2020版高中数学新人教B版必修5第三章不等式3.1.1不等关系与不等式学案（含解析）

3.1.1　不等关系与不等式
学习目标　1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系．2.学会用作差法比较两实数的大小．
知识点一　不等关系与不等式的概念
1．用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式．
2．符号“≥”和“≤”的含义：如果a，b是两个实数，那么a≥b，即为a>b或a＝b；a≤b即为a3．对于任意实数a，b，在a＝b，a＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立．
知识点二　p推出q的符号表示
1．“如果p，则q”为正确的命题，则简记为p?q，读作“p推出q”．
2．如果p?q，且q?p都是正确的命题，则记为p?q，读作“p等价于q”或“q等价于p”．
知识点三　作差法
作差法的理论依据：a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝0；a1．不等式x≥2的含义是指x不小于2．(　√　)
2．若a3．“p?q”表示由p成立就能得出q成立．(　√　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型一　用不等式(组)表示不等关系
例1　某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解　提价后销售的总收入为x万元，
那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x≥20(x≥2.5)．
反思感悟　数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系，思维要严密、规范．
跟踪训练1　(1)雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．
答案　4.5t<28000
解析　由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28000.
(2)配制A，B两种药剂，需要甲，乙两种原料．已知配一剂A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，y∈N)，请写出x，y所满足的不等关系．
解　根据题意可得
题型二　作差法的应用
命题角度1　作差法比较大小
例2　已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)
＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2．
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2．
反思感悟　比较两个实数的大小，只要观察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．
跟踪训练2　已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．
解　∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，
∵＋＞0，x－1＜0，
∴(x－1)＜0，
∴x3－1＜2x2－2x．
命题角度2　作差法证明不等式
例3　证明函数f(x)＝x3(x∈R)为增函数．
证明　任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x－x＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x)
＝(x1－x2)．
因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，
又2＋x＞0，
所以(x1－x2)＜0，
即f(x1)－f(x2)＜0，
所以f(x1)＜f(x2)．
所以函数f(x)＝x3(x∈R)为增函数．
反思感悟　有时证明a＞b不易，可以转为证明其等价命题a－b＞0，因为作差过程中使不等号两端的信息集中到一端，从而可以使用消去、分解因式、配方等方法，使问题变得易于解决．
跟踪训练3　若a＞b，ab＞0，求证：＜．
证明　－＝．
∵a＞b，∴b－a＜0．
又ab＞0，∴＜0，
即－＜0，∴＜．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45．
2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)
A．a>b>－b>－aB．a>－b>－a>bC．a>－b>b>－aD．a>b>－a>－b
答案　C
解析　由a＋b>0，知a>－b，
∴－a又b<0，∴－b>0，
∴a>－b>b>－a．
3．比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
解　∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)
＝－7<0，
∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．
4．某市政府准备投资1800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是什么？
解　设该校有初中班x个，高中班y个，
则有
1．比较两个实数的大小，只要观察它们的差就可以了．
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a2．作差法比较的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．一般的人，下半身长x与全身长y的比值在0.57～0.6之间，用不等式表示为(　　)
A．＜0.57B．＞0.6C．0.57＜≤0.6D．0.57≤＜0.6
答案　D
解析　在a～b之间，即a≤x＜b．
2．已知a，b分别对应数轴上的A，B两点，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立的是(　　)
A．a－b≤0B．a＋b<0C．|a|>|b|D．a2＋b2≥－2ab
答案　D
解析　a>0，b<0.则a－b>0，而a＋b的符号不确定，
|b|与|a|的大小也不确定；(a＋b)2≥0，则a2＋b2≥－2ab，故选D.
3．设xA．x2ax>a2C．x2a2>ax
答案　B
解析　∵x2－ax＝x(x－a)>0，
∴x2>ax．
又ax－a2＝a(x－a)>0，
∴ax>a2，
∴x2>ax>a2．
4．不等式：①a2＋2＞2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a2＋b2≥ab恒成立的个数是(　　)
A．0B．1C．2D．3
答案　D
解析　a2＋2－2a＝(a－1)2＋1＞0，
∴a2＋2＞2a，①对；
a2＋b2－2(a－b－1)＝a2－2a＋1＋b2＋2b＋1
＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴②对．
a2＋b2－ab＝a2－ab＋＋
＝2＋≥0，
∴③对．
5．若A＝＋3，B＝＋2，则A，B的大小关系是(　　)
A．A＞BB．A＜BC．A≥BD．不确定
答案　A
解析　A－B＝＋3－－2
＝－＋1
＝2＋＞0．
∴A＞B．
6．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．M＜NB．M＞NC．M＝ND．不确定
答案　B
解析　M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)．
∵a1，a2∈(0，1)，
∴a1－1＜0，a2－1＜0，
∴M－N＞0，
∴M＞N．
7．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b≤cB．b≤c＜aC．b＜c＜aD．b＜a＜c
答案　A
解析　由c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，
得b≤c，
再由b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，
得2b＝2＋2a2，
因为1＋a2－a＝2＋＞0，
所以b＝1＋a2＞a，
所以a＜b≤c．
二、填空题
8．b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：____________.
答案　>
解析　变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．
9．若x∈R，则与的大小关系为________．
答案　≤
解析　∵－＝＝≤0．
∴≤．
10．(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2的大小关系为_________________________．
答案　(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2
解析　因为(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2
＝x2＋12x＋35－(x2＋12x＋36)＝－1<0．
所以(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2．
11．已知0答案　M>N
解析　∵00，1＋b>0．
M＝＋＝，
N＝＋＝．
∵ab<1，∴2ab<2，
∴a＋b＋2ab<2＋a＋b，
∴M>N．
三、解答题
12．设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
解　∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号．
13．商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：
(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；
(2)按总价的92%付款．
某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若设购买茶杯为x个，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法的y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱？
解　由优惠办法(1)得y1＝20×4＋5(x－4)
＝5x＋60(x≥4)，
由优惠办法(2)得
y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4)．
y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4)，
令y1－y2＝0，得x＝34，
当购买34只茶杯时，两种办法付款相同；当4≤x＜34时，y1＜y2，优惠办法(1)省钱；当x＞34时，y1＞y2，优惠办法(2)省钱．
14．已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小．
解　－(＋)＝＋
＝＋＝＝．
因为a，b为正实数，
所以＋>0，>0，(－)2≥0，
所以≥0，
所以＋≥＋．
15．规定A?B＝A2＋B2，A?B＝A·B，A，B∈R，若M＝a－b，N＝a＋b，a，b∈R，判断M?N与M?N的大小．
解　M?N＝M2＋N2＝(a－b)2＋(a＋b)2＝2a2＋2b2．
M?N＝M·N＝(a－b)(a＋b)＝a2－b2，
M?N－M?N＝2a2＋2b2－(a2－b2)＝a2＋3b2≥0，
所以M?N≥M?N．