2020版高中数学新人教B版必修5第一章解三角形专题突破一三角形中的隐含条件学案（含解析）

专题突破一　三角形中的隐含条件
解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点．由于公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够．下面结合例子谈谈在解三角形时，题目中隐含条件的挖掘．
隐含条件1.两边之和大于第三边
例1　已知钝角三角形的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范围．
解　设角A，B，C的对边分别为a，b，c.
∵c>b>a，且△ABC为钝角三角形，∴C为钝角．
由余弦定理得cosC＝＝<0.
∴k2－4k－12<0，解得－2由两边之和大于第三边得k＋(k＋2)>k＋4，∴k>2，
综上所述，k的取值范围为2反思感悟　虽然是任意两边之和大于第三边，但实际应用时通常不用都写上，只需最小两边之和大于最大边就可以．
跟踪训练1　在△ABC中，AB＝6，AC＝8，第三边上的中线AD＝x，则x的取值范围是______．
答案　(1,7)
解析　以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，则BE＝AC＝8.AE＝2x.
由解得1＜x＜7.
∴x的取值范围是(1,7)．
隐含条件2.三角形的内角范围
例2　已知△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是________．
答案　2或
解析　由正弦定理，得sinC＝＝.
∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，A＝90°，
则S△ABC＝AB·AC·sinA＝2；
当C＝120°时，A＝30°，
则S△ABC＝AB·AC·sinA＝.
∴△ABC的面积是2或.
反思感悟　利用正弦定理解决“已知两边及其中一边对角，求另一角”问题时，由于三角形内角的正弦值都为正的，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准确出错．
跟踪训练2　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，则B＝________.
答案　或π
解析　由正弦定理，得sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB.
∵0＜B＜π，∴sinB≠0.
∴sinAcosC＋cosAsinC＝，
sin(A＋C)＝，sin(π－B)＝.sinB＝.
又B∈(0，π)，∴B＝或B＝π.
例3　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.＝，试判断三角形的形状．
解　由＝和正弦定理，得＝，
又A，B∈(0，π)，
∴＝，即sinAcosA＝sinBcosB，
即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π.
∴A＝B或A＋B＝.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
反思感悟　在△ABC中，sin A＝sin B?A＝B是成立的，但sin 2A＝sin 2B?2A＝2B或2A＋2B＝180°.
跟踪训练3　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c－a＝2acos B，则B－2A＝____.
答案　0
解析　由正弦定理，得sinC－sinA＝2sinAcosB.
∵A＋B＋C＝π，∴C＝π－(A＋B)，
∴sinC－sinA＝sin(A＋B)－sinA
＝sinAcosB＋cosAsinB－sinA
＝2sinAcosB，
∴sinBcosA－cosBsinA＝sinA，sin(B－A)＝sinA.
∵A，B∈(0，π)．∴B－A＝A或B－A＝π－A(舍)．
∴B－2A＝0.
例4　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.B＝3A，求的取值范围．
解　由正弦定理得＝＝
＝＝
＝cos2A＋2cos2A＝4cos2A－1.
∵A＋B＋C＝180°，B＝3A，∴A＋B＝4A<180°，
∴0°∴1<4cos2A－1<3，∴1<<3.
反思感悟　解三角形问题，角的取值范围至关重要．一些问题，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败．
跟踪训练4　若在锐角△ABC中，B＝2A，则A的取值范围是________．
答案　
解析　由△ABC为锐角三角形，
得
解得＜A＜.
例5　设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsinA.
(1)求B的大小；
(2)求cosA＋sinC的取值范围．
解　(1)由正弦定理及a＝2bsinA得，
＝＝2b，sinB＝，
又∵B∈，∴B＝.
(2)由△ABC为锐角三角形，得
解得＜A＜，
cosA＋sinC＝cosA＋sin＝sin，
∵＜A＋＜.∴＜sin＜，
∴＜sin＜.
∴cosA＋sinC的取值范围为.
反思感悟　事实上，锐角三角形三个内角均为锐角对角A的范围都有影响，故C＝π－A－B＝π－A∈.由此得A∈.
跟踪训练5　锐角△ABC中，B＝60°，b＝，求△ABC面积S的取值范围．
解　由正弦定理，a＝sin A＝sin A＝2sin A.
同理c＝2sin C，
∴S＝acsin B＝·2sin A·2sin C·sin 60°
＝sin Asin C，
∵A＋B＋C＝π，∴C＝π－A－B＝－A.
又∵A，C为锐角，∴0<－A<，∴S＝sin Asin＝sin A＝sin Acos A＋sin2A＝sin 2A＋·＝sin＋，
∵∴∴<sin＋≤.
即S的取值范围为.
1．在△ABC中，必有(　　)
A．sinA＋sinB＜0 B．sinA＋cosB＜0
C．sinA＋cosB＞0 D．cosA＋cosB＞0
答案　D
解析　在△ABC中，A＋B＜π，0＜A＜π－B＜π.
∴cosA＞cos(π－B)＝－cosB.
∴cosA＋cosB＞0.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cA．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
答案　A
解析　由已知得sinC∴sin(A＋B)∴sinA·cosB＋cosA·sinB又sinA>0，∴cosB<0，∴B为钝角，
故△ABC为钝角三角形．
3．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，则cosC＝________.
答案　
解析　若A为钝角，由sinA＝＜，知A＞.
又由cosB＝＜.知B＞.
从而A＋B＞π.与A＋B＋C＝π矛盾．
∴A为锐角，cosA＝.
由cosB＝，得sinB＝.
∴cosC＝－cos(A＋B)
＝－(cosAcosB－sinAsinB)
＝－＝.
4．在△ABC中，C＝120°，c＝a，则a与b的大小关系是a________b.
答案　＞
解析　方法一　由余弦定理cosC＝，
得cos120°＝，
整理得a2＝b2＋ab＞b2，∴a＞b.
方法二　由正弦定理＝，得＝，
整理得sin A＝＞＝sin 30°.
∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴A＞30°，B＜30°，∴a＞b.
5．在△ABC中，若b2＝ac，则的取值范围是________．
答案　
解析　设＝q，则由b2＝ac，得＝＝q.
∴b＝aq，c＝aq2.
由得
解得＜q＜.
6．在钝角△ABC中，2B＝A＋C，C为钝角，＝m，则m的取值范围是________．
答案　(2，＋∞)
解析　由A＋B＋C＝3B＝π，知B＝.
又C＞，∴0＜A＜，∴∈(，＋∞)．
＝＝＝
＝＋＞＋·＝2，
∴m∈(2，＋∞)．
7．在△ABC中，若c＝，C＝，求a－b的取值范围．
解　∵C＝，∴A＋B＝π，
∴外接圆直径2R＝＝＝2.
∴a－b＝2Rsin A－·2Rsin B＝2sin A－sin B
＝2sin A－sin＝sin.
∵0＜A＜π，∴－＜A－＜，
∴－＜sin＜1.－1＜sin＜.
即a－b∈(－1，)．
一、选择题
1．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为(　　)
A．90°B．120°C．135°D．150°
答案　B
解析　设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝，∵θ∈(0°，180°)，
∴θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.
2．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C等于(　　)
A.或 B.
C. D.
答案　C
解析　由＝，得sin C＝.
∵BC＝3，AB＝，∴A>C，则C为锐角，故C＝.
3．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cosB等于(　　)
A．± B.
C．－ D.
答案　A
解析　因为＝，所以＝，
解得sin B＝.
因为b>a，所以B>A，故B有两解，所以cos B＝±.
4．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，0)
C. D.
答案　D
解析　由正弦定理得a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m>0)，
∵即∴k>.
5．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2，∵sin α＝，∴α＝120°.
由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，
即a2＝5a，故a＝5，
故三边长为3，5，7，S△ABC＝×3×5×sin 120°＝.
6．△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lg且B∈，则△ABC的形状是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
答案　C
解析　∵lg a－lg c＝lg sin B＝－lg ，
∴＝sin B，sin B＝.
∵B∈，∴B＝.
∴＝＝，∴sin C＝sin A＝sin＝，∴cos C＝0，∵C∈(0，π)，C＝.
∴A＝π－B－C＝.∴△ABC是等腰直角三角形．故选C.
7．(2017·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　因为a＝2，c＝，
所以由正弦定理可知，＝，
故sin A＝sin C.
又B＝π－(A＋C)，
故sin B＋sin A(sin C－cos C)
＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sinAcos C
＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C
＝(sin A＋cos A)sin C＝0.
又C为△ABC的内角，故sin C≠0，
则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.
又A∈(0，π)，所以A＝.
从而sin C＝sin A＝×＝.
由A＝知，C为锐角，故C＝.故选B.
二、填空题
8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.
答案　1
解析　因为sinB＝且B∈(0，π)，所以B＝或.
又因为C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.
又因为a＝，由正弦定理得＝，
即＝，解得b＝1.
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
答案　
解析　∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
∴由正弦定理得
sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.
又sin Bsin C＞0，∴sin A＝.
由余弦定理得cos A＝＝＝＞0，
∴cos A＝，bc＝＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝××＝.
10．若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝________；的取值范围是________．
答案　　(2，＋∞)
解析　由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accos B.
∵S＝(a2＋c2－b2)，∴acsin B＝×2accos B，
∴tan B＝，又B∈(0，π)，∴B＝.
又∵C为钝角，∴C＝－A＞，∴0＜A＜.
由正弦定理得＝
＝＝＋·.
∵0＜tan A＜，∴＞，
∴＞＋×＝2，即＞2.
∴的取值范围是(2，＋∞)．
三、解答题
11．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，c＝，求△ABC周长的取值范围．
解　由正弦定理得＝＝＝2，
∴a＝2sin A，b＝2sin B，
则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2(sin A＋sin B)＋＝2＋
＝2＋
＝2＋
＝2sin ＋.
∵0∴∴2<2sin＋≤2＋，
∴△ABC周长的取值范围是(2，2＋]．
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得
bsin A＝asin B.
又由bsin A＝acos，得asin B＝acos，
即sin B＝cos，所以tan B＝.
又因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝ .
因为a＜c，所以cos A＝ .
因此sin 2A＝2sin Acos A＝，
cos 2A＝2cos2A－1＝.
所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B
＝×－×＝.
13.(2018·河北省衡水中学调研)如图，在△ABC中，B＝，D为边BC上的点，E为AD上的点，且AE＝8，AC＝4，∠CED＝.
(1)求CE的长；
(2)若CD＝5，求cos∠DAB的值．
解　(1)由题意可得∠AEC＝π－＝，
在△AEC中，由余弦定理得
AC2＝AE2＋CE2－2AE·CEcos∠AEC，
所以160＝64＋CE2＋8CE，
整理得CE2＋8CE－96＝0，解得CE＝4.
故CE的长为4.
(2)在△CDE中，由正弦定理得＝，
即＝，
所以5sin∠CDE＝4sin ＝4×＝4，
所以sin∠CDE＝.
因为点D在边BC上，所以∠CDE>B＝，
而<，所以∠CDE只能为钝角，
所以cos∠CDE＝－，
所以cos∠DAB＝cos＝cos∠CDEcos＋sin∠CDEsin＝－×＋×＝.
14．(2018·福建省三明市第一中学月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝，则角C等于(　　)
A. B.或
C. D.
答案　D
解析　在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝，即＝，
∴b2＋c2－a2＝bc，又b2＝a2＋bc，
∴c2＋bc＝bc，∴c＝(－1)b∴cos C＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝，故选D.
15．锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C，若a＝，则b2＋c2的取值范围是(　　)
A．(3,6] B．(3,5)
C．(5,6] D．[5,6]
答案　C
解析　因为(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C，由正弦定理得(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，
即b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝＝，
∵A∈，∴A＝，∴B＋C＝，
又△ABC为锐角三角形，∴
∴得b＝2sin B，c＝2sin C，∴b2＋c2＝4＝4＝4－2cos，又