第1课时 简单线性规划(一)
学习目标 1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法.4.会画常见非线性约束条件的可行域及解释其目标函数的几何意义．
引例 已知x，y满足条件①
该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x＋3y②的最大值．
以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念．
知识点一 线性约束条件及目标函数
1．在上述问题中，不等式组①是一组对变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件．
2．在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数．因为它是关于变量x，y的一次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数．
知识点二 可行解、可行域和最优解
满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解．在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使②式取最大值的可行解称为最优解．
知识点三 线性规划问题与图解法
一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．
在确定了线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求”．
(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；
(2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；
(3)求：求出取得最大值或最小值时的点的坐标(解方程组)及最大值或最小值．
1．可行解是可行域的一个元素．( √ )
2．最优解一定是可行解．( √ )
3．目标函数z＝ax＋by中，z为在y轴上的截距．( × )
4．当直线z＝ax＋by在y轴上的截距最大时，z也最大．( × )
题型一 求线性目标函数的最值
例1 已知x，y满足约束条件该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，求2x＋3y的最大值．
解 设区域内任一点P(x，y)，z＝2x＋3y，
则y＝－x＋，
这是斜率为－，在y轴上的截距为的直线，如图．
由图可以看出，
当直线y＝－x＋经过直线x＝4与直线x＋2y－8＝0的交点M(4,2)时，截距的值最大，
此时2x＋3y＝14.
反思感悟 (1)由于求最优解是通过图形来观察的，故画图要准确，否则观察的结果可能有误．
(2)作可行域时要注意特殊点与边界．
(3)在可行域内求最优解时，通常转化为直线在y轴上的截距的最值问题来研究，故一定要注意直线在y轴上的截距的正负，否则求出的结果恰好相反．
跟踪训练1 (2018·北京)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．
答案 3
解析 由条件得
即
作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．
设z＝2y－x，即y＝x＋z，
作直线l0：y＝x并向上平移，显然当l0过点A(1,2)时，z取得最小值，zmin＝2×2－1＝3.
题型二 已知线性目标函数的最值求参数
例2 已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y(a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为________．
答案 (1，＋∞)
解析 作出不等式组表示的平面区域，即可行域(如图阴影部分含边界所示)．
解方程组得即C(3,1)，
目标函数为z＝ax＋y(a>0)，由题意可知，当直线y＝－ax＋z经过点C时，z取得最大值，
∴－a
反思感悟 (1)线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，在y轴上的截距是，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．
(2)若b>0，则当截距最大时，z取得最大值，当截距最小时，z取得最小值；若b<0，则当截距最大时，z取得最小值，当截距最小时，z取得最大值．
跟踪训练2 在本例条件下，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，则a的值为________．
答案 1
解析 如上例中图形，若使z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，则必有直线z＝ax＋y与直线x＋y＝4重合，所以－a＝kCD，即－a＝－1，此时a＝1.
题型三 求非线性目标函数的最值
例3 已知实数x，y满足约束条件则z＝的最大值为________，最小值为________．
答案 3
解析 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，
由于z＝＝，
故z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，
因此的最值是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，
由图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，
又∵B(0,2)，C(1,0)，∴zmax＝kMB＝3，zmin＝kMC＝.
∴z的最大值为3，最小值为.
引申探究
1．把目标函数改为z＝，则z的取值范围为________．
答案
解析 z＝·，其中k＝的几何意义为点(x，y)与点N连线的斜率．
由图易知，kNC≤k≤kNB，即≤k≤，
∴≤k≤7，∴z的取值范围是.
2．把目标函数改为z＝，则z的取值范围为________．
答案
解析 z＝＝＋2.
设k＝，仿例1解得－≤k≤1.∴z∈.
反思感悟 对于形如的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题．
跟踪训练3 (2018·湖北省荆州中学月考)设x，y满足约束条件则的最大值为( )
A．1B．C．D．
答案 B
解析 画出可行域如图(阴影部分含边界)所示：
联立解得则B.
表示可行域内的点(x，y)与C(－2，－2)连线的斜率，从图象可以看出，经过点B时，有最大值.
类比：思想方法的迁移方式之一
典例 若实数x，y满足不等式组则z＝2|x|＋y的取值范围是( )
A．[－1,3] B．[1,11] C．[1,3] D．[－1,11]
答案 D
解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，
当x≥0时，z＝2x＋y，即y＝－2x＋z，由图象可知其经过A(0，－1)时，zmin＝－1，经过B(6，－1)时，zmax＝11；当x≤0时，y＝2x＋z，由图象可知其经过C(－2，－1)时，zmax＝3，经过A(0，－1)时，zmin＝－1，综上所述，－1≤z≤11.
[素养评析] 逻辑推理主要有两类：演绎是从一般到特殊，归纳与类比是从特殊到一般．其中类比是从此类到彼类，找到两类之间的关联．本例中的目标函数乍看新颖，但只要去掉绝对值，就变成常规的截距型，我们只要把解截距型问题的思想方法迁移过来即可.
1．若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是( )
A．－B．0C．D．
答案 C
解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
设z＝x＋2y，即y＝－x＋z，平行移动直线y＝－x＋z，当直线y＝－x＋过点B时，z取最大值，所以(x＋2y)max＝.
2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为( )
A．6B．7C．8D．23
答案 B
解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7.
3．已知a，b是正数，且满足2A.B.C.D.
答案 A
解析 画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(不含边界).
的几何意义是可行域内的点M(a，b)与点P(－1，－1)连线的斜率，由图得，当点M与点B(0,2)重合时，最大；当点M与点A(4,0)重合时，最小．由图知kPB＝＝3，kPA＝＝，因为a，b是正数，且点A，B不在可行域内，所以<<3，故选A.
4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )
A. B.
C．[－1,6] D.
答案 A
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，
由z＝3x－y，可得y＝3x－z，则－z为直线y＝3x－z在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合图形可知，当直线y＝3x－z平移到B时，z最小，平移到C时，z最大，可得B，zmin＝－，C(2,0)，zmax＝6，∴－≤z≤6.
5．若x，y满足约束条件则z＝的最大值是________．
答案 3
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．
z＝可看作可行域上的点(x，y)与定点B(1,1)连线的斜率．由图可知z＝的最大值为kAB＝3.
1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤
(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；
(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；
(3)平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；
(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
3．对于非线性约束条件，仍然用“方程定界，特殊点定域”.
一、选择题
1．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域内，则2x－y的最小值为( )
A．－6B．－2C．0D．2
答案 A
解析 如图，曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分(含边界)所示，
令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点A(－2,2)时，z取得最小值，此时z＝2×(－2)－2＝－6.
2．(2018·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为( )
A．6B．19C．21D．45
答案 C
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，
作出直线y＝－x，平移该直线，当经过点C时，z取得最大值，由得即C(2,3)，所以zmax＝3×2＋5×3＝21，故选C.
3．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为( )
A．－7B．－4C．1D．2
答案 A
解析 可行域如图阴影部分(含边界)所示，
令z＝0，得直线l0：y－2x＝0，平移直线l0知，
当直线l0过D点时，z取得最小值．
由得D(5,3)．
∴zmin＝3－2×5＝－7，故选A.
4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为( )
A．3，－11 B．－3，－11
C．11，－3 D．11,3
答案 A
解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，
由图可知z＝3x－4y经过点A时，z有最小值，经过点B时，z有最大值．易求得A(3,5)，B(5,3)．
∴zmax＝3×5－4×3＝3，zmin＝3×3－4×5＝－11.
5．已知x，y满足约束条件则(x＋3)2＋y2的最小值为( )
A.B．2C．8D．10
答案 D
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．
因为(x＋3)2＋y2的几何意义是点A(－3,0)与可行域上点(x，y)间距离的平方，显然|AC|最小，所以(x＋3)2＋y2的最小值为|AC|2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，故选D.
6．实数x，y满足约束条件则z＝的取值范围是( )
A．[－1,0]B．[0,2) C．[－1，＋∞) D．[－1,1)
答案 B
解析 作出可行域，如图(阴影部分)所示，
＝1＋，k＝的几何意义是点(x，y)与点(0,1)连线l的斜率，当直线l过B(1,0)时kl最小，最小为－1.又直线l不能与直线x－y＝0平行，
∴kl<1.综上，k∈[－1,1)，k＋1∈[0,2)．
7．已知x，y满足约束条件如果目标函数z＝的取值范围为[0,2)，则实数a的取值范围是( )
A．a≥1 B．a≤2
C．a<2 D．a<1
答案 D
解析 画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
因为目标函数z＝的取值范围为[0,2)，
所以可行域内的点与点(a，－2)连线的斜率的取值范围是[0,2)．
又直线2x－y－4＝0的斜率为2，所以由图可知点(a，－2)在直线BA上，且在A(1，－2)的左侧，所以a<1.故选D.
8．已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于( )
A．B．C．1D．2
答案 B
解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示．
易知直线z＝2x＋y过交点B时，z取最小值，
由得
∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝，故选B.
二、填空题
9．已知x2＋y2<1，则w＝的取值范围是________．
答案 (－∞，0)
解析 可行域为单位圆(阴影部分)内部，不包含边界．
w＝的几何意义为点(x，y)与点(－1,1)连线的斜率．
由图知w∈(－∞，0)．
10．在线性约束条件下，z＝2x－y的最小值是________．
答案 －7
解析 如图作出线性约束条件下的可行域，包含边界．
三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)，
x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)，
x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，
作一族与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z.
即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即zmin＝2×1－9＝－7.
11．已知实数x，y满足不等式组若z＝的最大值为1，则正数a的值为________．
答案 4
解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，
z＝表示可行域内的点(x，y)与定点B(－1,1)连线的斜率，
由图可知，点A与点B连线的斜率最大．
由得A(1，a－1)．∴z的最大值为＝1，解得a＝4.
三、解答题
12．已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的取值范围．
解 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．
(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方，
过M作AC的垂线，易知垂足N在AC上，
故|MN|＝＝＝.
∴|MN|2＝2＝，∴z的最小值为.
(2)z＝2·表示可行域内的点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍，
∵kQA＝，kQB＝，∴z的取值范围是.
13．等差数列{an}中，a3<1，a4＞1.求a7的取值范围．
解 设an＝kn＋b.
则可行域如图阴影部分．
a7＝7k＋b.当k＝0，b＝1时最小，但(0,1)取不到．∴a7∈(1，＋∞)．
14．设实数x，y满足则z＝＋的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 令k＝，则y＝kx(因为x≠0，所以k存在)，直线y＝kx恒过原点，不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
当直线y＝kx过点A(1,2)时，斜率有最大值2；当直线y＝kx过点B(3,1)时，斜率有最小值，所以斜率k的取值范围为，又z＝＋＝k＋，当k∈时，z＝k＋为减函数；当k∈[1,2]时，z＝k＋为增函数，可得z的取值范围为，故选D.
15．已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，b≥a＋c，求的最大值．
解 题设条件可转化为
记x＝，y＝，则
表示第一象限内三直线围成的如图所示的三角形及其内部．
且目标函数为z＝，它表示区域内的点与坐标原点连线的斜率．
由方程组
得交点坐标为C，
此时zmax＝7，即的最大值为7.
第2课时 简单线性规划(二)
学习目标 1.了解实际生活中线性规划问题的最优整数解求法．2.会解决生活中常见的线性规划问题．
知识点一 求解线性规划最优整数解的方法
1．平移找解法：先打网络、描整点、平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优解，这种方法需充分利用非整数最优解的信息，结合精确的作图进行．当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．
2．调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优解，最后筛选出整点最优解．
3．由于作图有误差，有时由图形不一定能准确而迅速地找到最优解，此时将可能的解逐一检验即可．
知识点二 线性规划问题的实际应用
1．线性规划的理论和方法主要用于解决以下两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它
们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、财力、物力、资金等资源来完成该项任务．
2．求解线性规划应用题的步骤
1．可行域内的整点指横坐标、纵坐标均为整数的点．( √ )
2．在线性规划问题中，最优解一定是边界点．( × )
题型一 求目标函数的最优整数解
例1 画出2x－3解 所给不等式等价于不等式组其表示的平面区域如图(1)．
对于2x－3由图可知，在该区域内的横坐标、纵坐标都为正整数的点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)．
反思感悟 目标函数的最优整数解可能不止一个，有多个，注意不要漏写．
跟踪训练1 若满足条件的整点(x，y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a的值为( )
A．－3B．－2C．－1D．0
答案 C
解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，
当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，5个整点．再加上a＝0时的四个整点，共9个整点，故选C.
题型二 生活中的线性规划问题
例2 某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体安排．通过调查，有关数据如下表：
产品A
产品B
搭载要求
研制成本与搭载实验费用之和(万元/件)
20
30
计划最大资金额300万元
产品质量(千克/件)
10
5
最大搭载质量110千克
预计收益(万元/件)
80
60
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
解 设搭载A产品x件，B产品y件，预计总收益为z万元，则目标函数为z＝80x＋60y.
由题意，得即
画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．
将z＝80x＋60y变形为y＝－x＋.
作出直线l0：4x＋3y＝0，并将其向右上方平移，由图象可知，
当直线l0经过点M(整点)时，z能取得最大值．
由解得即M(9,4)．
所以zmax＝80×9＋60×4＝960(万元)．
即搭载9件产品A,4件产品B，可使得总预计收益最大，最大为960万元．
反思感悟 (1)从实际问题抽象出约束条件时要选择适当的决策变量作为x，y．并用x，y把约束条件准确表达出来．
(2)实际问题有时会要求整数解，但高考很少涉及．有兴趣的同学可以自行搜索相关资料．
跟踪训练2 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________.
货物
体积(m3/箱)
重量(50kg/箱)
利润(百元/箱)
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制
24
13
答案 4,1
解析 设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x，y，则
目标函数z＝20x＋10y，画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
由得A(4,1)．
易知当直线z＝20x＋10y平移经过点A时，z取得最大值，即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润．
如何从实际问题中建立线性规划模型
从实际问题中建立线性规划模型一般有3个步骤
1．根据影响目标的因素找到决策变量．
2．由决策变量与目标的关系确定目标函数．
3．由决策变量所受限制确定约束条件．
典例 某人准备投资1200万兴办一所民办中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)：
学段
班级学生人数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45/班
2/班
26/班
2/人
高中
40/班
3/班
54/班
2/人
因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜，试用数学关系式表示上述的限制条件．
解 设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20至30之间，所以有20≤x＋y≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1200，即x＋2y≤40.
另外，开设的班数应为自然数，则x∈N，y∈N.
把上面的四个不等式合在一起，得到
[素养评析] 1947年美国数学家G.B.Dantzing为线性规划奠定基础，却水花不起；1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此获1975年诺贝尔经济学奖．由此可见应用实践能力的重要．认识数学模型在科学、社会、工程等诸多领域的作用，提升应用能力、实践能力，是数学模型核心素养的培养目标之一.
1．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有( )
A．0个B．1个C．2个D．无数个
答案 B
解析 画出不等式组
表示的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)．
因为直线2x＋y－10＝0过点A(5,0)，且其斜率为－2，小于直线4x＋3y＝20的斜率－，所以只有一个公共点(5,0)，故选B.
2．设点P(x，y)，其中x，y∈N，则满足x＋y≤3的点P有( )
A．10个B．9个C．3个D．无数个
答案 A
解析 作出所表示的平面区域，如图中阴影部分的整点所示，
由图知，符合要求的点P有10个，故选A.
3．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用为400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用为300元，可装洗衣机10台．若每辆货车至多运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元
答案 B
解析 设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用为z元，
根据题意，得线性约束条件为目标函数为z＝400x＋300y，画出可行域(图略)可知，
当x＝4，y＝2时z取得最小值，zmin＝2200，故选B.
4．若目标函数z＝x＋y＋1在约束条件下取得最大值的最优解有无穷多个，则n的取值范围是________．
答案 (2，＋∞)
解析 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，
要使目标函数z＝x＋y＋1取得最大值的最优解有无穷多个，只需使目标函数对应的直线能平移到与可行域的边界直线x＋y－2＝0重合，所以当n>2时，目标函数的最优解有无穷多个．
1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．
2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．
一、选择题
1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋y的最大值为( )
A．B．2C．D．－
答案 B
解析 画出满足约束条件的平面区域，如图所示．
由题意可得A(1,0)．由图可知，当直线z＝2x＋y过A(1,0)时，z取得最大值，最大值是2.故选B.
2.如图所示，已知x，y满足的可行域为四边形OACB(含边界)，若C是目标函数z＝ax－y取最小值时所对的点，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵y＝ax－z在C点取最优解，∴目标函数z＝ax－y在点C处取得最小值．∵kAC＝－，kBC＝－，
∴－3．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组确定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为( )
A．3B．4C．3D．4
答案 B
解析 由线性约束条件
画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，
目标函数z＝·＝x＋y，将其化为y＝－x＋z，结合图形可知，当目标函数的图象过点(，2)时，z最大，将点(，2)代入z＝x＋y，得z的最大值为4.
4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋y的最大值为( )
A．B．C．D．
答案 C
解析 作出约束条件所表示的可行域，如图(阴影部分)所示．
设m＝2x＋y，由图可知，当直线2x＋y＝m过点B时，m取得最小值．由得B(1,1)，所以mmin＝2×1＋1＝3，则目标函数z＝2x＋y的最大值为3＝.
5．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工1箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工1箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间共能完成至多70箱原料的加工，且两车间耗费工时总和不得超过480小时，则使甲、乙两车间总获利最大的生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
答案 B
解析 设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，总获利为z元，由题意可知甲、乙两车间总获利为z＝280x＋200y，画出可行域如图中阴影部分(包括边界)内的整点所示．
点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图知在点M(15,55)处z取得最大值，故选B.
6．已知变量x，y满足的约束条件为若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是( )
A．a>B．a>C．00
答案 A
解析 依据约束条件，画出可行域．
∵直线x＋2y－3＝0的斜率k1＝－，
目标函数z＝ax＋y(a＞0)对应直线的斜率k2＝－a，
若符合题意，则需k1＞k2.即－＞－a，得a＞.
7．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元 B．31.2万元
C．30.4万元 D．24万元
答案 B
解析 设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，可获得利润z万元，
则z＝0.4x＋0.6y.
可行域如图阴影部分(含边界)所示，
由图象知，目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．
由得A(24,36)，
∴zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．
8．不等式组表示的平面区域内整点的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
答案 D
解析 不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分．
由图可知，满足条件的平面区域中的整点为(1，－1)，(2，－2)，(0,0)，(0，－1)，共有4个．
二、填空题
9．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是________．
答案 90
解析 原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由图可知，当直线10x＋10y－z＝0过点时z有最大值，由于x，y∈N＋，可行域内与点最接近整点为(5,4)，故当x＝5，y＝4时，z取得最大值，为90.
10．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
答案 216000
解析 设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为
目标函数z＝2100x＋900y.
作出可行域为图中的四边形，包括边界，
顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)．
11.给出平面区域如图所示，其中A(5,3)，B(1,1)，C(1,5)，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a＝________.
答案
解析 直线y＝－ax＋z(a>0)的斜率为－a<0，当直线y＝－ax平移到直线AC位置时取得最大值的最优解有无穷多个．∵kAC＝－，∴－a＝－，即a＝.
三、解答题
12．设x，y满足求z＝x＋y的取值范围．
解 作出约束条件表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，
z＝x＋y表示直线y＝－x＋z过可行域时在y轴上的截距，当目标函数平移至过可行域内的A点时，z有最小值．
联立解得A(2,0)．
zmin＝2，z无最大值．∴x＋y∈[2，＋∞)．
13．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t支援物资的任务．该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？
解 设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆．列表分析数据.
A型车
B型车
限量
车辆数
x
y
10
运物吨数
24x
30y
180
费用
320x
504y
z
由表可知x，y满足线性约束条件且目标函数z＝320x＋504y.
作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．
可知当直线z＝320x＋504y过A(7.5,0)时，z最小，但A(7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z＝320x＋504y，可知点(8,0)是最优解．这时zmin＝320×8＋504×0＝2560(元)，即用8辆A型车，成本费最低．
所以公司每天调出A型卡车8辆时，花费成本最低．
14．设非负实数x，y满足(2,1)是目标函数z＝ax＋3y(a>0)取最大值时的最优解，求a的取值范围．
解 作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分含边界)，
由z＝ax＋3y(a>0)，得y＝－x＋，因为当直线z＝ax＋3y(a>0)过P(2,1)时，z取最大值，所以由图可知－≤－2，所以a≥6，所以a的取值范围是[6，＋∞)．
15．某人有一幢楼房，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大客房每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元．装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？
解 设他应隔出大房间x间，小房间y间，获得的收益为z元，
由题意可得
即
目标函数为z＝200x＋150y，即y＝－x＋，
画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
当直线y＝－x平移到经过B点时，z取得最大值，
但B并非整点，故要进一步搜索．
利用B附近的网格，可在B附近找到A(2,9)，C(2,8)，D(3,8)这几个整点．
因为斜率为－，故在直线平移过程中，必先过D点，因此A，C两点被排除，利用网格知(0,12)，(3,8)为最优整点解．
所以他隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益．
