2020版高中数学新人教B版必修5第三章不等式3.4不等式的实际应用学案（含解析）

§3.4　不等式的实际应用
学习目标　1.掌握建立一元二次不等式模型解决实际问题．2.掌握建立均值不等式模型解决实际问题．
知识点一　不等式模型
建立不等式模型解决实际问题的过程：
(1)理解题意，设出变量(必要时可画出示意图帮助理解)；
(2)建立相应的等量或不等量关系，把实际问题抽象为数学问题；
(3)解决数学问题；
(4)回归实际问题，写出准确答案．
知识点二　常见的不等式模型
1．一元二次不等式模型
根据题意抽象出的模型是一元二次不等式或一元二次函数，需要求变量的范围或者最值，解决办法是解一元二次不等式或配方法求最值，注意实际含义对变量取值范围的影响．
2．均值不等式模型
根据题意抽象出的模型是(1)y＝x＋(a＞0)，(2)a＋b，ab中有一个是定值，求另一个的最值，解决办法是应用均值不等式，注意均值不等式成立的条件a＞0，b＞0，以及等号成立的条件是否具备．
题型一　一元二次不等式的实际应用
命题角度1　范围问题
例1　国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫作税率R%)，则每年的产销量将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？
解　设产销量每年为x万瓶，则销售收入每年70x万元，
从中征收的金额为70x·R%万元，其中x＝100－10R.
由题意，得70(100－10R)·R%≥112，
整理，得R2－10R＋16≤0.
因为Δ＝36＞0，
所以方程R2－10R＋16＝0的两个实数根分别为R1＝2，R2＝8.
由二次函数y＝R2－10R＋16的图象，
得不等式的解集为{R|2≤R≤8}．
所以当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元．
反思感悟　解有关不等式应用题的步骤
(1)选用合适的字母表示题中的未知数．
(2)由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．
(3)解所列出的不等式(组)．
(4)结合问题的实际意义写出答案．
跟踪训练1　某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400km.该热带风暴中心B以40km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
解　如图，
以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，
因为AB＝400，∠BAx＝30°，
所以热带风暴中心B的坐标为(200，－200)，
xh后热带风暴中心B到达点P(200，40x－200)处，
由已知，A市受热带风暴影响时，有|AP|≤350，
即(200)2＋(40x－200)2≤3502，
整理得16x2－160x＋375≤0，
解不等式，得3.75≤x≤6.25，
A市受热带风暴影响的时间为6.25－3.75＝2.5，
故在3.75h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5h.
命题角度2　最值问题
例2　甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g(x)，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险．
(1)若f(0)＝10，g(0)＝20，试解释它们的实际意义；
(2)设f(x)＝＋10，g(x)＝＋20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？
解　(1)f(0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g(0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．
(2)设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，若双方均无失败的风险，依题意，
当且仅当成立．
故y≥(＋20)＋10，则4y－－60≥0，
所以(－4)(4＋15)≥0，得≥4，
故y≥16，x≥＋20≥24，
即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费，乙公司应投入16万元宣传费．
反思感悟　与最值相关的二次函数问题的解题方法
(1)此类问题一般涉及最大值、最小值的确定，实质是求一元二次函数的最值，一般是根据题意列出相应的一元二次函数，再通过配方求最值．
(2)需要注意一元二次函数的对称轴与实际问题中自变量范围的关系．
(3)对于列出的函数是分段函数的，则在每一段上求最值，再比较每个最值的大小．
跟踪训练2　已知不等式sin2x－2asinx＋a2－2a＋2>0对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
解　设f(x)＝sin2x－2asinx＋a2－2a＋2，
则f(x)＝(sinx－a)2＋2－2a.
当a<－1时，f(x)在sin x＝－1时取到最小值，且f(x)min＝a2＋3，a2＋3>0显然成立，∴a<－1.
当－1≤a≤1时，f(x)在sinx＝a时取到最小值，且f(x)min＝2－2a，由2－2a>0，解得a<1，∴－1≤a<1.
当a>1时，f(x)在sinx＝1时取到最小值，且f(x)min＝a2－4a＋3，由a2－4a＋3>0，解得a<1或a>3，
∴a>3.综上所述，a的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
题型二　均值不等式的实际应用
例3　某单位决定投资3200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．
(1)仓库底面积S(m2)的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
解　(1)设铁栅长为xm，一侧砖墙长为ym，
则有S＝xy.
由题意得40x＋2×45y＋20xy＝3200.
由均值不等式，得
3200≥2＋20xy＝120＋20xy
＝120＋20S，
∴S＋6≤160，即(＋16)(－10)≤0.
∵＋16>0，∴－10≤0，∴S≤100.
∴S的最大允许值是100m2.
(2)由(1)知取得最大值的条件是40x＝90y，而xy＝100，由此求得x＝15，即铁栅的长应是15 m.
反思感悟　(1)求最值或者求取值范围问题，首先考虑建立函数关系，通过函数的方法来求．均值不等式也是求最值的重要方法，尤其是出现和与积的形式，把所求的量放在不等式中去考查．
(2)建立函数时一定要注意函数的定义域，定义域是函数的三要素之一，不能忽视．在利用均值不等式解题时，要注意“一正、二定、三相等”，若取等号时的自变量的值取不到，此时应考虑用函数的单调性．
跟踪训练3　把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为(　　)
A．4B．8C．16D．32
答案　B
解析　设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,01．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为(　　)
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
答案　C
解析　设售价定为每件x元，利润为y，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，
即x2－28x＋192<0，解得12所以每件售价应定为12元到16元之间．
2．某校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路(如图所示)，则占地面积的最小值为________m2.
答案　648
解析　设游泳池的长为xm，则游泳池的宽为m，
又设占地面积为ym2，依题意，得y＝(x＋8)
＝424＋4≥424＋224＝648(m2)．
当且仅当x＝，即x＝28时，取“＝”．
3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．
答案　5
解析　设仓库到车站距离为x公里，
则y1＝，y2＝k2x且k1＝20，k2＝，
则两项费用之和S＝＋x≥8(万元)，
当且仅当＝x，
即x＝5公里时，两项费用之和最小为8万元．
4．要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值．
解　设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，ab＝9000.①
广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a＞0，b＞0．
广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500
＝18500＋25a＋40b≥18500＋2
＝18500＋2＝24500．
当且仅当25a＝40b时，等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝120，从而b＝75，即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24500，
故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小，最小值为24500cm2．
1．解不等式实际应用题的解题思路

2．建立一元二次不等式模型求解实际问题操作步骤为：
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
一、选择题
1．若－2x2＋5x－2＞0，则＋2|x－2|等于(　　)
A．4x－5B．－3C．3D．5－4x
答案　C
解析　∵－2x2＋5x－2＞0，∴＜x＜2，
∴2x＞1，x＜2，原式＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1－2(x－2)＝3．
2．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是(　　)
A．5月、6月B．6月、7月C．7月、8月D．8月、9月
答案　C
解析　n个月累积的需求量为Sn，
∴第n个月的需求量为an＝Sn－Sn－1
＝(21n－n2－5)－[21(n－1)－(n－1)2－5]
＝(－n2＋15n－9)．
∵a1＝S1＝<1.5，∵an>1.5即满足条件，
∴(－n2＋15n－9)>1.5，
解得6∴n＝7或n＝8.故选C．
3．某汽车运输公司买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数关系(如图)，则每辆客车营运的年平均利润最大时，营运了(　　)
A．3年B．4年C．5年D．6年
答案　C
解析　设y＝a(x－6)2＋11，
由条件知7＝a(4－6)2＋11，∴a＝－1．
∴y＝－(x－6)2＋11＝－x2＋12x－25．
∴每辆客车营运的年平均利润＝
＝－＋12≤－2＋12＝2(万元)，
当且仅当x＝，即x＝5时等号成立．
4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则(　　)
A．a＜v＜B．v＝C.＜v＜D．v＝
答案　A
解析　依题意，设甲，乙两地路程为s，则
v＝＝．
∵0＜a＜b，∴＝＜＝．
又＞＝a，∴a＜v＜．
5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　)
A．[15,20]B．[12,25]C．[10,30]D．[20,30]
答案　C
解析　依题意，设矩形高为ym，
则·x·(40－y)＋(40－x)·y＋xy＝×40×40，
即x＋y＝40，∴y＝40－x，
∴xy≥300，即x(40－x)≥300，解得10≤x≤30．
6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)
A．60件B．80件C．100件D．120件
答案　B
解析　设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，则y＝＝＋．
∵x＞0，∴＋≥2＝20．
当且仅当＝，即x＝80时取等号．
即每批生产80件，平均每件费用最小．
二、填空题
7．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
答案　25
解析　设矩形的一边为xm，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
∴y＝x(10－x)≤2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25．
8．现有含盐7%的盐水200克，生产含盐5%以上6%以下的盐水，设需要加入含盐4%的盐水x克，则x的取值范围是________．
答案　(100,400)
解析　由题意，得5%<×100%<6%，解得1009．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，t变动的范围是________．
答案　[3,5]
解析　由题意可列不等式·24000·t%≥9000?3≤t≤5．
10．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是______(单位：元)．
答案　160
解析　设长方体底面的一边长为x，则另一边长为，
故总造价S＝4·20＋x·10·2＋·10·2＝80＋20≥160，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，
故最低总造价为160元．
11．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是________．
①6.5m；②6.8m；③7m；④7.2m.
答案　③
解析　设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．故③既够用，浪费也最少．
三、解答题
12．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解　(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，
整理得y＝－6000x2＋2000x＋20000(0＜x＜1)．
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
必须有
即解得0＜x＜，
所以投入成本增加的比例应在内．
13．一服装厂生产某种风衣，月销售x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本总数R＝500＋30x(元)．
(1)当月产量为多少时，该厂的月获利不少于1300元？
(2)当月产量为多少时，该厂的月获利最大？最大月获利是多少？
解　(1)设该厂月获利为y，
则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，
由题意得y≥1300，解得20≤x≤45，
∴当月产量在20至45件之间时，月获利不少于1300元．
(2)由(1)知y＝－22＋1612.5．
∵x为正整数，
∴当x＝32或33时，y取最大值为1612，
∴当月产量为32或33件时，月获利最大，且最大为1612元．
14．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足关系：s＝＋(n为常数，且n∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中则n为(　　)
A．7B．5C．6D．8
答案　C
解析　依题意，得
解得又n∈N，所以n＝6．
15．学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元．已知食堂每天需用大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．
(1)该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？
(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．
解　(1)设每t天购进一次大米，易知每次购进大米量为t吨，那么库存总费用即为
2[t＋(t－1)＋…＋2＋1]＝t(t＋1)．
若设平均每天所支付的总费用为y1，则
y1＝[t(t＋1)＋100]＋1500＝t＋＋1501≥1521．
当且仅当t＝，即t＝10时，等号成立，
故应每10天购买一次大米，能使平均每天支付的总费用最少．
(2)若接受价格优惠条件则至少每20天购买一次，
设t(t≥20)天购买一次，每天支付费用y2，则
y2＝[t(t＋1)＋100]＋1500×0.95＝t＋＋1426，
令f(t)＝t＋(t≥20)，
设20≤t1f(t2)－f(t1)＝>0，
即f(x)在[20，＋∞)上单调递增．
故当t＝20时，y2取最小值为1451元<1521元，从而知该食堂应接受价格优惠条件．