2020版高中数学新人教B版必修5第一章解三角形章末复习学案（含解析）

第一章 解三角形章末复习
学习目标　1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.掌握解三角形的基本类型，并能在几何计算、测量应用中灵活分解组合.3.能解决三角形与三角变换、平面向量的综合问题．
1．正弦定理及其推论
设△ABC的外接圆半径为R，则
(1)＝＝＝2R.
(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝.
(4)在△ABC中，A>B?a>b?sinA>sinB.
2．余弦定理及其推论
(1)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.
(2)cosA＝；cosB＝；cosC＝.
(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为直角；c2>a2＋b2?C为钝角；c23．三角形面积公式
(1)S＝aha＝bhb＝chc；
(2)S＝absinC＝bcsinA＝casinB.
4．应用举例
(1)测量距离问题；
(2)测量高度问题；
(3)测量角度问题.
题型一　利用正弦、余弦定理解三角形
例1　(1)若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC＝.
答案　7
解析　由题意知×5×8×sin A＝10，即sin A＝，
又△ABC为锐角三角形，所以A＝60°，cos A＝，
所以BC＝＝7.
(2)已知△ABC中，若cosB＝，C＝，BC＝2，则△ABC的面积为．
答案　
反思感悟　利用正弦、余弦定理寻求三角形各元素之间的关系来解决三角形及其面积问题．
跟踪训练1　(1)在△ABC中，∠A＝45°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为(　　)
A.B.C.D．2
答案　B
(2)已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　)
A．75°B．60°C．45°D．30°
答案　D
解析　S＝BC·AC·sin C＝×4×3×sin C＝3，
∴sin C＝，∵三角形为锐角三角形．
∴C＝30°.
题型二　几何计算
例2　如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，E在AC上，若BE⊥AC，则ED＝.
答案　
解析　在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝，
所以∠BAC＝60°.
因为BE⊥AC，AB＝，所以AE＝.
在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，
由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝＋9－2××3×＝，
故ED＝.
反思感悟　正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．
跟踪训练2　在△ABC中，∠B＝120°，AB＝，∠A的平分线AD＝，则AC等于(　　)
A．1B．2C.D．2
答案　C
解析　如图，在△ABD中，由正弦定理，得＝，
∴sin∠ADB＝.
由题意知0°<∠ADB<60°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.
∴∠BAC＝30°，∠C＝30°，BC＝AB＝.
在△ABC中，由正弦定理，
得＝，
∴AC＝.
题型三　实际应用
例3　如图，已知在东西走向上有AM，BN两个发射塔，且AM＝100m，BN＝200m，一测量车在塔底M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经计算，tanθ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．
解　在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100 m，
所以PM＝100 m，连接QM，
在△PQM中，∠QPM＝60°，
又PQ＝100 m，
所以△PQM为等边三角形，
所以QM＝100 m.
在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200 m.
在Rt△BNQ中，因为tan θ＝2，BN＝200 m，
所以BQ＝100 m，cos θ＝.
在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ，
所以BA＝100 m.
故两发射塔顶A，B之间的距离是100 m.
反思感悟　实际应用问题的解决过程实质上就是抽象成几何计算模型，在此过程中注意术语如“北偏西60°”、“仰角”的准确翻译，并转换为解三角形所需边、角元素．
跟踪训练3　如图，从无人机A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时无人机的高是60m，则河流的宽度BC等于(　　)
A．240(－1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m
答案　C
解析　如图，在△ADC中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，
所以CD＝AD·tan60°＝60(m)．
在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，
所以BD＝AD·tan15°＝60(2－)(m)．
所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)
＝120(－1)(m)．故选C.
题型四　三角形中的综合问题
例4　a，b，c分别是锐角△ABC的内角A，B，C的对边，向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p∥q，已知a＝，△ABC的面积为，求b，c的大小．
解　p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)，q＝(sin A－cos A,1＋sin A)，
又p∥q，∴(2－2sin A)(1＋sin A)－(cos A＋sin A)·(sin A－cos A)＝0，
即4sin2A－3＝0，
又∠A为锐角，则sin A＝，∠A＝60°，
∵△ABC的面积为，∴bcsin A＝，即bc＝6，①
又a＝，∴7＝b2＋c2－2bccos A，∴b2＋c2＝13，②
①②联立解得或
反思感悟　解三角形综合问题的方法
(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解．
(2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．
跟踪训练4　在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin2－cos2A＝.
(1)求A的度数；
(2)若a＝，b＋c＝3，求b和c的值．
解　(1)由4sin2－cos2A＝及A＋B＋C＝180°，
得2[1－cos(B＋C)]－2cos2A＋1＝，
4(1＋cosA)－4cos2A＝5，
即4cos2A－4cosA＋1＝0，
∴(2cosA－1)2＝0，解得cosA＝.
∵0°(2)由余弦定理，得cosA＝.
∵cosA＝，∴＝，
化简并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc，
将a＝，b＋c＝3代入上式，得bc＝2.
则由解得或
1．若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则角A的对边长为(　　)
A．5B．6C．7D．8
答案　C
解析　设角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵a＋b＋c＝20，
∴b＋c＝20－a，
即b2＋c2＋2bc＝400＋a2－40a，
∴b2＋c2－a2＝400－40a－2bc，①
又cosA＝＝，∴b2＋c2－a2＝bc.②
又S△ABC＝bcsinA＝10，∴bc＝40.③
由①②③可知a＝7.
2．在△ABC中，已知cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝.
答案　
解析　在△ABC中，∵cos A＝>0，∴sin A＝.
∵cos B＝>0，∴sin B＝.
∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝.
由正弦定理知＝，∴c＝＝＝.
3．在△ABC中，cos＝，判断△ABC的形状．
解　由已知得cos2＝，
∴2cos2－1＝cosB，∴cosA＝cosB，
又0∴△ABC为等腰三角形．
4．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sin的值．
解　(1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B.
由正、余弦定理得a＝2b·.
因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.
(2)由余弦定理得cos A＝＝＝－.
由于0故sin＝sin Acos＋cos Asin＝×＋×＝.