阶段训练一
(范围：§1.1～§1.2)
一、选择题
1．在△ABC中，已知b＝3，c＝3，A＝30°，则角C等于( )
A．30°B．60°或120°C．60°D．120°
答案 D
解析 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即a＝3，根据正弦定理有＝，
故sinC＝，故C＝60°或120°.若C＝60°，
则B＝90°＞C，而b
故C＝120°.
2．已知a，b，c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则C的大小为( )
A．60°B．90°C．120°D．150°
答案 C
解析 ∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，
∴a2＋b2－c2＝－ab，即＝－，
∴cosC＝－，∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.
3．为了测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB的高为( )
A．20mB．20mC．20(1＋)m D．30m
答案 A
解析 塔的高度为20tan30°＋20tan45°＝20(m)．
4．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 由p∥q，得(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即c2－a2－b2＋ab＝0，即＝＝cosC，
又C∈(0，π)，所以C＝.
5．在△ABC中，sinA＝，则△ABC为( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
答案 C
解析 由已知得cosB＋cosC＝，
由正弦、余弦定理得＋＝，
即a2(b＋c)－(b＋c)(b2－bc＋c2)＝bc(b＋c)，
即a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形．
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A等于( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 ∵b＝c，∴B＝C，
又B＝π－(A＋C)，∴2B＝π－A.
由正弦定理，得sin2A＝2sin2B(1－sinA)，
sin2A＝(1－cos2B)(1－sinA)，
∴sin2A＝[1－cos(π－A)](1－sinA)
＝(1＋cosA)(1－sinA)，
1－cos2A＝(1＋cosA)(1－sinA)，
∵A∈(0，π)，∴1＋cosA≠0，
∴1－cosA＝1－sinA，
∴sinA＝cosA，A＝.
7．(2018·银川模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cosC，则c等于( )
A．2B．4C．2D．3
答案 C
解析 ∵＝2cosC，
由正弦定理，
得sinAcosB＋cosAsinB＝2sinCcosC，
∴sin(A＋B)＝sinC＝2sinCcosC，
由于0∵S△ABC＝2＝absinC＝ab，∴ab＝8，
又a＋b＝6，解得或
c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋16－8＝12，
∴c＝2.
二、填空题
8．(2018·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________.
答案 3
解析 如图，
由正弦定理＝，
得sinB＝·sinA＝×＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cosA，
得7＝4＋c2－4c×cos60°，
即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．
9．已知在△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cosC的值为________．
答案
解析 由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，
得c2＝a2＋b2－ab.
根据余弦定理得cos C＝
＝＝，
所以cos C＝.
10．在△ABC中，sinA＝，a＝10，则边长c的取值范围是________．
答案
解析 ∵＝＝，∴c＝sin C，∴011．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为________km.
答案 －1
解析 由题意知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，
AC＝2km，AB＝3km，
设B船到灯塔C的距离为xkm，即BC＝xkm.
由余弦定理可知AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB，
即9＝4＋x2－2×2x×，
整理得x2＋2x－5＝0，
解得x＝－1－(舍去)或x＝－1＋.
三、解答题
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
3cos(B－C)－1＝6cosBcosC.
(1)求cosA；
(2)若a＝3，△ABC的面积为2，求b，c.
解 (1)∵3(cosBcosC＋sinBsinC)－1＝6cosBcosC，
∴3cosBcosC－3sinBsinC＝－1，
∴3cos(B＋C)＝－1，∴cos(π－A)＝－，
∴cosA＝.
(2)由(1)得sinA＝，
由面积公式bcsinA＝2，得bc＝6，①
根据余弦定理，得
cosA＝＝＝，
则b2＋c2＝13，②
①②两式联立可得b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b.
(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．
解 (1)由余弦定理及已知条件得
a2＋b2－ab＝4， ①
又S△ABC＝absin C＝ab＝，
得ab＝4， ②
①②联立解得a＝2，b＝2.
(2)由题设得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin 2A，
即sin Bcos A＝2sin Acos A，
当cos A＝0时，A＝，B＝，
根据正弦定理，得a＝，b＝，
此时S△ABC＝absin C＝，
当cos A≠0时，sin B＝2sin A，
由正弦定理得，b＝2a， ③
联立①③解得a＝，b＝，
则S△ABC＝absin C＝.
综上可得S△ABC＝.
14．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若D为BC的中点，·＝，则B＝________.
答案 30°
解析 ∵D为BC的中点，∴＝(＋)．
又＝－，∴·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝(b2－c2)，
∴(b2－c2)＝，∴b2＝a2＋c2－ac.
∴由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB知，cosB＝，
又0°15．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sin Asin B.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝，求△ABC周长的取值范围．
解 (1)由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sinAsinB，
即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sinAsinB，
由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，
由余弦定理得cosC＝＝＝－，
又0(2)∵＝＝＝＝2，
∴a＝2sinA，b＝2sinB，
则△ABC的周长L＝a＋b＋c＝2(sinA＋sinB)＋＝2＋
＝2sin＋.
∵0∴∴2<2sin＋≤2＋，
∴△ABC周长的取值范围是(2，2＋]．
阶段训练五
(范围：§3.1～§3.5)
一、选择题
1．(2018·北京)设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则( )
A．对任意实数a，(2,1)∈A
B．对任意实数a，(2,1)?A
C．当且仅当a<0时，(2,1)?A
D．当且仅当a≤时，(2,1)?A
答案 D
解析 若(2,1)∈A，则解得a>，所以当且仅当a≤时，(2,1)?A，故选D.
2．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．4B.C．2D.
答案 A
解析 由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅且a＝b＝1时取等号．
3．不等式－3x2＋7x－2<0的解集为( )
A． B．
C． D．{x|x＞2}
答案 B
解析 不等式－3x2＋7x－2<0可化为3x2－7x＋2＞0，方程3x2－7x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝2，则不等式3x2－7x＋2＞0的解集是，故选B.
4．不等式≤2的解集是( )
A．{x|x<－8或x>－3} B．{x|x≤－8或x>－3}
C．{x|－3≤x≤2} D．{x|－3答案 B
解析 原不等式可化为－2≤0，即≤0，即(x＋3)(x＋8)≥0且x≠－3，解得x≤－8或x>－3.
5．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )
A．8 B．7
C．6 D．5
答案 C
解析 ∵2a＋b＝6·(2a＋b)
＝6≥6×(5＋4)＝54(当且仅当a＝b时，取等号)．
∴9m≤54，即m≤6.
6．已知a>0，b>0且a2＋＝1，则a的最大值为( )
A．B．C．D．
答案 C
解析 ∵·≤＝＝＝，当且仅当＝时等号成立，∴a≤，故a的最大值为.
7．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为4，则ab的取值范围是( )
A．(0,4)B．(0,4]C．[4，＋∞)D．(4，＋∞)
答案 B
解析 作出不等式组表示的区域如图中阴影部分(含边界)所示，
由图可知，当目标函数的图象z＝ax＋by(a>0，b>0)过点A(1,1)时，z取最大值，∴a＋b＝4，∴ab≤2＝4(当且仅当a＝b＝2时取等号)，又∵a>0，b>0，∴ab∈(0,4]，故选B.
二、填空题
8．已知x，y∈(0，＋∞)，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
答案 3
解析 因为x>0，y>0，＋＝1，
所以＋≥2＝(当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号)，
即≤1，解得xy≤3，
所以xy的最大值为3.
9．若关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是________．
答案 [25，＋∞)
解析 令f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7.
∵方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，
∴由二次函数图象得
解得
∴m的取值范围是[25，＋∞)．
10．一段长为40m的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是________m2.
答案 100
解析 设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x＋y)＝40，即x＋y＝20，∴矩形的面积S＝xy≤2＝100，当且仅当x＝y＝10时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大面积是100 m2.
11．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈都成立，则a的最小值为________．
答案 －
解析 因为对一切x∈，不等式x2＋ax＋1≥0都成立，
所以ax≥－x2－1，即a≥－x－.
设g(x)＝－x－，只需a≥g(x)max，
而g(x)＝－x－在x∈上是增函数，
所以g(x)＝－x－的最大值是g＝－.
三、解答题
12．正数x，y满足＋＝1.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值．
解 (1)由1＝＋≥2，得xy≥36，当且仅当＝，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.
(2)由题意，可得x＋2y＝(x＋2y)＝19＋＋≥19＋2＝19＋6，当且仅当＝，
即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6.
13．已知不等式mx2－mx－1<0.
(1)若当x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；
②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0恒成立等价于解得－4综上可知，实数m的取值范围是(－4,0]．
(2)令f(x)＝mx2－mx－1，
①当m＝0时，f(x)＝－1<0显然恒成立；
②当m>0时，若对于x∈[1,3]不等式恒成立，只需即可，
由解得m<，
所以0③当m<0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝，若当x∈[1,3]时不等式恒成立，结合函数图象知只需f(1)<0即可，解得m∈R，所以m<0符合题意．
综上所述，实数m的取值范围是.
14．第二届世界互联网大会在浙江省乌镇开幕后，某科技企业为抓住互联网带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x(x＞0)台，需另投入成本C(x)万元．若年产量不足80台，则C(x)＝x2＋40x；若年产量不小于80台，则C(x)＝101x＋－2180.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；
(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
解 (1)当0当x≥80时，y＝100x－－500＝1680－.
所以y＝
(2)当0当x＝60时，y取得最大值，最大值为1300.
当x≥80时，y＝1680－
≤1680－2＝1500，
当且仅当x＝，即x＝90时，y取得最大值，最大值为1500.
所以，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．
阶段训练四
(范围：§3.1～§3.2)
一、选择题
1．给定下列命题：
①a＞b?a2＞b2；②a2＞b2?a＞b；③a＞b?<1；④a＞b?<．
其中正确的命题个数是( )
A．0B．1C．2D．3
答案 A
解析 对于①②，只有当a＞b＞0时，a2＞b2才成立，故①②都错误；
对于③，只有当a＞0且a＞b时，<1才成立，故③错误；
当a＞0，b<0时，④错误．
2．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16B．25C．9D．36
答案 B
解析 (1＋x)(1＋y)≤2
＝2＝2＝25，当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时等号成立，所以(1＋x)(1＋y)的最大值为25，故选B.
3．已知a，b∈(0,1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是( )
A．MND．不确定
答案 C
解析 M－N＝ab－a－b＋1＝(1－a)(1－b)>0，
∴M>N.
4．若x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是( )
A．M＝N B．MC．M≤N D．M>N
答案 B
解析 ∵x>0，y>0，
∴x＋y＋1>1＋x>0，1＋x＋y>1＋y>0，
∴<，<，
故M＝＝＋<＋＝N，即M5．若a>b>c，则下列不等式成立的是( )
A．> B．<
C．ac>bc D．ac答案 B
解析 因为a>b>c，所以a－c>0，b－c>0，且a－c>b－c，所以<.
6．已知x>0，y>0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为( )
A．B．3C．D．1
答案 C
解析 因为x>0，y>0，2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)≤·2＝·2＝.
当且仅当2x＝3y＝3，即x＝，y＝1时等号成立，即xy的最大值为.
7．函数y＝(x＞1)在x＝t处取得最小值，则t等于( )
A．1＋ B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 ∵x－1>0，∴y＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．
二、填空题
8．已知函数f(x)＝ax＋b,0答案
解析 由函数的解析式可知0且2a－b＝(a＋b)－(－a＋b)，
结合不等式的性质可得，
2a－b∈.
9．在数列{an}中，若an＝，则an与an＋1的大小关系为________．
答案 an解析 ∵an＋1－an＝－
＝
＝>0，
∴an＋1>an.
10．已知0答案 2－2
解析 当0所以f(x)＝2＋log2x＋
＝2－≤2－2．
当且仅当－log2x＝，
即(log2x)2＝5，即x＝时，等号成立．
11．已知x>0，y>0，且＋＝1，若对任意x>0，y>0，x＋y>m2＋8m恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案 (－9,1)
解析 ∵x>0，y>0，且＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋＋4≥9(当且仅当x＝3，y＝6时取等号)，∴(x＋y)min＝9．又∵对任意x>0，y>0，x＋y>m2＋8m恒成立，∴m2＋8m<9，解得－912．一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．
答案 8
解析 设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则
t＝＝＋≥2＝8(小时)，
当且仅当＝，即v＝100时，等号成立，
所以这批货物全部运到B市，最快需要8小时．
三、解答题
13．已知a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明 ∵a，b，c>0，∴a2＋b2≥2ab，
∴＋b≥2a.同理＋c≥2b，＋a≥2c，
∴＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
∴＋＋≥a＋b＋c.当且仅当a＝b＝c时，取等号．
14．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是________．
答案 4＋7
解析 ∵log4(3a＋4b)＝log2＝log4(ab)，
∴3a＋4b＝ab，
∴＋＝1．
∴a＋b＝(a＋b)＝＋＋7≥4＋7．
当且仅当＝，即a＝2＋4，b＝3＋2时，取等号．
15．已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1．
求证：＋＋<＋＋．
证明 因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，
所以＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
以上三个不等式相加，得2≥2(＋＋)，
即＋＋≥＋＋．
因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都成立．
所以＋＋<＋＋．
阶段训练三
(范围：§2.1～§2.3)
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a4·a8＝2，a2＋a10＝3，则等于( )
A．2B.C．2或D．－2或－
答案 C
解析 设数列{an}的公比为q.由等比数列的性质可得a2·a10＝2，又a2＋a10＝3，所以a2＝1，a10＝2或a2＝2，a10＝1，所以q8＝2或q8＝，所以＝2或＝.
2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q等于( )
A．3B．4C．5D．6
答案 B
解析 3S3－3S2＝3a3＝a4－a3?a4＝4a3?q＝4.
3．(2018·全国Ⅰ)设Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于( )
A．－12B．－10C．10D．12
答案 B
解析 方法一 设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1.∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
方法二 设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋d＝d.∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 ∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，
∴设{an}的公比为q，则q>0，且a＝1，即a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，
即6q2－q－1＝0.
故q＝或q＝－(舍去)，∴a1＝＝4.
∴S5＝＝＝8＝.
5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
答案 B
解析 由题意可知，塔每一层的灯数由上至下构成等比数列．设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，
∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.
6．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于( )
A．16B．26C．30D．80
答案 C
解析 由题意得q>0且q≠1，因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列．
设S2n＝x(x>0)，则2，x－2,14－x成等比数列，(x－2)2＝2(14－x)，解得x＝6.
由S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，可得(6－2)×(S4n－14)＝(14－6)2，解得S4n＝30.
7．已知公差d不为零的等差数列{an}的首项，a1＝50，a7，a15，a17成等比数列，则使{an}的前n项和Sn取得最大值的n的值为( )
A．16B．17C．18D．19
答案 B
解析 由题意可知a＝a7a17，即(50＋14d)2＝(50＋6d)(50＋16d)，解得d＝－3或d＝0(舍去)，则Sn＝50n＋n(n－1)·(－3)＝＝－2＋，因为n为整数，所以当n＝17时，Sn取得最大值，故选B.
8．已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和．若S16>0，且S17<0，则当Sn最大时n的值为( )
A．8B．9C．10D．16
答案 A
解析 ∵S16＝＝8(a8＋a9)>0，∴a8＋a9>0，即a8>－a9.
∵S17＝＝17a9<0，∴a9<0，a8>－a9>0，则当n＝8时，Sn最大，故选A.
二、填空题
9．数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则它的通项公式是________________________．
答案 an＝
解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2，不符合上式，
∴an＝
10．已知等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则这个数列的前n项和最大时n＝________.
答案 15
解析 方法一 设数列{an}的公差为d，
∵S10＝S20，∴10×29＋d＝20×29＋d，
解得d＝－2，∴an＝－2n＋31，
设这个数列的前n项和最大，
则需即
∴14.5≤n≤15.5，∵n∈N＋，∴n＝15.
方法二 设数列{an}的公差为d，
∵S10＝S20，∴10×29＋d＝20×29＋d，
解得d＝－2.
等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋(a1－)n是关于n的不含常数项的二次函数，根据其图象的对称性，由S10＝S20，知n＝＝15是其对称轴，
由d＝－2知二次函数的图象开口向下，
故n＝15时Sn最大．
11．已知an＝2n，bn＝，则{bn}的前n项和Tn＝__________________.
答案
解析 ＝，
Tn＝
＝
＝.
三、解答题
12．(2018·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
解 (1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9(n∈N＋)．
(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
13．设数列{an}前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N＋.
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1)当n＝1时，T1＝2S1－1，
∵T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，求得a1＝1.
(2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1，
∴Sn＝2Sn－1＋2n－1，①
∴Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，②
②－①得an＋1＝2an＋2，
∴an＋1＋2＝2(an＋2)，求得a1＋2＝3，a2＋2＝6，
∴an＋2≠0.∴＝2(n≥2)．
又＝2，也满足上式，
∴{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．
∴an＋2＝3·2n-1，∴an＝3·2n-1－2，n∈N＋.
14．已知{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且＝，则数列{|log2an|}的前10项和为________．
答案 58
解析 根据题意＝＝q3，所以q＝，从而有an＝32·n-1＝27-2n，所以log2an＝7－2n，所以有|log2an|＝|2n－7|，所以数列的前10项和为5＋3＋1＋1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝＋＝58.
15．在等比数列{an}中，an>0 (n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当＋＋…＋最大时，求n的值．
解 (1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，
∴a＋2a3a5＋a＝25，
又an>0，∴a3＋a5＝5.
又a3与a5的等比中项为2，
∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，
∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.
∴q＝，a1＝16，∴an＝16×()n-1＝25-n.
(2)bn＝log2an＝5－n，
∴bn＋1－bn＝－1，
∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，
∴Sn＝，∴＝，
∴当n≤8时，>0；
当n＝9时，＝0；
当n>9时，<0.
∴当n＝8或9时，＋＋＋…＋最大．
阶段训练二
(范围：§2.1～§2.2)
一、选择题
1．600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的( )
A．第20项 B．第24项
C．第25项 D．第30项
答案 B
解析 由数列1×2，2×3，3×4，4×5，…可得通项公式为an＝n(n＋1)，n∈N＋，令n(n＋1)＝600，求得n＝24，故选B.
2．若数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2019等于( )
A.B．－1C．2D．3
答案 C
解析 ∵an＋1＝1－，∴a2＝1－＝1－2＝－1，a3＝1－＝1＋1＝2，a4＝1－＝，则数列{an}是周期为3的周期数列．
∵2019＝3×673，∴a2019＝a3＝2.
3．若x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是( )
A．a＝－b B．a＝3b
C．a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0
答案 C
解析 由等差中项的定义知x＝，x2＝，
∴＝2，即a2－2ab－3b2＝0，故a＝－b或a＝3b.
4．在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，n∈N＋，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于( )
A．2n+1－2 B．3n
C．2n D．3n－1
答案 C
解析 设数列{an}的公比为q，
则an＝2qn-1.
因数列{an＋1}也是等比数列，
则(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，
即a＋2an＋1＝an·an＋2＋an＋an＋2，
即an＋an＋2＝2an＋1，即an(1＋q2－2q)＝0，
即(q－1)2＝0，解得q＝1.
由a1＝2，得an＝2，所以Sn＝2n.
5．(2018·新乡模拟)已知等差数列{an}中，a1012＝3，S2017＝2017，则S2020等于( )
A．2020B．－2020C．－4040D．4040
答案 D
解析 由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得，
S2017＝×2017＝×2017＝2017a1009＝2017，
则a1009＝1，据此可得，
S2020＝×2020＝1010＝1010×4＝4040.
6．等差数列{an}中，已知a1＝－6，an＝0，公差d∈N＋，则n(n≥3)的最大值为( )
A．5B．6C．7D．8
答案 C
解析 由an＝a1＋(n－1)d，得－6＋(n－1)d＝0，n＝＋1，因为d∈N＋，所以当d＝1时，n取最大值7.
7．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．2B．3C．4D．5
答案 D
解析 ∵＝＝＝＝7＋为正整数，∴n＝1,2,3,5,11.
8．设等差数列{an}的公差为d，若数列为递减数列，则( )
A．d>0B．d<0C．a1d>0D．a1d<0
答案 D
解析 由数列为递减数列，得，
再由指数函数性质得a1an－1>a1an，
由等差数列的公差为d知，an－an－1＝d，
所以a1an－1>a1an，即a1an－a1an－1<0，
即a1(an－an－1)<0，即a1d<0.
二、填空题
9．已知数列{an}的通项公式是an＝n2－8n＋12，则该数列中为负数的项一共有________项．
答案 3
解析 令an＝n2－8n＋12<0，解得210．在等差数列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，m，n∈N＋，且m>n，则am＝________.
答案
解析 因为am＋n与am－n的等差中项是am，
所以am＝.
11．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝3n2＋n，则数列{an}的公差d＝________.
答案 6
解析 当n＝1时，a1＝S1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n－2.
当n＝1时，a1＝4满足上式，∴an＝6n－2.
又∵{an}为等差数列，∴4＋(n－1)d＝6n－2，∴d＝6.
12．在项数为2n＋1的等差数列{an}中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为________．
答案 10
解析 在等差数列{an}中，
所有奇数项的和S奇＝＝165，
所有偶数项的和S偶＝＝150.
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝＝，∴n＝10.
三、解答题
13．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，求{an}的通项公式．
解 因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．
两式相减得(2n－1)an＝2，
所以an＝(n≥2) .
又由题设可得a1＝2，符合an＝，
从而{an}的通项公式为an＝，n∈N＋.
14．在等差数列{an}中，已知a10＝30，a20＝50.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列的前n项和为Tn，求证：Tn<.
(1)解 由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，可得解得∴an＝2n＋10.
(2)证明 由(1)可知＝，
∴Tn＝，
∴Tn＝＝<.
