第1课时 均值不等式
学习目标 1.理解均值不等式的内容及证明．2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小．3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．
知识点一 算术平均值与几何平均值
对任意两个正实数a，b，数叫做a，b的算术平均值，数叫做a，b的几何平均值，两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．
知识点二 均值不等式常见推论
1．均值定理
如果a，b∈R＋，那么≥．当且仅当a＝b时，等号成立，以上结论通常称为均值定理，又叫均值不等式．
均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．
2．常见推论
(1)ab≤2≤(a，b∈R)；
(2)＋≥2(a，b同号)；
(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
1．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab．( √ )
2．n∈N＋时，n＋≥2．( √ )
3．x≠0时，x＋≥2．( × )
4．a>0，b>0时，＋≥．( √ )
题型一 常见推论的证明
例1 证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab．
引申探究
1．求证≥(a＞0，b＞0)．
证明 方法一 －＝[()2＋()2－2·]＝·(－)2≥0，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．
方法二 由例1知，a2＋b2≥2ab．
∴当a＞0，b＞0时有()2＋()2≥2，
即a＋b≥2，≥．
2．证明不等式2≤(a，b∈R)．
证明 由例1，得a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，
两边同除以4，即得2≤，当且仅当a＝b时，取等号．
反思感悟 (1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识．
(2)不等式a2＋b2≥2ab和均值不等式≤成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．
跟踪训练1 当a＞0，b＞0时，求证：≤.
证明 ∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥2＞0，
∴≤，∴≤＝．
又∵＝，
∴≤(当且仅当a＝b时取等号)．
题型二 用均值不等式证明不等式
例2 已知x，y都是正数．
求证：(1)＋≥2；
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
证明 (1)∵x，y都是正数，∴>0，>0，
∴＋≥2＝2，即＋≥2，
当且仅当x＝y时，等号成立．
(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2>0，
x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0，
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)
≥2·2·2＝8x3y3，
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，
当且仅当x＝y时，等号成立．
反思感悟 利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用．
跟踪训练2 已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.
证明 ∵a，b，c都是正实数，
∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0，
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc，
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
题型三 用均值不等式比较大小
例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则( )
A．x＝ B．x≤
C．x＞ D．x≥
答案 B
解析 第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)，
第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b)．
若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2．
依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∵a＞0，b＞0，x＞0，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2，
∴1＋x≤＝1＋，
∴x≤(当且仅当a＝b时，等号成立)．
反思感悟 均值不等式≥一端为和，一端为积，使用均值不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．
跟踪训练3 设a＞b＞1，P＝，Q＝，
R＝lg，则P，Q，R的大小关系是( )
A．R
C．Q答案 B
解析 ∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0，
∴＞，即Q＞P．①
又＞>0，
∴lg＞lg＝(lga＋lgb)，即R＞Q．②
综合①②，有P演绎：从一般到特殊
典例 (1)当x＞0，a＞0时，证明x＋≥2；
(2)当x＞－1时，证明≥9.
证明 (1)∵x＞0，a＞0，∴＞0．
由均值不等式可知，x＋≥2＝2．
当且仅当x＝时，等号成立．
(2)＝
＝(x＋1)＋＋5．
∵x＞－1，∴x＋1＞0．
∴(x＋1)＋≥2＝4，
∴(x＋1)＋＋5≥9，即≥9．
当且仅当x＝1时，等号成立．
[素养评析] 逻辑推理主要有两类：从特殊到一般，从一般到特殊，演绎就是从一般到特殊的一种推理形式．
在本例中，“一般”指均值不等式≥．当我们对a，b赋予特殊值．如令a＝x，b＝，就有x＋≥2；①
再令①中的x＝x＋1，a＝4，就有x＋1＋≥2．
均值不等式的应用关键就是给a，b赋予什么样的值．
1．若0A．a>>>b B．b>>>a
C．b>>>a D．b>a>>
答案 C
解析 ∵0a＋b，∴b>>．
∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a．故b>>>a．
2．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是( )
A．lg(x2＋1)≥lg(2x) B．x2＋1>2x
C．≤1 D．x＋≥2
答案 C
解析 对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立；对于C，x2＋1≥2x，∴≤1成立．故选C．
3．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则( )
A．> B．<
C．＝ D．≤
答案 A
解析 因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d均大于0且不相等，所以b＋c>2，故＝>．
4．lg9×lg11与1的大小关系是( )
A．lg9×lg11>1 B．lg9×lg11＝1
C．lg9×lg11<1 D．不能确定
答案 C
解析 ∵lg 9>0，lg 11>0，
∴lg 9×lg 11<2＝2
＝2<2＝1，
即lg 9×lg 11<1．
5．设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a； ②≥4；
③(a＋b)≥4； ④a2＋9>6a．
其中恒成立的是________．(填序号)
答案 ①②③
解析 由于a2＋1－a＝2＋>0，故①恒成立；
由于a＋≥2，b＋≥2，∴≥4，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立；
由于a＋b≥2，＋≥2，
故(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立．
综上，恒成立的是①②③．
1．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b．
2.在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式．
一、选择题
1．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|
答案 A
解析 ∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．
2．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C．＋> D．＋≥2
答案 D
解析 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；
对于B，C，当a<0，b<0时，显然错误；
对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2，
当且仅当a＝b时，等号成立．
3．对于a＞0，b＞0，下列不等式中不正确的是( )
A．＜＋ B．ab≤
C．ab≤2 D．2≤
答案 A
解析 当a＞0，b＞0时，因为≤，所以≤＋，当且仅当a＝b时等号成立，故A不正确；显然B，C，D均正确．
4．设f(x)＝lnx,0A．q＝rpD．p＝r>q
答案 B
解析 因为0．
又因为f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f>f()，即p而r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)
＝ln(ab)＝ln，
所以r＝p，故p＝r5．已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( )
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4
C．≥2 D．>
答案 D
解析 a＋b＋≥2＋≥2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；
(a＋b)≥2·2＝4，
当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；
∵a2＋b2≥2ab>0，
∴≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；
∵a＋b≥2，且a，b∈(0，＋∞)，
∴≤1，≤，
当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立．
6．下列说法正确的是( )
A．若x≠kπ，k∈Z，则min＝4
B．若a<0，则a＋≥－4
C．若a>0，b>0，则lga＋lgb≥2
D．若a<0，b<0，则＋≥2
答案 D
解析 对于A，x≠kπ，k∈Z，则sin2x∈(0,1]．
令t＝sin2x，则y＝t＋，函数y在(0,1]上单调递减，所以y≥5，
即sin2x＋≥5，当sin2x＝1时，等号成立．
对于B，若a<0，则－a>0，－>0．
∴a＋＝－≤－4，
当且仅当a＝，即a＝－2时，等号成立．
对于C，若a∈(0，1)，b∈(0，1)，
则lga<0，lgb<0，不等式不成立．
对于D，a<0，b<0，则>0，>0，
∴＋≥2＝2，
当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．
二、填空题
7．设正数a，使a2＋a－2＞0成立，若t＞0，则logat________loga.(填“＞”“≥”“≤”或“＜”)
答案 ≤
解析 ∵a2＋a－2＞0，∴a＞1或a＜－2(舍)，
∴y＝logax是增函数，
又≥，∴loga≥loga＝logat．
8．设a，b为非零实数，给出不等式：
①≥ab；②≥2；③≥；④＋≥2．其中恒成立的不等式是________．
答案 ①②
解析 由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；＝＝≥＝＝2，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，可知④不正确．
9．已知a＞b＞c，则与的大小关系是____________________________．
答案 ≤
解析 因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，
所以＝≥，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立．
10．设a＞1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是________．(用“＞”连接)
答案 m＞p＞n
解析 ∵a＞1，∴a2＋1＞2a＞a＋1，
∴loga(a2＋1)＞loga(2a)＞loga(a＋1)，故m＞p＞n．
三、解答题
11．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c．
证明 ∵a，b，c都是正数，
∴，，也都是正数，
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
12．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；(2)≥9．
证明 (1)＋＋＝＋＋＝2，
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时，等号成立)．
(2)方法一 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，
同理，1＋＝2＋，
∴＝
＝5＋2≥5＋4＝9，
∴≥9(当且仅当a＝b＝时，等号成立)．
方法二 ＝1＋＋＋．
由(1)知，＋＋≥8，
故＝1＋＋＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立．
13．设0A．logab＋logba≥2B．logab＋logba≥－2C．logab＋logba≤－2D．logab＋logba>2
答案 C
解析 ∵0∴logab<0，logba<0，－logab>0，－logba＞0，
∴(－logab)＋(－logba)＝(－logab)＋≥2，
当且仅当ab＝1时，等号成立，
∴logab＋logba≤－2．
14．设x，y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，则( )
A．x＋y≥2(＋1) B．xy≤＋1
C．x＋y≤(＋1)2 D．xy≥2(＋1)
答案 A
解析 ∵x，y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，xy≤2，∴2－(x＋y)－1≥0，解得x＋y≥2(＋1)，当且仅当x＝y＝1＋时取等号．
第2课时 均值不等式的应用
学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用．2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．
知识点一 均值不等式及变形
均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件．
当a>0，b>0时，有≤≤≤；
当且仅当a＝b时，以上三个等号同时成立．
知识点二 用均值不等式求最值
用均值不等式≥求最值应注意：
(1)x，y是否是正数；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值；
(3)等号成立的条件是否满足．
1．y＝x＋的最小值为2．( × )
2．因为x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．所以当x＝1时，(x2＋1)min＝2．( × )
3．由于sin2x＋≥2＝4，所以sin2x＋的最小值为4．( × )
4．当x>0时，x3＋＝x3＋＋≥2＋＝2x＋≥2，∴min＝2．( × )
题型一 利用均值不等式求最值
命题角度1 求一元解析式的最值
例1 (1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；
(2)已知x>2，求x＋的最小值；
(3)设0解 (1)当x>0时，x＋≥2＝4，
当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时，取等号．
∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2处取得最小值4．
(2)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．
∴x＋的最小值为6．
(3)∵00，
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝．
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
∵∈，
∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为．
反思感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．
跟踪训练1 函数y＝2x＋(x＜0)的最大值为________．
答案 －4
解析 ∵x＜0，∴－x＞0，
∴(－2x)＋≥2＝4，
即y＝2x＋≤－4
．
命题角度2 求二元解析式的最值
例2 (1)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________；
(2)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
答案 (1)18 (2)
解析 (1)∵xy＝2x＋y＋6≥2＋6，设＝t(t＞0)，即t2≥2t＋6，(t－3)(t＋)≥0，∴t≥3，则xy≥18，当且仅当2x＝y且2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6时等号成立，故xy的最小值为18．
(2)根据题意，1＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－2＝(x＋y)2，所以≥(x＋y)2，所以x＋y≤，当且仅当x＝y＞0且x2＋y2＋xy＝1，即x＝y＝时等号成立．
反思感悟 均值不等式连接了和“x＋y”与积“xy”，使用均值不等式就是根据解题需要进行和、积的转化．
跟踪训练2 已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________．
答案 9
解析 ∵x＋y＝1，∴＋＝(x＋y)
＝1＋4＋＋．
∵x＞0，y＞0，∴＞0，＞0，
∴＋≥2＝4，∴5＋＋≥9．
当且仅当即x＝，y＝时等号成立．
∴min＝9．
题型二 均值不等式在实际问题中的应用
例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
解 设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．
由题意可知，面粉的保管及其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)．
设平均每天所支付的总费用为y元，
则y＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1800
＝9x＋＋10809≥2＋10809＝10989(元)，
当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立．
所以该厂每10天购买一次面粉时，才能使平均每天所支付的总费用最少．
引申探究
若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？
解 设x1，x2∈[15，＋∞)，且x1则－
＝9(x1－x2)＋900
＝(x1－x2)
＝(x1－x2)．
∵15≤x1∴(x1－x2)<0，
即y＝9x＋＋10809在[15，＋∞)上为增函数．
∴当x＝15，即每15天购买一次面粉时，平均每天所支付的费用最少．
反思感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．
跟踪训练3 高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在n层楼时，上、下楼造成的不满意度为n，但高处嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为( )
A．2B．3C．4D．8
答案 B
解析 由题意知，教室在第n层楼时，同学们总的不满意度y＝n＋≥4，当且仅当n＝，即n＝2时，不满意度最小，又n∈N＋，分别把n＝2，3代入y＝n＋，易知n＝3时，y最小．故最适宜的教室应在3楼．
一种常见的函数模型y＝x＋(a＞0)
典例 某市实施机动车单双号限行，新能源汽车不在限行范围内，某人为了出行方便，准备购买某种新能源汽车．假设购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元，汽车的保养维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．
(1)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n)，试写出f(n)的表达式；
(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年年平均费用最少)？年平均费用的最小值是多少？
解 (1)由题意得，f(n)＝14.4＋(0.2＋0.4＋0.6＋…＋0.2n)＋0.9n＝14.4＋＋0.9n＝0.1n2＋n＋14.4．
(2)设该车的年平均费用为S万元，则有S＝f(n)＝(0.1n2＋n＋14.4)＝＋＋1≥2＋1＝3.4，当且仅当＝，即n＝12时等号成立，此时S取得最小值3.4．
故这种新能源汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是3.4万元．
[素养评析] 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程，其过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值．本例(2)中所涉及的y＝x＋(a＞0)就是一个应用广泛的函数模型．
1．不等式＋(x－2)≥6(x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
答案 C
解析 ∵x＞2，∴x－2＞0．
∴＋(x－2)≥2＝6，
当且仅当x－2＝，即x－2＝3，x＝5时取等号．故选C．
2．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是( )
A．3 B．3－2
C．－1 D．3－2
答案 D
解析 ∵x＞0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，∴－≤－2，则y＝3－3x－≤3－2，故选D．
3．已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则(1－xy)(1＋xy)有( )
A．最小值和最大值1
B．最小值和最大值1
C．最小值和最大值
D．最小值1
答案 B
解析 ∵x2y2≤2＝，当且仅当x2＝y2＝时，等号成立，∴(1－xy)(1＋xy)＝1－x2y2≥．
∵x2y2≥0，∴≤1－x2y2≤1．
4．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8B．4C．1D．
答案 B
解析 由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1．
因为a>0，b>0，所以＋＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2 ＝4，
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
5．设a，b，c∈R，ab＝2，且c≤a2＋b2恒成立，则c的最大值是( )
A．B．2C．D．4
答案 D
解析 ∵ab＝2，∴a2＋b2≥2ab＝4．又c≤a2＋b2恒成立，∴c≤4．故选D．
1．用均值不等式求最值
(1)利用均值不等式，通过恒等变形以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件．
(3)在求最值的一些问题中，若运用均值不等式求最值，等号取不到，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的单调性求得函数的最值．
2．求解应用题的方法与步骤
(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．
一、选择题
1．下列函数中，最小值为4的是( )
A．y＝x＋
B．y＝sinx＋(0＜x＜π)
C．y＝ex＋4e－x
D．y＝＋
答案 C
解析 ∵y＝x＋中x可取负值，∴其最小值不可能为4；由于0＜x＜π，∴0＜sinx≤1，又∵y＝sinx＋在(0，1]上单调递减，∴最小值为5；由于ex＞0，∴y＝ex＋4e－x≥2＝4，当且仅当ex＝2时取等号，∴其最小值为4，∵≥1，∴y＝＋≥2，当且仅当x＝±1时取等号，∴其最小值为2．
2．已知x>1，y>1且lgx＋lgy＝4，则lgxlgy的最大值是( )
A．4B．2C．1D．
答案 A
解析 ∵x>1，y>1，
∴lgx>0，lgy>0，lgxlgy≤2＝4，
当且仅当lgx＝lgy＝2，即x＝y＝100时取等号．
3．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A．B．4C．D．5
答案 C
解析 ∵a＋b＝2，∴＝1．
∴＋＝
＝＋＋≥＋2＝
，
故y＝＋的最小值为．
4．若0＜x＜，则函数y＝x的最大值为( )
A．1B．C．D．
答案 C
解析 因为0＜x＜，所以1－4x2＞0，所以x＝×2x≤×＝，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立，故选C．
5．若xy是正数，则2＋2的最小值是( )
A．3B．C．4D．
答案 C
解析 2＋2
＝x2＋＋＋y2＋＋
＝＋＋
≥1＋1＋2＝4，
当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．
二、填空题
6．(2018·天津)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．
答案
解析 由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，当且仅当23b－6＝，即b＝1时等号成立．
7．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．
答案 9
解析 ∵x>－1，∴x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝＝
＝t＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1．
∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9．
8．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为______．
答案
解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，
则＋1＝a＋b＋≥2＋，
解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，
所以直角三角形的面积S＝ab≤，
即S的最大值为．
9．设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．
答案 3
解析 由a，b＞0，≤，
所以a＋b≤．
所以＋≤·＝3，
当且仅当＝，即a＝，b＝时“＝”成立，所以所求最大值为3．
10．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.
答案 20
解析 总运费与总存储费用之和
f(x)＝4x＋×4＝4x＋≥2＝160，
当且仅当4x＝，即x＝20时取等号．
三、解答题
11．已知不等式x2－5ax＋b>0的解集为{x|x>4或x<1}．
(1)求实数a，b的值；
(2)若0解 (1)依题意可得方程x2－5ax＋b＝0的根为4和1，
∴即
(2)由(1)知f(x)＝＋，∵0∴0<1－x<1，>0，>0，
∴＋＝[x＋(1－x)]＝＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当＝，即x＝时，等号成立，
∴f(x)的最小值为9．
12．已知x＞0，y＞0,2xy＝x＋4y＋a.
(1)当a＝6时，求xy的最小值；
(2)当a＝0时，求x＋y＋＋的最小值．
解 (1)由题意，知x＞0，y＞0，
当a＝6时，2xy＝x＋4y＋6≥4＋6，
即()2－2－3≥0，∴(＋1)(－3)≥0，
∴≥3，∴xy≥9，当且仅当x＝4y＝6时，等号成立，故xy的最小值为9．
(2)由题意，知x＞0，y＞0，当a＝0时，可得2xy＝x＋4y．两边都除以2xy，得＋＝1，
∴x＋y＋＋＝x＋y＋1＝(x＋y)·＋1＝＋≥＋2＝，
当且仅当＝，即x＝3，y＝时，等号成立，
故x＋y＋＋的最小值为．
13.为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n年需要付出的维修费用记作an万元，已知{an}为等差数列，相关信息如图所示．
(1)设该公司前n年总盈利为y万元，试把y表示成n的函数，并求出y的最大值；(总盈利即n年总收入减去成本及总维修费用)
(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．
解 (1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则an＝6＋2(n－1)＝2n＋4(n∈N＋)，
所以y＝25n－－36＝－n2＋20n－36
＝－(n－10)2＋64，
当n＝10时，y的最大值为64万元．
(2)年平均盈利为＝＝－n－＋20＝－＋20≤－2×＋20＝8
(当且仅当n＝，即n＝6时取“＝”)．
故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元．
14．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．5
答案 C
解析 ∵a>0，b>0，∴＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号同时成立．
15．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有( )
A．2∈M，0∈M B．2?M，0?M
C．2∈M，0?M D．2?M，0∈M
答案 A
解析 M＝．
当k∈R时，＝
＝＝(k2＋1)＋－2
≥2－2＝2－2>2(当且仅当k2＝－1时，取等号)．∴2∈M，0∈M．
