2020版高中数学新人教B版必修5第一章解三角形1.1.1正弦定理学案（含解析）

1.1.1　正弦定理
学习目标　1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．
知识点一　正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
即：＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆的半径)
知识点二　正弦定理的变形公式
(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝(其中R是△ABC外接圆的半径)．
知识点三　解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
1．正弦定理对任意的三角形都成立．(　√　)
2．在△ABC中，等式bsinC＝csinB总能成立．(　√　)
3．在△ABC中，已知a，b，A，则能求出唯一的角B.(　×　)
4．任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(　×　)

题型一　已知两角及一边解三角形
例1　在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，解三角形．
解　根据正弦定理，得b＝＝＝10.
又C＝180°－(30°＋60°)＝90°.
∴c＝＝＝20.
反思感悟　(1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．
跟踪训练1　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝45°，C＝60°，c＝1，则△ABC最短边的边长等于(　　)
A.B.C.D.
答案　A
解析　由三角形内角和定理，得A＝180°－(B＋C)＝75°，所以B是最小角，b为最短边．由正弦定理，得＝，即＝，则b＝，故选A.
题型二　已知两边及其中一边的对角解三角形
例2　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形．
解　∵＝，∴sinC＝＝＝，
∵c>a，C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
引申探究
若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？
解　∵＝，∴sin A＝＝＝.
∵c＝>2＝a，∴C>A.
∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个．
反思感悟　这一类型题目的解题步骤为
①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；
②用三角形内角和定理求出第三个角；
③根据正弦定理求出第三条边．
其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值．
跟踪训练2　在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30°，则C＝.
答案　105°或15°
解析　由正弦定理＝，
得sinB＝＝＝.
∵B∈(0°，180°)，∴B＝45°或135°，
∴C＝180°－45°－30°＝105°或C＝180°－135°－30°＝15°.
题型三　正弦定理的证明
例3　△ABC的外接圆O的半径为R，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，证明：＝＝＝2R.
证明　①若∠A为直角(如图1所示)，在Rt△BAC中，可直接得a＝2RsinA；
②在锐角△ABC中，如图2，连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，
则圆周角A′＝A.
∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，
∴sinA′＝＝，
∴sinA＝，a＝2RsinA.
③若∠A为钝角(如图3所示)，作直径BA′，连接A′C，则∠A′＝π－∠A，在Rt△BCA′中，
BC＝A′BsinA′＝2Rsin(π－A)＝2RsinA，
即a＝2RsinA.
由①②③得a＝2RsinA，即2R＝，
同理可证，2R＝，2R＝.
所以＝＝＝2R.
反思感悟　引入三角形的外接圆半径，可以加深理解正弦定理的几何意义，更加方便实现三角形中的边角互化．
三角形形状的判断
典例　在△ABC中，已知＝，且sin2A＋sin2B＝sin2C.
求证：△ABC为等腰直角三角形．
证明　∵＝，
∴＝，
又∵＝，
∴＝，
∴a2＝b2即a＝b，
设＝＝＝k(k≠0)，
则sin A＝，sin B＝，sin C＝，
又∵sin2A＋sin2B＝sin2C，
∴＋＝，即a2＋b2＝c2，
∴△ABC为等腰直角三角形．
[素养评析]　(1)正弦定理是以比例的形式给出来的，所以在应用时要注意结合比例的基本性质．
(2)正弦定理可以实现边角互化．
(3)判断和证明要掌握推理的基本形式和规则，形成重论据、有条理、合逻辑的思维品质，突出体现逻辑推理的数学核心素养.
1.在△ABC中，一定成立的等式是(　　)
A．asinA＝bsinB B．acosA＝bcosB
C．asinB＝bsinA D．acosB＝bcosA
答案　C
解析　由正弦定理＝，得asinB＝bsinA，故选C.
2．在△ABC中，若sinA＝sinC，则△ABC是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
答案　B
解析　由sinA＝sinC及正弦定理，知a＝c，
∴△ABC为等腰三角形．
3．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于(　　)
A．4 B．4
C．4 D．4
答案　C
解析　易知A＝45°，由＝得
b＝＝＝4.
4．在△ABC中，若a＝，b＝，B＝，则A＝.
答案　或
解析　由正弦定理，得sinA＝＝＝，
又A∈(0，π)，a>b，∴A>B，∴A＝或.
5．在△ABC中，已知a＝，sinC＝2sinA，则c＝.
答案　2
解析　由正弦定理，得c＝＝2a＝2.
1.正弦定理的表示形式：＝＝＝2R，
或a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(其中R为△ABC外接圆的半径)．
2.正弦定理的应用范围
(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．
3.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角．
(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论.
一、选择题
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sinA∶sinB的值是(　　)
A.B.C.D.
答案　A
解析　根据正弦定理，得＝＝.
2．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于(　　)
A．1B．2C.D.
答案　B
解析　∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.
由正弦定理，得c＝＝＝2.
3．在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案　B
解析　由题意可知＝b＝，则sinB＝1，
又B∈(0，π)，故B为直角，△ABC是直角三角形．
4．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　)
A．30°B．45°C．60°D．90°
答案　B
解析　由正弦定理知＝，
∴＝，∴cosC＝sinC，∴tanC＝1，
又∵C∈(0°，180°)，∴C＝45°.
5．在△ABC中，若sinA>sinB，则A与B的大小关系为(　　)
A．A>B
B．AC．A≥B
D．A，B的大小关系不确定
答案　A
解析　设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵sinA>sinB，
∴2RsinA>2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)，
即a>b，故A>B.
6．在△ABC中，已知A＝，a＝，b＝1，则c的值为(　　)
A．1B．2C.－1D.
答案　B
解析　由正弦定理＝，
可得＝，∴sinB＝，
由a>b，得A>B，∴B∈，∴B＝.
故C＝，由勾股定理得c＝2.
7．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB等于(　　)
A．－B.C．－D.
答案　D
解析　由正弦定理，得＝，
∴sinB＝＝＝.
∵a>b，∴A>B，又∵A＝60°，∴B为锐角．
∴cosB＝＝＝.
8．(2018·北京高二检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC等于(　　)
A. B.－
C.± D.
答案　A
解析　因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，所以8sin B＝5sin C＝5sin 2B＝10sin Bcos B，所以cos B＝，又B为三角形内角，所以sin B＝＝.
所以sinC＝sin2B＝2××＝.
又cosB＞cos45°，所以B<45°，C＝2B<90°，
cosC＝＝.
二、填空题
9．在△ABC中，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的外接圆的直径为．
答案　
解析　△ABC外接圆直径2R＝＝＝.
10．在△ABC中，若－＝0，则△ABC的形状一定是三角形．
答案　等腰
解析　由正弦定理，＝，
得－＝－＝0，
∴a2＝b2，a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为．
答案　(，2)
解析　在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理可得＝，得c＝.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c>b>csinB，即2>b>，故答案为(，2)．
三、解答题
12．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
解　∵＝，
∴a＝＝＝10.
B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
又∵＝，
∴b＝＝＝20sin 75°
＝20×＝5(＋)．
13．在△ABC中，acos＝bcos，试判断△ABC的形状．
解　方法一　∵acos＝bcos，
∴asinA＝bsinB.
由正弦定理，可得a·＝b·，
∴a2＝b2，∴a＝b，
∴△ABC为等腰三角形．
方法二　∵acos＝bcos，
∴asinA＝bsinB.
由正弦定理，可得2Rsin2A＝2Rsin2B，
又∵A，B∈(0，π)，
∴sinA＝sinB，
∴A＝B(A＋B＝π不合题意，舍去)．
故△ABC为等腰三角形．
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝.
答案　
解析　在△ABC中，由cosA＝，cosC＝，可得sinA＝，sinC＝，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosA·sinC＝，又a＝1，由正弦定理得b＝＝.
15．在△ABC中，若b＝5，B＝，tanA＝2，则sinA＝，a＝.
答案　　2
解析　由tanA＝2，得sinA＝2cosA，
由sin2A＋cos2A＝1及0∵b＝5，B＝，由正弦定理＝，
得a＝＝＝2.