2020版高中数学新人教B版必修5第三章不等式3.1.2不等式的性质学案（含解析）

3.1.2　不等式的性质
学习目标　1.理解并掌握不等式的性质．2.能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较．
3.会证明一些简单的不等式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　不等式的基本性质
思考　试用作差法证明a>b，b>c?a>c.
答案　a>b，b>c?a－b>0，b－c>0?a－b＋b－c>0?a－c>0?a>c.
总结　不等式性质：
名称
式子表达
性质1(对称性)
a＞b?b＜a
性质2(传递性)
a＞b，b＞c?a＞c
性质3
a＞b?a＋c＞b＋c
推论1
a＋b＞c?a＞c－b
a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d
推论2
性质4
a＞b，c＞0?ac＞bc
a＞b，c＜0?ac＜bc
推论1
a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd
a＞b＞0?an＞bn(n∈N＋，n＞1)
a＞b＞0?＞(n∈N＋，n＞1)
推论2
推论3
知识点二　不等式性质的注意事项
思考1　在性质4的推论1中，若把a，b，c，d为正数的条件去掉，即a＞b，c＞d，能推出ac＞bd吗？若不能，试举出反例．
答案　不能，例如1＞－2，2＞－3，但1×2＝2＜(－2)×(－3)．
思考2　在性质3的推论2中，能把“?”改为“?”吗？为什么？
答案　不能，因为由a＋c＞b＋d，不能推出a＞b，c＞d，例如1＋100＞2＋3，但显然1＜2.
总结　(1)注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要想当然随意捏造性质．
(2)注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性，只有a＞b?b＜a，a＞b?a＋c＞b＋c，a＞b?ac＞bc(c＞0)是可以逆推的，其余几条性质不可逆推．
1．若a>b，则ac>bc一定成立．(　×　)
2．若a＋c>b＋d，则a>b且c>d．(　×　)
3．若a>b且db＋d．(　√　)
4．若a>b且c>d，则ac>bd．(　×　)
题型一　不等式性质的证明
例1　若a＞b，c＞0，求证：ac＞bc.
证明　ac－bc＝(a－b)c.
∵a＞b，∴a－b＞0.
又c＞0，∴(a－b)c＞0，即ac－bc＞0，
∴ac＞bc.
反思感悟　对任意两个实数a，b有a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础．数学是个讲究逻辑的学科，不能以理解代替证明．
跟踪训练1　(1)若ac2＞bc2，求证：a＞b；
(2)由a＞b能推出ac2＞bc2吗？
解　(1)∵ac2＞bc2，
∴ac2－bc2＞0，即(a－b)c2＞0．
若c2＝0，则ac2＝bc2与条件矛盾．
∴c2＞0，
∴a－b＞0，即a＞b．
(2)不能．当c＝0时，ac2＝bc2．
题型二　不等式性质的应用
命题角度1　利用不等式的性质判断命题真假
例2　判断下列命题的真假：
(1)若a>b，则ac(2)若aab>b2；
(3)若a.
解　(1)由于c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据．故该命题为假命题．
(2)由?a2>ab；由?ab>b2．
所以a2>ab>b2，故该命题为真命题．
(3)由a－b>0?a2>b2?>，即>，故该命题为假命题．
反思感悟　要判断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，应熟练掌握不等式的性质及其推论的条件和结论，若判断命题是假命题只需举一反例即可．
跟踪训练2　下列命题中正确的个数是(　　)
①若a>b，b≠0，则>1；
②若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d；
③若a>b，且ac>bd，则c>d．
A．0B．1C．2D．3
答案　A
解析　①若a＝2，b＝－1，则不符合题意；
②取a＝10，b＝2，c＝1，d＝3，虽然满足a>b且a＋c>b＋d，但不满足c>d，故错；
③当a＝－2，b＝－3时，取c＝－1，d＝2，则c＞d不成立．
命题角度2　利用不等式性质证明简单不等式
例3　已知a>b>0，c.
证明　∵c－d>0，
∵a>b>0，
∴a－c>b－d>0，∴0<<．
又∵e<0，∴>．
反思感悟　利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根据性质把不等式进行变形，要注意不等式性质成立的条件，如果不能直接由不等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式性质进行转化．
跟踪训练3　若a>b>0，c证明　∵c－d>0．
又a>b>0，∴－ac>－bd>0，∴ac又c<0，d<0，∴cd>0．∴<，即<．
命题角度3　应用不等式性质求取值范围
例4　已知－6解　∵－6∴－10<2a＋b<19．
又∵－3<－b<－2，∴－9又<<，
当0≤a<8时，0≤<4；当－6∴－3<<4．
反思感悟　解决此类问题，要注意题设中的条件，充分利用已知求解，否则易出错．同时在变换过程中要准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的情况，同时，要特别注意同向不等式相乘的条件是同为正．
跟踪训练4　已知－≤α<β≤，求，的取值范围．
解　∵－≤α<β≤，
∴－≤<，－<≤．
上面两式相加得－<<．
∵－<≤，∴－≤－<，
∴－≤<．
又知α<β，∴α－β<0，
故－≤<0．
用好不等式性质，确保推理严谨性
典例　已知12＜a＜60,15＜b＜36，求的取值范围．
解　∵15＜b＜36，∴＜＜，又12＜a＜60，
∴＜＜，∴＜＜4，
即的取值范围是．
[素养评析]　逻辑推理讲究言必有据．在不等式这一章，我们要对不等式进行大量的运算、变形，而运算、变形的依据就是不等式的性质．通过考问每一步是否有依据，整个推理过程是否有条理，可以使我们的理性精神和交流能力得到提升．
1．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的个数是(　　)
①＜；②＜；③a2＜b2；④|a|＞|b|.
A．0B．1C．2D．3
答案　B
解析　①正确，②③④可举反例排除，如对②③，设a＝－9，b＝1，对④，设a＝－1，b＝2即可．
2．已知a>b，不等式：①a2>b2；②<；③>成立的个数是(　　)
A．0B．1C．2D．3
答案　A
解析　由题意可令a＝1，b＝－1，此时①不对，②不对，③a－b＝2，此时有<，故③不对．故选A．
3．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－>－，则(　　)
A．bcadC．>D．<
答案　A
解析　∵ab>0，
∴在－>－两侧乘ab不变号，
即－bc>－ad，即bc4．若α∈，β∈，那么2α－的取值范围是________________．
答案　
解析　∵α∈，∴2α∈(0，π)，
∵β∈，∴－∈，
∴－<2α－<π．
1．不等式的性质有很多是不可逆的，特别对同向不等式，只有同向不等式才可以相加，但不能相减，而且性质不可逆．只有同向且是正项的不等式才能相乘，且性质不可逆．
2．不等式的性质是解(证)不等式的基础，要依据不等式的性质进行推导，不能自己“制造”性质运算．
一、选择题
1．设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①>；②acloga(b－c)．
其中所有正确结论的序号是(　　)
A．①B．①②C．②③D．①②③
答案　D
解析　由不等式性质及a>b>1知<，
又c<0，∴>，①正确；
构造函数y＝xc，
∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，
又a>b>1，∴ac∵a>b>1，c<0，∴a－c>b－c>1，
∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确．
2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a>>B．>>aC．>a>D．>>a
答案　D
解析　取a＝－2，b＝－2，则＝1，＝－，
∴>>a．
3．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A．< B．a2>b2
C．> D．a|c|>b|c|
答案　C
解析　对于A，若a>0>b，则>0，<0，
此时>，∴A不成立；
对于B，若a＝1，b＝－2，则a2对于C，∵c2＋1≥1，且a>b，
∴>恒成立，∴C成立；
对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．
4．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．ab>ac B．ac>bc
C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
答案　A
解析　由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，
?ab>ac．
5．若a<0，－1A．aa>ab
C．ab>b>ab2 D．ab>ab2>a
答案　D
解析　∵－1又a<0，∴ab>ab2>a．
6．如果－1A．<C．<答案　A
解析　∵－10，
∴<即<<0，
∴1>a2>b2>0，
∴<<0二、填空题
7．已知a，b为非零实数，且a(1)a2b答案　(2)
解析　对于(1)，
当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b对于(2)，
∵a0，∴<，故成立；
对于(3)，
当a＝－1，b＝1时，＝＝－1，故不成立．
8．如果a，b，c满足c(1)ab>ac； (2)c(b－a)>0；
(3)cb2答案　(3)
解析　c0，c<0，而b的取值不确定，当b＝0时，(3)不成立．
9．若－1≤a≤3,1≤b≤2，则a－b的范围为________．
答案　[－3,2]
解析　∵－1≤a≤3，－2≤－b≤－1，∴－3≤a－b≤2．
10．已知a>b，e>f，c>0，则f－ac________e－bc．(填“>”“<”或“＝”)
答案　＜
解析　因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc．
又e>f，即f三、解答题
11．判断下列各命题是否正确，并说明理由：
(1)若<且c>0，则a>b；
(2)若a>b，ab≠0，则<；
(3)若a>b，c>d，则ac>bd．
解　(1)?<，但推不出a>b，故(1)错．
(2)例如，当a＝1，b＝－1时，不成立，故(2)错．
(3)例如，当a＝c＝1，b＝d＝－2时，不成立，故(3)错．
12．已知a＞b＞0，c＞d＞0，
(1)求证：ac＞bd．
(2)试比较与的大小．
(1)证明　因为a＞b＞0，c＞d＞0，所以ac＞bc，bc＞bd，所以ac＞bd．
(2)解　因为a＞b＞0，c＞d＞0，
所以＞＞0，＞＞0，
所以＞＞0，所以＞．
13．已知函数f(x)＝ax2－c，－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．
解　∵f(x)＝ax2－c，
∴
∴
∴f(3)＝9a－c＝f(2)－f(1)，
又∵－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，
∴≤－f(1)≤，①
－≤f(2)≤．②
把①②的两边分别相加，得－1≤f(2)－f(1)≤20，即－1≤f(3)≤20.所以f(3)的取值范围是[－1,20]．
14．已知不等式：①a<00；⑥a答案　①②④⑤⑥
解析　因为<?<0?b－a与ab异号，然后再逐个进行验证，可知①②④⑤⑥都能使<．
15．已知：f(x)＝logax，a>1>b>c>0，
证明：>．
证明　∵a>b>c，∴a－c>b－c>0，
∴0<<，
又∵f(b)＝logab，f(c)＝logac，a>1，
∴f(b)>f(c)，
又∵1>b>c>0，∴f(b)<0，f(c)<0，
∵f(b)>f(c)，∴0<－f(b)<－f(c)，
∴b－f(c)>c－f(b)>0，
∴>．