第1课时 余弦定理及其应用
学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
知识点一 余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理
语言叙述
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
公式表达
a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC
推论
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
思考 在a2＝b2＋c2－2bccosA中，若A＝90°，公式会变成什么？
答案 a2＝b2＋c2，即勾股定理．
知识点二 余弦定理可以用于两类解三角形问题
(1)已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角．
(2)已知三角形的三边，求三角形的三个角．
1．在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一．( × )
2．在△ABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个．( √ )
3．在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角．( √ )
4．在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，则角C为钝角．( × )
题型一 用余弦定理解三角形
命题角度1 已知两边及其夹角
例1 在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，则c＝；sinA＝.
答案 2
解析 根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.
由a＝1，b＝2，c＝2，得cosA＝＝，所以sinA＝＝.
反思感悟 已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边．
跟踪训练1 在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求A.
解 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8－4，
所以c＝－.
由正弦定理，得sinA＝＝，
因为b>a，所以B>A，
所以A为锐角，所以A＝30°.
命题角度2 已知三边
例2 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C.
解 根据余弦定理，得cos A＝
＝＝.
∵A∈(0，π)，
∴A＝，
cos C＝
＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
∴B＝π－A－C＝π－－＝，
∴A＝，B＝，C＝.
反思感悟 已知三边求三角，可利用余弦定理的推论先求一个角．
跟踪训练2 在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，判断三角形的形状．
解 因为a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，
所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)．
c最大，cosC＝<0，
所以C为钝角，
从而三角形为钝角三角形．
题型二 余弦定理的证明
例3 已知钝角△ABC，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，试借助三角函数定义用a，b，C表示边c.
解 不妨设A为钝角．
如图，作BD⊥CA，交CA延长线于点D.
由三角函数定义，sinC＝，cosC＝，
∴BD＝asinC，CD＝acosC.
∴AD＝CD－CA＝acosC－b.
∴c2＝BD2＋AD2
＝a2sin2C＋(acosC－b)2
＝a2sin2C＋a2cos2C＋b2－2abcosC
＝a2＋b2－2abcosC.
引申探究 注意到||＝b，||＝a，，的夹角为C，恰好可以作为一组基底，能否用平面向量完成例3?
解 ＝－，
∴||2＝(－)2＝2＋2－2·，
即c2＝a2＋b2－2abcosC.
反思感悟 所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁．桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方．
跟踪训练3 用解析几何的两点间距离公式来证明余弦定理．
解 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)，
∴BC2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，
即a2＝b2＋c2－2bccosA.
同理可证b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
合理探究运算思路
典例 在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为．
答案 7
解析 方法一 由条件知
cos A＝＝＝，
设中线长为x，由余弦定理，知
x2＝2＋AB2－2××ABcos A
＝42＋92－2×4×9×＝49，
所以x＝7.
所以AC边上的中线长为7.
方法二 设AC中点为M，连接BM(图略)．
则＝(＋)，
∴2＝(2＋2＋2·)
＝(92＋72＋2||||cos∠ABC)
由余弦定理，得2||||cos∠ABC＝||2＋||2－||2＝92＋72－82，
∴||2＝(92＋72＋92＋72－82)＝49.
∴BM＝7，即AC边上的中线长为7.
[素养评析] 数学运算素养的一个重要表现就是探究运算思路，探究运算思路最主要的是弄清楚3个问题：①我有什么？②我要什么？③怎样以我有达到我要？在本例中，我有三角形三边长．由此可求三角．我要求中线长，由于M为中点，在△ABM中，我有AB，AM，∠A(两边夹角)．由此可求BM，思路贯通．在方法二中，我有＝(＋)．我要||，只要平方．平方后2，2都是已知的，只要求·.我们知道要求数量积只需求出模和夹角．模||，||已知，cos∠ABC可求，由此思路贯通．从以上分析可以看出，探究运算思路始终围绕三个问题进行构思、选择、排除.
1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的第三条边长为( )
A．52B．2C．16D．4
答案 B
解析 设第三条边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×＝52，∴x＝2.
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 ∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
由余弦定理，得cosC＝
＝＝.
又∵C为锐角，∴C＝.
3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 设顶角为C，周长为l，因为l＝5c，所以a＝b＝2c，
由余弦定理，得cosC＝＝＝.
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，则角B为( )
A.B.C.或D.或
答案 A
解析 ∵a2－b2＋c2＝ac，
∴cosB＝＝＝，
又角B为△ABC的内角，∴B＝.
5．(2018·青岛模拟)如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．
答案
解析 ∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，
∴在△ABD中，
有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，
∴BD＝.
1．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
2．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题
(1)已知两边和夹角，解三角形．
(2)已知三边求三角形的任意一角．
一、选择题
1．在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于( )
A．4B.C．7D．5
答案 C
解析 ∵b2＝a2＋c2－2accos B＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，∴b＝7.
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a∶b∶c＝3∶5∶7，则C的大小是( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 ∵a∶b∶c＝3∶5∶7，
∴设a＝3k，b＝5k，c＝7k，k>0，
由余弦定理得cos C＝＝－，
又0
3．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A．90°B．120°C．135°D．150°
答案 B
解析 设中间角为θ，则θ为锐角，cosθ＝＝，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．
4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 ∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，
∴cosB＝＝＝.
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c等于( )
A．4 B.
C．3 D.
答案 D
解析 由三角形内角和定理可知
cosC＝－cos(A＋B)＝－，
又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC
＝9＋4－2×3×2×＝17，
所以c＝.
6．在△ABC中，若满足sin2A＝sin2B＋sinB·sinC＋sin2C，则A等于( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 D
解析 设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
∵sin2A＝sin2B＋sin B·sin C＋sin2C，
∴由正弦定理得a2＝b2＋c2＋bc，
∴cos A＝＝－，
又∵0°7．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是( )
A．(1,7) B．(1,5) C．(，5) D．(，5)
答案 C
解析 ∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形，
∴cosA＝>0，且cosC＝>0，
∴78．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为( )
A.B.C.D．3
答案 B
解析 由余弦定理，得
cosA＝＝＝，
从而sinA＝，
则AC边上的高h＝ABsinA＝3×＝.
二、填空题
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，且b2＋c2＝3＋bc，则角A的大小为．
答案 60°
解析 ∵a＝，且b2＋c2＝3＋bc，
∴b2＋c2＝a2＋bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cosA＝＝，
∵0°∴A＝60°.
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2答案
解析 因为a2＋b2所以三角形是钝角三角形，且C>.又因为sin C＝，
所以C＝.
11．在△ABC中，A＝60°，最大边长与最小边长是方程x2－9x＋8＝0的两个实根，则边BC的长为．
答案
解析 设内角B，C所对的边分别为b，c.∵A＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b，c.由条件可知b＋c＝9，bc＝8，∴BC2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos A＝92－2×8－2×8×cos 60°＝57，∴BC＝.
三、解答题
12．在△ABC中，已知A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c.
解 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)，
所以49＝64－2bc，即bc＝15,
由解得或
13.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从点O沿OD走到点D用了2min，从点D沿DC走到点C用了3min.若此人步行的速度为50m/min，求该扇形的半径．
解 依题意得OD＝100m，
CD＝150m，
连接OC，易知
∠ODC＝180°－∠AOB＝60°，
因此由余弦定理，得
OC2＝OD2＋CD2－2OD×CD×cos∠ODC，
即OC2＝1002＋1502－2×100×150×，
解得OC＝50(m)．
14．若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为( )
A．19B．14C．－18D．－19
答案 D
解析 设三角形的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
依题意得a＝5，b＝6，c＝7.
∴·＝||·||·cos(π－B)＝－ac·cos B.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
∴－ac·cos B＝(b2－a2－c2)＝(62－52－72)＝－19，
∴·＝－19.
15．已知a，b，c是△ABC的三边长，若直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1无公共点，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
答案 B
解析 ∵直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1无公共点，
∴圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝>1，
即a2＋b2－c2<0，∴cos C＝<0，
又C∈(0，π)，∴C为钝角．
故△ABC为钝角三角形．
第2课时 正弦定理和余弦定理
学习目标 1.熟练掌握正弦、余弦定理及其变形形式.2.掌握用两边夹角表示的三角形面积.
3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．
知识点一 正弦定理、余弦定理及常见变形
1．正弦定理及常见变形
(1)＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)；
(2)a＝＝＝2RsinA；
(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝.
2．余弦定理及常见变形
(1)a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC；
(2)cosA＝，
cosB＝，
cosC＝.
知识点二 用两边夹角表示的三角形面积公式
一般地，三角形面积等于两边及夹角正弦乘积的一半，即S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
思考1 S△ABC＝absinC中，bsinC的几何意义是什么？
答案 BC边上的高．
思考2 如何用AB，AD，角A表示?ABCD的面积？
答案 S?ABCD＝AB·AD·sinA.
1．当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．( × )
2．△ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B.( √ )
3．在△ABC中，恒有a2＝(b－c)2＋2bc(1－cosA)．( √ )
4．△ABC中，若c2－a2－b2>0，则角C为钝角．( √ )
5．△ABC的面积S＝abc(其中R为△ABC外接圆半径)．( √ )
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例1 在△ABC中，若ccosB＝bcosC，cosA＝，求sinB的值．
解 由ccosB＝bcosC，结合正弦定理，
得sinCcosB＝sinBcosC，
故sin(B－C)＝0，∵0∴－π∵cosA＝，∴由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2·＝b2，得3a2＝2b2，
再由余弦定理，得cosB＝，故sinB＝.
引申探究
1．对于本例中的条件，ccosB＝bcosC，能否使用余弦定理？
解 由余弦定理，得c·＝b·.
化简得a2＋c2－b2＝a2＋b2－c2，
∴c2＝b2，从而c＝b.
2．本例中的条件ccosB＝bcosC的几何意义是什么？
解 如图，作AD⊥BC，垂足为D.
则ccosB＝BD，bcosC＝CD.
∴ccosB＝bcosC的几何意义为边AB，AC在BC边上的射影相等．
反思感悟 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段．
(2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式．
跟踪训练1 在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.
(1)求A的大小；
(2)求的值．
解 (1)由题意及余弦定理知，
cosA＝＝＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)由b2＝ac，得＝，
∴＝sinB·＝sinB·＝sinA＝.
题型二 求三角形面积
例2 在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为( )
A．9B．18C．9D．18
答案 C
解析 由正弦定理得＝，∴AC＝＝＝6.又∵C＝180°－120°－30°＝30°，
∴S△ABC＝AC·BC·sin C＝×6×6×＝9.
反思感悟 求三角形面积，主要用两组公式
(1)×底×高．
(2)两边与其夹角正弦的乘积的一半．
选用哪组公式，要看哪组公式的条件已知或易求．
跟踪训练2 在△ABC中，已知·＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为．
答案
解析 ∵·＝||||cosA＝tanA，
∴||||＝，
∴S△ABC＝||||sinA
＝＝tan2A
＝.
题型三 利用正弦、余弦定理判断三角形形状
例3 在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，若＝，试判断三角形的形状．
解 方法一 由正弦定理知，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，R为△ABC外接圆半径．
∵＝，
∴＝，
∴sin Acos B＋sin Bcos B＝sin Acos B＋sin Acos A，
∴sin Bcos B＝sin Acos A，
∴sin 2B＝sin 2A，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
方法二 由＝，得1＋＝1＋，
＝，
由余弦定理，得＝＝·，
∴＝.
a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
a2c2－a4＝b2c2－b4，
c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．
∴a2＝b2或c2＝a2＋b2.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
反思感悟 (1)要结合题目特征灵活选择使用正弦定理还是使用余弦定理．
(2)变形要注意等价性，如sin2A＝sin2B?2A＝2B.
c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)?c2＝a2＋b2.
跟踪训练3 在△ABC中，若sin2A＋sin2BA．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
答案 C
解析 由正弦定理知，sinA＝，sinB＝，sinC＝.
∴sin2A＋sin2B∴cosC＝<0.
∴角C为钝角，△ABC为钝角三角形．
题型四 利用正弦、余弦定理进行求值、化简和证明
例4 在△ABC中，有
(1)a＝bcosC＋ccosB；
(2)b＝ccosA＋acosC；
(3)c＝acosB＋bcosA，
这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．
证明 方法一 (1)由正弦定理，得b＝2RsinB，c＝2RsinC，
∴bcosC＋ccosB＝2RsinBcosC＋2RsinCcosB
＝2R(sinBcosC＋cosBsinC)
＝2Rsin(B＋C)
＝2RsinA＝a.
即a＝bcosC＋ccosB.
同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；
(3)c＝acosB＋bcosA.
方法二 (1)由余弦定理，得cosB＝，cosC＝，
∴bcosC＋ccosB＝b·＋c·
＝＋＝＝a.
∴a＝bcosC＋ccosB.
同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；
(3)c＝acosB＋bcosA.
反思感悟 证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．
跟踪训练4 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝4，b＝5，c＝6，则＝.
答案 1
解析 由余弦定理得cosA＝＝＝，所以＝＝＝＝1.
求三角形一角的值
典例 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为( )
A.B.或C.D.或
答案 B
解析 ∵cosB＝，
∴a2＋c2－b2＝2accosB，
代入已知等式得2ac·cosBtanB＝ac，
即sinB＝，则B＝或.
[素养评析] 选择运算方法是数学运算素养的内涵之一．运算从一点出发可以有无限个方向．一个式子也可以有无限个变形，逐个试探肯定不现实．那么如何选择运算方向才能算得出，算得快？要点有3个：
①公式要熟，如本例至少应知道cos B＝，tan B＝.
②观察联想，如看到a2＋c2－b2应联想到a2＋c2－b2＝2accos B.
③权衡选择，如本例也可把所有的边都化为相应角的正弦，但权衡运算繁简，不如整体把a2＋c2－b2化为2accos B简单.
1．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为( )
A．3B．3C．6D．6
答案 B
解析 S△ABC＝absinC＝×4×3×sin60°＝3.
2．在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于( )
A．60° B．45°或135°
C．120° D．30°
答案 C
解析 ∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2＋ac，
∴ac＝－2accosB，cosB＝－，
又0°∴B＝120°.
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA＋bsinBA．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案 C
解析 根据正弦定理可得a2＋b2由余弦定理得cosC＝<0，故C是钝角，△ABC是钝角三角形．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosA＋acosC＝2c，若a＝b，则sinB等于( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 ∵ccos A＋acos C＝2c，
∴由正弦定理可得sin Ccos A＋sin Acos C＝2sin C，
∴sin(A＋C)＝2sin C，
∴sin B＝2sin C，∴b＝2c，
又a＝b，∴a＝2c.
∴cos B＝＝＝，
∵B∈(0，π)，∴sin B＝＝.
1．熟悉正弦、余弦定理的各种变形，注意观察题目条件的结构特征，根据这些特征尽量使用正弦、余弦定理各种变形整体代换，可以有效减少计算量．
2．对所给条件进行变形，主要有两种方向
(1)化边为角．
(2)化角为边．
3．(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
一、选择题
1．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段( )
A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形
C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形
答案 B
解析 设最大角为θ，则最大边对应的角的余弦值为
cosθ＝＝>0，所以能组成锐角三角形．
2．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b2－2a2＝ac＋2c2，则sinB等于( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 由2b2－2a2＝ac＋2c2，得2(a2＋c2－b2)＋ac＝0.
由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2accosB，
∴4accosB＋ac＝0.
∵ac≠0，∴4cosB＋1＝0，cosB＝－，
又B∈(0，π)，∴sinB＝＝.
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c等于( )
A．1B．2C．4D．6
答案 C
解析 ∵a2＝c2＋b2－2cbcos A，
∴13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，
即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)．
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A.B．8－4C．1D.
答案 A
解析 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC
＝(a＋b)2－2ab－2abcosC，
∴(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cosC)
＝2ab(1＋cos60°)＝3ab＝4，
∴ab＝.
5．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2－b2＝ab，C＝，则的值为( )
A.B．1C．2D．3
答案 C
解析 由余弦定理得c2－b2＝a2－2abcosC＝a2－ab＝ab，所以a＝2b，所以由正弦定理得＝＝2.
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则C等于( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 由正弦定理＝和3sinA＝5sinB，
得3a＝5b，即b＝a，
又b＋c＝2a，∴c＝a，
由余弦定理得cosC＝＝－，
∴C＝.
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
A.B.C.D．3
答案 C
解析 由题意得c2＝a2＋b2－2ab＋6，
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab，
∴－2ab＋6＝－ab，即ab＝6.
∴S△ABC＝absinC＝.
8．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC等于( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 在△ABC中，由余弦定理，得
AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC·cos∠ABC
＝()2＋32－2××3×cos＝5.
∴AC＝，由正弦定理＝，得
sin∠BAC＝＝＝＝.
二、填空题
9．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－asinC＝bsinB，则B＝.
答案 45°
解析 由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，故cosB＝.
又因为B为三角形的内角，所以B＝45°.
10．在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足b2＋c2＝a2＋bc，且bc＝8，则△ABC的面积为．
答案 2
解析 因为b2＋c2＝a2＋bc，
所以cosA＝＝，所以A＝，
三角形面积S＝bcsinA＝×8×＝2.
11．在△ABC中，a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝.
答案 30°
解析 由sinC＝2sinB及正弦定理，得c＝2b，
把它代入a2－b2＝bc，得a2－b2＝6b2，
即a2＝7b2.
由余弦定理，得
cosA＝＝＝＝，
又0°三、解答题
12.如图，在△ABC中，D是边AC上的点且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，求sin C的值．
解 设AB＝a，则AD＝a，BD＝，BC＝2BD＝，
cosA＝＝＝，
∴A∈，∴sinA＝＝.
由正弦定理，得sinC＝·sinA＝×＝.
13．已知在△ABC中，BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sinB＝，求BC边上的高AD的长．
解 在△ABC中，设AB＝7x，则AC＝8x，
由正弦定理，得＝，
则sinC＝＝×＝，
因为0所以C＝60°或C＝120°(舍去)．
再由余弦定理，得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15×cos60°，
即x2－8x＋15＝0，解得x＝3或x＝5，
所以AB＝21或AB＝35.
当AB＝21时，AC＝24，当AB＝35时，AC＝40，
均可与BC＝15构成三角形．
在△ABD中，AD＝ABsinB＝AB，
所以AD＝12或AD＝20.
14．在△ABC中，关于x的方程(1＋x2)sinA＋2xsinB＋(1－x2)sinC＝0有两个不等的实根，则A为( )
A．锐角B．直角C．钝角D．不存在
答案 A
解析 由方程可得(sinA－sinC)x2＋2xsinB＋sinA＋sinC＝0.
∵方程有两个不等的实根，
∴4sin2B－4(sin2A－sin2C)＞0.
由正弦定理＝＝，
代入不等式中得b2－a2＋c2＞0，
再由余弦定理，有2bccosA＝b2＋c2－a2＞0.
∴0°15．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.
(1)求角A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝，试判断△ABC的形状．
解 (1)∵2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，
∴2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，
∴cos A＝＝.
∵0°(2)∵A＋B＋C＝180°，
∴B＋C＝180°－60°＝120°，
由sin B＋sin C＝，得sin B＋sin(120°－B)＝，
∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝，
∴sin B＋cos B＝，即sin(B＋30°)＝1.
又∵0°∴30°∴B＋30°＝90°，即B＝60°，
∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为正三角形．
