2020版高中数学新人教B版必修5第三章不等式章末复习学案（含解析）

第三章 不等式章末复习
学习目标　1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识．2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式．3.会用均值不等式证明不等式，求解最值问题．4.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.5.能熟练地运用图解法解决线性规划问题．
1．不等式的性质
名称
式子表达
性质1(对称性)
a＞b?b＜a
性质2(传递性)
a＞b，b＞c?a＞c
性质3
a＞b?a＋c＞b＋c
推论1
a＋b＞c?a＞c－b
a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d
推论2
性质4
a＞b，c＜0?ac＜bc
a＞b，c＞0?ac＞bc
推论1
a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd
a＞b＞0?an＞bn(n∈N＋，n＞1)
a＞b＞0?＞(n∈N＋，n＞1)
推论2
推论3
2.均值不等式
利用均值不等式证明不等式和求最值的区别
(1)利用均值不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件．
(2)利用均值不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等．
3．三个二次之间的关系
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
解不等式f(x)>0或f(x)<0的步骤
求方程f(x)＝0的解
有两个不等的实数解x1，x2
有两个相等的实数解x1，x2
没有实数解
画函数y＝f(x)的示意图
得不等式的解集
f(x)>0
{x|xx2}

R
f(x)<0
{x|x1?
?
4.线性规划问题求解步骤
(1)把问题要求转化为约束条件；
(2)根据约束条件作出可行域；
(3)对目标函数变形并解释其几何意义；
(4)移动目标函数寻找最优解；
(5)解相关方程组求出最优解．
题型一　利用均值不等式求最值
例1　函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则＋的最小值为________．
答案　4
解析　y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)，
∵点A在直线mx＋ny－1＝0上，∴m＋n＝1，
方法一　＋＝＝≥＝4，
当且仅当m＝n＝时，取等号．
方法二　＋＝(m＋n)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当即m＝n＝时取等号．
∴min＝4.
反思感悟　当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为命题角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值．
跟踪训练1　设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值．
解　∵＋＝3，∴＝1.
∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×
＝≥
＝＋＝.
当且仅当＝，即y＝2x时，取等号．
又∵＋＝3，∴x＝，y＝.
∴2x＋y的最小值为.
题型二　“三个二次”之间的关系
例2　若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝________.
答案　－14
解析　∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
∴解得
∴a＋b＝－14.
反思感悟　(1)“三个二次”之间要选择一个运算简单的方向进行转化．
(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想．
跟踪训练2　设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M?[1,4]，求实数a的取值范围．
解　M?[1,4]有两种情况：
其一是M＝?，此时Δ<0；其二是M≠?，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围．
设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
对方程x2－2ax＋a＋2＝0，
有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，
①当Δ<0时，－1②当Δ＝0时，a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，M＝{－1}?[1,4]，不满足题意；
当a＝2时，M＝{2}?[1,4]，满足题意．
③当Δ>0时，a<－1或a>2.
设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1那么M＝[x1，x2]，M?[1,4]?1≤x1?即
解得2综上可知，当M?[1,4]时，a的取值范围是.
题型三　一元二次不等式的解法
例3　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．
解　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
当a<0时，aa2}；
当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}；
当0a}；
当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；
当a>1时，aa2}；
综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}．
反思感悟　对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．
跟踪训练3　已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.
解　(1)若a＝0，则原不等式为－2x<0，故解集为{x|x>0}．
(2)若a>0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即0∴当0②当Δ＝0，即a＝1时，原不等式的解集为?.
③当Δ<0，即a>1时，原不等式的解集为?.
(3)若a<0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即－1②当Δ＝0，即a＝－1时，原不等式化为(x＋1)2>0，
∴当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}．
③当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R.
综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为?；
当0当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>0}；
当－1当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}；
当a<－1时，原不等式的解集为R.
题型四　线性规划问题
例4　已知变量x，y满足约束条件求z＝2x＋y的最大值和最小值．
解　如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域．
设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小．
上下平移直线l0，可得当l0过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；当l0过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.
反思感悟　(1)因为最优解与可行域的边界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确．
(2)线性目标函数的最值与纵截距不一定是增函数关系，所以要关注纵截距越大，z越大还是越小．
跟踪训练4　某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．
解　设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，
由题意可得
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，
作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
在一组平行直线3x＋2y＝z中，
经过可行域内的点A时，z取得最小值，
直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点为A(2,1)，
即最优解为(2,1)．
所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小.
1．(2018·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?RA等于(　　)
A．{x|－1B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<－1}∪{x|x>2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
答案　B
解析　方法一　A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.
方法二　因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以?RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.
2．已知实数x，y满足条件若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为(　　)
A．1B．C．－D．－1
答案　A
解析　作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，
由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.
3．若不等式ax2＋bx－2>0的解集为，则a＋b等于(　　)
A．－18B．8C．－13D．1
答案　C
解析　∵－2和－是方程ax2＋bx－2＝0的两根．
∴
∴∴a＋b＝－13.
4．若不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是__________．
答案　(－2,2]
解析　不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0，当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意；当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需
解得－25．已知f(x)＝32x－k·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正，则k的取值范围为________．
答案　(－∞，2)
解析　f(x)＝(3x)2－k·3x＋2＞0，
∴k＜＝3x＋，3x＋≥2＝2，
当且仅当3x＝时，等号成立．∴k＜2.
1．不等式的基本性质
不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的性质．
2．一元二次不等式的求解方法
对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a≠0)的解集．
3．二元一次不等式表示的平面区域的判定
对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．
4．求目标函数最优解的方法
通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点(或边界)，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．
5．运用均值不等式求最值时把握三个条件
①“一正”——各项为正数；
②“二定”——“和”或“积”为定值；
③“三相等”——等号一定能取到．
这三个条件缺一不可．