第1课时 一元二次不等式及其解法(一)
学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．2.掌握图象法解一元二次不等式．3.能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决．
知识点一 一元二次不等式的概念
1．一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般表达形式为ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，其中a，b，c均为常数．
3．能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解．
4．不等式所有解的集合称为解集．
知识点二 “三个二次”的关系
一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表．
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异实根
x1，x2(x1
有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集
{x|xx2}
R
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
{x|x1?
?
知识点三 一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：
(1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；
(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；
(3)有根求根；
(4)根据图象写出不等式的解集．
1．x2＞1的一个解是x＝－2．解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．( √ )
2．方程x2－1＝0相当于函数y＝x2－1中y＝0．( √ )
3．如果关于x的方程ax2＋bx＋c＝0无解，则不等式ax2＋bx＋c>0也无解．( × )
4．x2－1>0与1－x2<0的解集相等．( √ )
题型一 一元二次不等式的解法
命题角度1 二次项系数大于0
例1 求不等式4x2－4x＋1>0的解集．
解 因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，
所以原不等式的解集为.
反思感悟 在求解一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象．
跟踪训练1 求不等式2x2－3x－2≥0的解集．
解 ∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－，x2＝2，
且a＝2>0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是.
命题角度2 二次项系数小于0
例2 解不等式－x2＋2x－3>0.
解 不等式可化为x2－2x＋3<0.
因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，
方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集是?.
反思感悟 将二次项系数小于0的不等式进行转化过程中要注意不等号的变化，化归为二次项系数大于0的不等式，是为了减少记忆负担．
跟踪训练2 求不等式－3x2＋6x>2的解集．
解 不等式可化为3x2－6x＋2<0，
∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，
∴x1＝1－，x2＝1＋，
∴不等式－3x2＋6x>2的解集是.
题型二 “三个二次”间对应关系的应用
例3 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集．
解 由根与系数的关系，可得即
∴不等式bx2＋ax＋1>0，
即2x2－3x＋1>0.
解得x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为.
反思感悟 给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．
跟踪训练3 已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1解 方法一 由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根．
由根与系数的关系，知解得
方法二 把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，
得解得
数形结合解不等式
典例 函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的实数x的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
答案 D
解析 根据函数f(x)的性质可画出f(x)图象示意图：
不等式－1≤f(x)≤1的几何意义为当函数f(x)的纵坐标介于[－1,1]之间时，求横坐标x的取值集合．由已知，使－1≤f(x)≤1成立的x满足－1≤x≤1，所以由－1≤f(x－2)≤1得－1≤x－2≤1，即1≤x≤3，故选D．
[素养评析] 直观想象素养的主要表现为：能建立形与数(如本例－1≤f(x)≤1与f(x)图象)的联系；利用几何图形描述问题(f(x)的图象介于y＝－1，y＝1两直线之间)；借助几何直观理解问题(满足条件的图象部分的横坐标集合即所求解集).
1．不等式2x2－x－1>0的解集是( )
A． B．{x|x＞1}
C．{x|x<1或x＞2} D．
答案 D
解析 ∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－，∴不等式的解集为．
2．不等式－x2－x＋2>0的解集为_____________．
答案 {x|－2解析 由原式得x2＋x－2<0，得－2故其解集为{x|－23．若不等式x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则a的值为______．
答案
解析 若不等式x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则x2－2ax＋a＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a2－4(a＋1)＝0，解得a＝．
4．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7答案 3
解析 由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．∴－7×(－1)＝，故a＝3．
5．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0答案 {t|10≤t≤15，t∈N}
解析 日销售金额＝(t＋10)(－t＋35)，
依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，
解得解集为{t|10≤t≤15，t∈N}．
1．解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m0，则可得{x|x>n或x若(x－m)(x－n)<0，则可得{x|m有口诀如下：大于取两边，小于取中间．
2．实际问题要注意变量的实际含义对变量范围的影响，如长度应该大于0，人数应该为自然数等．
3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标．
一、选择题
1．不等式6x2＋x－2≤0的解集为( )
A． B．
C． D．
答案 A
解析 因为6x2＋x－2≤0?(2x－1)·(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为.
2．(2016·全国Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B等于( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 由A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|10}＝，得A∩B＝＝，故选D.
3．若00的解集是( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 ∵01，∴>t.
∴(t－x)>0?(x－t)<0?t4．函数y＝的定义域为( )
A．[－7,1] B．(－7,1)
C．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)
答案 B
解析 由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－75．不等式<2的解集为( )
A．{x|x≠－2} B．R
C．? D．{x|x<－2或x>2}
答案 A
解析 ∵x2＋x＋1>0恒成立，
∴原不等式?x2－2x－2<2x2＋2x＋2?x2＋4x＋4>0?(x＋2)2>0，
∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}．
6．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
答案 A
解析 f(1)＝12－4×1＋6＝3，
当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；
当x<0时，x＋6>3，解得－3所以f(x)>f(1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．
7．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>－lg2}
B．{x|－1C．{x|x>－lg2}
D．{x|x<－lg2}
答案 D
解析 由题知，一元二次不等式f(x)>0的解集为，即－1<10x<，解得x<－lg 2.
8．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(aA．a<α<βC．α答案 A
解析 设g(x)＝(x－a)(x－b)，
则g(x)向上平移2个单位长度得到f(x)的图象，
由图易知a<α<β二、填空题
9．不等式－1答案 {x|－3≤x<－2或0解析 ∵∴－3≤x<－2或010．不等式x2－3|x|＋2≤0的解集为__________．
答案 {x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}
解析 原不等式等价于|x|2－3|x|＋2≤0，即1≤|x|≤2.
当x≥0时，1≤x≤2；当x<0时，－2≤x≤－1.
所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}．
11．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________．
答案 (－∞，2]∪[4，＋∞)
解析 x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，
把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
三、解答题
12．已知全集U＝{x|x2>1}，集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，求?UA．
解 依题意，?UA中的元素应满足
即解得?UA＝{x|x<－1或x≥3}．
13．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．
解 由ax2＋bx＋c≥0的解集为，
知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2，
∴
∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式cx2－bx＋a<0可变形为
x2－x＋a<0，
即2ax2－5ax－3a>0．
又∵a<0，∴2x2－5x－3<0，
解得－∴所求不等式的解集为．
14．已知集合A＝{x|x2－x－12<0}，集合B＝{x|x2＋2x－8>0}，集合C＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a≠0}，若C?(A∩B)，则实数a的取值范围是______________．
答案
解析 A＝{x|－32}，
∴A∩B＝{x|2要使C?(A∩B)，
需
即
解得≤a≤2，即a的取值范围为．
15．解不等式|x－2|－|x－5|≥x2－8x＋14．
解 设f(x)＝|x－2|－|x－5|．
①当x≤2时，f(x)＝－3，而x2－8x＋14＝(x－4)2－2≥－2，
∴f(x)≥x2－8x＋14无解；
②当2原不等式等价于解得3≤x<5；
③当x≥5时，f(x)＝3，原不等式等价于
解得5≤x≤4＋．
综上，原不等式的解集为[3,4＋]．
第2课时 一元二次不等式及其解法(二)
学习目标 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论．3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．
知识点一 分式不等式的解法
一般的分式不等式的同解变形法则：
(1)>0?f(x)·g(x)>0；
(2)≤0?
(3)≥a?≥0.
知识点二 一元二次不等式恒成立问题
一般地，“不等式f(x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象全部在x轴上方．区间[a，b]是不等式f(x)>0的解集的子集．
恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：
k≥f(x)恒成立?k≥f(x)max；
k≤f(x)恒成立?k≤f(x)min．
知识点三 含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图象确定解集是R还是?．
在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论．
1．由于>0等价于(x－5)(x＋3)>0，故y＝与y＝(x－5)(x＋3)图象也相同．( × )
2．x2＋1≥2x等价于(x2＋1)min≥2x．( × )
3．(ax＋1)(x＋1)>0?(x＋1)>0．( × )
题型一 分式不等式的解法
例1 解下列不等式：
(1)<0； (2)≤1.
解 (1)<0?(2x－5)(x＋4)<0?－4∴原不等式的解集为.
(2)∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，
解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为.
反思感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型>0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可．
跟踪训练1 解下列不等式：
(1)≥0； (2)>1.
解 (1)原不等式可化为
解得∴x<－或x≥，
∴原不等式的解集为.
(2)方法一 原不等式可化为或
解得或∴－3∴原不等式的解集为.
方法二 原不等式可化为>0，
化简得>0，即<0，∴(2x＋1)(x＋3)<0，
解得－3∴原不等式的解集为.
题型二 不等式恒成立问题
例2 设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围；
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0，满足题意；
若m≠0，则即－4(2)方法一 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
就要使m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，∴0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6，∴m<0.
综上所述，m的取值范围是.
方法二 当x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5恒成立，
即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立．
∵x2－x＋1＝2＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.
∵函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，∴只需m<即可．
综上所述，m的取值范围是.
引申探究
把例2(2)改为：对于任意m∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数x的取值范围．
解 f(x)<－m＋5，即mx2－mx－1<－m＋5，
m(x2－x＋1)－6<0.
设g(m)＝m(x2－x＋1)－6.
则g(m)是关于m的一次函数且斜率
x2－x＋1＝2＋＞0.
∴g(m)在[1,3]上为增函数，要使g(m)<0在[1,3]上恒成立，只需g(m)max＝g(3)<0，
即3(x2－x＋1)－6<0，x2－x－1<0，
方程x2－x－1＝0的两根为x1＝，x2＝，
∴x2－x－1<0的解集为，
即x的取值范围为.
反思感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式．
(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解．
(3)若已知参数的取值范围，求x的取值范围，通常用变换变元的方法解答．
跟踪训练2 当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案 (－∞,－5]
解析 构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，
则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2)．
由于当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
则有即
可得所以m≤－5.
题型三 含参数的一元二次不等式
例3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
解 当a<0时，不等式可化为(x－1)＞0，
∵a<0，∴<1，∴不等式的解集为.
当a＝0时，不等式可化为－x＋1<0，解集为{x|x＞1}．
当a＞0时，不等式可化为(x－1)<0.
当0当a＝1时，不等式的解集为?.
当a＞1时，<1，不等式的解集为.
综上，当a<0时，解集为；
当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当0当a＝1时，解集为?；
当a＞1时，解集为.
反思感悟 解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论．
跟踪训练3 解关于x的不等式(x－a)(x－a2)<0.
解 当a<0或a＞1时，有a当0当a＝0或a＝1时，原不等式无解．
综上，当a<0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a当0当a＝0或a＝1时，解集为?.
穿针引线解高次不等式
观察下列不等式解集与图象的关系．猜想第三个不等式的解集.
不等式
函数图象
不等式解集
x－1＞0
(1，＋∞)
(x－1)(x－2)＞0
(－∞，1)∪(2，＋∞)
x(x－1)(x－2)＞0
对于函数f(x)＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)…(x－xn)，
不妨设x1＜x2＜x3＜…＜xn.
其图象有两个特点：
①当x＞xn时，x－x1＞0，x－x2＞0，…，x－xn＞0，∴f(x)＞0.该区间内f(x)图象在x轴上方．
②从x轴右上方开始，f(x)的图象每穿过一个零点，就从x轴一侧到另一侧变化一次．
根据这个原理，只要画出f(x)示意图(穿针引线)，即可得到f(x)＞0(或f(x)＜0)的解集．如第三个不等式解集为(0，1)∪(2，＋∞)．在此过程中，y轴可省略不画．
③注意对于奇数次根穿而过，偶数次根穿而不过．
典例 解不等式＞0.
解 ＞0即x(x－1)(x＋1)＞0，
穿针引线：
解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
[素养评析] 穿针引线法的发现归功于从简单到复杂，从具体到一般的观察，发现问题，提出命题，这就是逻辑推理素养中的归纳.
1．若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
答案 D
解析 由题意，得Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2.
2．不等式≥0的解集为( )
A．[1，2] B．(－∞，1]∪[2，＋∞)
C．[1，2) D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
答案 D
解析 由题意可知，不等式等价于
∴x>2或x≤1.
3．不等式≥1的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(－1，2] B．[－1，2]
C．(－∞，2] D．(－1，2]
答案 D
解析 ∵≥1，∴－1≥0，∴≥0，
即≤0，等价于(x－2)(x＋1)＜0或x－2＝0，
故－1＜x≤2.
4．若不等式x2＋x＋k＜0在区间[－1，1]上恒成立，则实数k的取值范围是________．
答案 (－∞，－2)
解析 x2＋x＋k＜0，即k＜－(x2＋x)在区间[－1，1]上恒成立，
即k＜[－(x2＋x)]min.
当x＝1时，[－(x2＋x)]min＝－2.∴k＜－2.
5．解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.
解 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.
因为函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以
①当a<－1时，原不等式的解集为{x|a②当a＝－1时，原不等式的解集为?；
③当a>－1时，原不等式的解集为{x|－11．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max，则a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则a3．含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0．
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两不等根(Δ>0)，两相等实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1一、选择题
1．不等式≤0的解集为( )
A．
B．
C．∪[1，＋∞)
D．∪[1，＋∞)
答案 A
解析 原不等式等价于
解得－∴原不等式的解集为.
2．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0，1]恒成立，则m的最大值为( )
A．1B．－1C．－3D．3
答案 C
解析 由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0，1]恒成立，
又f(x)＝x2－4x在(0，1]上为减函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3，
∴m的最大值为－3.
3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的取值范围是( )
A．(0，4) B．[0，4)
C．(0，4] D．[0，4]
答案 D
解析 当a＝0时，ax2－ax＋1<0无解，符合题意．
当a<0时，ax2－ax＋1<0解集不可能为空集．
当a＞0时，要使ax2－ax＋1<0解集为空集，
需解得0综上，a∈[0,4]．
4．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为( )
A． B．
C． D．
答案 A
解析 ∵a<－1，
∴a(x－a)<0?(x－a)·>0.
又a<－1，∴>a，
∴x>或x∴不等式的解集为.
5．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是( )
A．
B．R
C．
D．?
答案 A
解析 因为Δ＝a2＋4m>0，
所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，
又m>0，所以原不等式的解集不可能是B，C，D，故选A.
6．若关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1小且另一根比1大，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 令f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，
依题意得f(1)<0，即1＋a2－1＋a－2<0，
∴a2＋a－2<0，∴－27．对任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则实数x的取值范围是( )
A．13
C．12
答案 B
解析 设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
g(a)＞0恒成立且a∈[－1，1]
?
??x<1或x>3.
8．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－2，2) D．(－2，2]
答案 D
解析 当a－2≠0时，
即
解得－2当a－2＝0时，－4<0恒成立，
综上所述，－2二、填空题
9．不等式≥1的解集为________．
答案
解析 因为≥1等价于≥0，所以≤0，等价于解得－410．若不等式ax2＋2ax－(a＋2)≥0的解集是?，则实数a的取值范围是__________．
答案 (－1,0]
解析 当a＝0时，－2≥0，解集为?，满足题意；
当a≠0时，a满足条件
解得－111．(2018·上饶模拟)当x＞0时，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则实数a的最小值为________．
答案 －2
解析 当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立，当Δ＝a2－4＞0时，有f(0)＝1＞0，若要原不等式恒成立，则需解得a＞2，所以使不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立的实数a的最小值是－2.
三、解答题
12．已知f(x)＝－3x2＋a(5－a)x＋b.
(1)当不等式f(x)>0的解集为(－1,3)时，求实数a，b的值；
(2)若对任意实数a，f(2)<0恒成立，求实数b的取值范围．
解 (1)由f(x)>0，得－3x2＋a(5－a)x＋b>0，
∴3x2－a(5－a)x－b<0.
又f(x)>0的解集为(－1,3)，
∴
∴或
(2)由f(2)<0，得－12＋2a(5－a)＋b<0，
即2a2－10a＋(12－b)>0.
又对任意实数a，f(2)<0恒成立，
∴Δ＝(－10)2－4×2(12－b)<0，
∴b<－，∴实数b的取值范围为.
13．已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
解 方法一 由题意可得a<0，且α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴由根与系数的关系得
∵a<0，0<α<β，
∴由②得c<0，
则cx2＋bx＋a<0可化为x2＋x＋＞0.
①÷②，得＝＝－<0.
由②得＝＝·＞0.
∴，为方程x2＋x＋＝0的两根．
又∵0<α<β，
∴0<<，
∴不等式x2＋x＋＞0的解集为
，
即不等式cx2＋bx＋a<0的解集为．
方法二 由题意知a<0，
∴由cx2＋bx＋a<0，得x2＋x＋1＞0．
将方法一中的①②代入，
得αβx2－(α＋β)x＋1＞0，
即(αx－1)(βx－1)＞0．
又∵0<α<β，
∴0<<．
∴所求不等式的解集为．
14．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值范围为________．
答案 [－3,2)
解析 ∵－2是2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解，
∴2(－2)2＋(2k＋5)(－2)＋5k＝k－2<0．
∴k<2，－k>－2>－，
∴2x2＋(2k＋5)x＋5k＝(x＋k)(2x＋5)<0的解集为，
又x2－x－2>0的解集为{x|x<－1或x>2}，
∴－2<－k≤3，∴k的取值范围为[－3,2)．
15．解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.
解 (1)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，
解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}．
(2)当a>0时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)>0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2．
①当02，
所以原不等式的解集为；
②当a＝1时，＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；
③当a>1时，<2，
所以原不等式的解集为．
(3)当a<0时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)<0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2，则<2，
所以原不等式的解集为．
综上，当a<0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<2}；
当0当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠2}；
当a>1时，原不等式的解集为．
