a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2
＝2×＋2＝9 902.
2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则这个数列的第n项为(　　)
A．2n－1B．2n＋1C.D.
答案　C
解析　∵an＋1＝，a1＝1，∴－＝2.
∴为等差数列，公差为2，首项＝1.
∴＝1＋(n－1)·2＝2n－1，
∴an＝.
3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的通项公式an等于(　　)
A．2nB．n(n＋1)C.D.
答案　C
解析　∵an＋1＝an＋，∴2n+1an＋1＝2nan＋2，
即2n+1an＋1－2nan＝2.
又21a1＝2，
∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴2nan＝2＋(n－1)×2＝2n，
∴an＝.
4．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an等于(　　)
A.B.C.D．8n
答案　A
解析　∵a－a＝4，
∴数列{a}是等差数列，且首项a＝1，公差d＝4，
∴a＝1＋(n－1)·4＝4n－3.
又an>0，∴an＝.
5．已知数列{an}满足：Sn＝1－an(n∈N＋)，其中Sn为数列{an}的前n项和，则{an}的通项公式an等于(　　)
A.B.nC．21-2nD．2n
答案　B
解析　因为Sn＝1－an， ①
所以Sn＋1＝1－an＋1， ②
②－①得an＋1＝－an＋1＋an，所以an＋1＝an.
n＝1时，a1＝1－a1，解得a1＝，
所以{an}是首项为，公比为的等比数列，
所以an＝·n-1＝n.
6．某种细胞开始时有2个，一小时后分裂为4个并死去1个，两小时后分裂为6个并死去1个，……，按照这种规律进行下去，100小时后细胞的存活数为(　　)
A．2100－1B．2100＋1C．299－1D．299＋1
答案　B
解析　由题意得∴＝2，
∴an＝2n-1＋1，∴a101＝2101-1＋1＝2100＋1.
二、填空题
7．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.
答案　2n-1
解析　当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，
∴an＝2an－1，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an＝2n-1，n∈N＋.
8．等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
则数列{an}的通项公式为________．
答案　an＝2·3n-1
解析　当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；
当a1＝10时，不合题意．
因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.
所以公比q＝3，故an＝2·3n-1.
9．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an，则数列{an}的通项公式an＝________.
答案　n
解析　当n≥2时，an＝··…···a1＝··…··＝n，
n＝1时，a1＝1也符合此式．
10．数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝(n≥2且n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为an＝________.
答案　2－
解析　∵an－an－1＝(n≥2)，a1＝1，
∴a2－a1＝＝1－，
a3－a2＝＝－，
a4－a3＝＝－，…，
an－an－1＝＝－.
以上各式累加，得
an－a1＝＋＋…＋＝1－.
∴an＝a1＋1－＝2－，当n＝1时，2－＝1＝a1，
∴an＝2－，故数列{an}的通项公式为an＝2－.
11．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.
答案　(－2)n-1
解析　当n＝1时，a1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
故＝－2，故an＝(－2)n-1.
三、解答题
12．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，数列{bn}中，b1＝1，且点(bn＋1，bn)在直线y＝x－1上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的通项公式．
解　(1)∵an＋1＝2an＋3，
∴an＋1＋3＝2(an＋3)，
∴＝2，
又∵a1＋3＝4，
∴数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，
∴an＋3＝4·2n-1＝2n＋1，∴an＝2n+1－3，n∈N＋.
(2)∵(bn＋1，bn)在直线y＝x－1上，
∴bn＝bn＋1－1，即bn＋1－bn＝1，又b1＝1，
∴数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴bn＝n，n∈N＋.
13．已知Sn＝4－an－，求an与Sn.
解　∵Sn＝4－an－，
∴Sn－1＝4－an－1－，n≥2，
当n≥2时，Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋－.
∴an＝an－1＋n-1.
∴－＝2，
∴2nan－2n-1an－1＝2，
∴{2nan}是等差数列，d＝2，首项为2a1.
∵a1＝S1＝4－a1－＝2－a1，
∴a1＝1，∴2nan＝2＋2(n－1)＝2n.
∴an＝n·n-1，n∈N＋，
∴Sn＝4－an－＝4－n·－＝4－.
14．若数列{an}中，a1＝3且an＋1＝a(n是正整数)，则它的通项公式an为________________．
答案　an＝
解析　由题意知an>0，将an＋1＝a两边取对数得lg an＋1＝2lg an，即＝2，所以数列{lg an}是以lg a1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列，lg an＝(lg a1)·2n－1＝lg ，即an＝.
15．已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)求{an}的通项an.
(1)证明　因为an＋1＝，
所以＝＝＋.
所以－＝.
又a1＝1，所以－＝，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
(2)解　由(1)知－＝·n-1＝，
即＝＋，所以an＝.