9.3.2 用多种正多边形 导学案（含答案）

2.用多种正多边形铺设地面　
教学目标
1．联系一种正多边形拼地板，经历探索用多种正多边形拼地板的过程和原理．
2．体会用多种正多边形拼地板与一种正多边形拼地板的相互联系．
情景问题引入
不少平面图形可以铺满地面，请你参加下面的探索活动：
①收集生活中用平面图形铺满地面的实例看谁收集得多；
②设计一幅用平面图形铺满地面的美丽图案，与你的小伙伴比一比，看看谁设计得更有新意．
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/ [学生用书P81]
用正多边形能拼成地板
规　　律：(1)用两种正多边形能拼成一个平面的有：
①正三角形和正方形；
②正三角形和正六边形；
③正方形和正八边形．
(2)用三种不同的正多边形，能拼成一个平面的有：正三角形、正方形、正六边形．
/ [学生用书P81]
类型之一　利用多边形铺满平面的条件
/　(1)正六边形能否铺满平面？简述你的理由．
(2)分析如图，讨论正五边形不能铺满平面的原因．
(3)还能找到仅用一种正多边形就能铺满平面的其他正多边形吗？
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解： (1)可以．理由：正六边形的每个内角都是120°，在每个顶点处，恰好能容纳下3个内角，而且相互不重叠，没有空隙．
(2)正五边形的每个内角都是108°，360不是108的整数倍，如答图所示，在每个顶点处，三个内角之和为324°，小于360°，而四个内角之和又大于360°，也就是说，在每个顶点处，拼三个内角不能保证没空隙，而拼四个内角，必定有重叠现象．
/答图
(3)除了正三角形、正四边形、正六边形外，其他正多边形都不可以铺满平面．
【点悟】 此类题要理解铺满平面的条件，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面．
类型之二　用多种正多边形拼地板的运用
/　通过计算说明下列两种正多边形能不能铺满地面．
(1)正八边形和正方形；
(2)正十二边形和正三角形．
解：(1)正八边形的每一个内角为135°，每个正方形的内角为90°，用两个正八边形和一个正方形拼在一起，围绕某一点三个内角之和为360°，因此用正八边形和正方形能铺满地面．
(2)正三角形每个内角为60°，正十二边形每个内角为150°，用两个正十二边形和一个正三角形拼在一起，围绕某一点三个内角之和为360°，因此用正十二边形和正三角形能铺满地面．
【点悟】 用多边形铺满地面的条件去判断．
/ [学生用书P81]
1．下面美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的是(　D　)
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2．小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖．建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几种形状的地砖．你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是(　B　)
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3．现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是(　A　)
A．正方形和正六边形
B．正三角形和正方形
C．正三角形和正六边形
D．正三角形、正方形和正六边形
4．一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是__12__．
/ [学生用书P81]
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1．[2018春·商水县期末]某广场准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点的周围，正方形和正三角形地砖的块数分别是(　D　)
A．1、2 B．2、1
C．2、2 D．2、3
【解析】 正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°.∵3×60°＋2×90°＝360°，∴需要正方形2块，正三角形3块．
2．如图是一块正方形地板砖，上面的图案由一个小正方形和四个等腰梯形组成．小明家的地面是由这样的地板砖镶嵌而成的，小明发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八边形图案需要这样的地板砖至少 (　A　)
A．8块 B．9块
C．11块 D．12块
/　　　/答图
【解析】 如答图，由实线组成的两个正八边形图案显然用了8块这样的地板砖．
3．用正三角形与正四边形铺满平地，设在每一个顶点周围有m个正三角形，有n个正四边形，则m、n满足的关系式是(　A　)
A．2m＋3n＝12　　　 　B．m＋n＝6
C．m＋n＝8 D．m＋2n＝6
4．[2018春·永安市期末]某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种边长相同、形状不同的正多边形地砖，与正三角形地砖作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖是(　C　)
A．正方形 B．正六边形
C．正八边形 D．正十二边形
【解析】 A．正方形的每个内角是90°，90°×2＋60°×3＝360°，∴能密铺；
B．正六边形每个内角是120°，120°＋60°×4＝360°，∴能密铺；
C．正八边形每个内角是180°－360°÷8＝135°，135°与60°无论怎样也不能组成360°的角，∴不能密铺；
D．正十二边形每个内角是150°，150°×2＋60°＝360°，∴能密铺．
5．用边长相等的正方形和正三角形镶嵌平面．
(1)一个顶点处需要几个正方形、几个正三角形？(两种图形都要用上)
(2)请画出你的镶嵌图．
解：(1)正三角形的每一个内角为60°，正方形的每一个内角为90°.∵3×60°＋2×90°＝360°，∴3个正三角形和2个正方形可做平面镶嵌．
(2)如答图．
/答图
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6．如图，用正多边形A、 B、 C密铺地面，其中A为正六边形， C为正方形，请通过计算求出正多边形B的边数．
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解：设正多边形B的一个内角为x，
则120°＋90°＋x＝360°，解得x＝150°，
∴n＝360°÷(180°－150°)＝12，
∴正多边形B的边数为12.
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7．[2018春·黄岛区期末]数学问题：用边长相等的正三角形、正方形和正六边形能否进行平面图形的镶嵌？
问题探究：为了解决上述数学问题，我们采用分类讨论的思想方法进行探究．
探究一：从正三角形、正方形和正六边形中任选一种图形，能否进行平面图形的镶嵌？
第一类：选正三角形．因为正三角形的每一个内角是60°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有6个正三角形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形可以进行平面图形的镶嵌．
第二类：选正方形．因为正方形的每一个内角是90°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有4个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正方形也可以进行平面图形的镶嵌．
第三类：选正六边形．(仿照上述方法，写出探究过程及结论)
探究二：从正三角形、正方形和正六边形中任选两种图形，能否进行平面图形的镶嵌？
第四类：选正三角形和正方形．在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形和y个正方形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程60x＋90y＝360.整理，得2x＋3y＝12.我们可以找到唯一组适合方程的正整数解为镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着3个正三角形和2个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正方形可以进行平面镶嵌．
第五类：选正三角形和正六边形．(仿照上述方法，写出探究过程及结论)
第六类：选正方形和正六边形．(不写探究过程，只写出结论)
探究三：用正三角形、正方形和正六边形三种图形是否可以镶嵌平面？
第七类：选正三角形、正方形和正六边形三种图形．(不写探究过程，只写结论)，
解：第三类：因为正六边形的每一个内角是120°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有3个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以用正六边形可以进行平面图形的镶嵌．
第五类：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形和y个正六边形，
则60x＋120y＝360，
即x＋2y＝6，
正整数解是或
即镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形(或4个正三角形和1个正六边形)的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正六边形可以进行平面镶嵌．
第六类：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正六边形，
则90x＋120y＝360，
即3x＋4y＝12，
此方程没有正整数解．
即镶嵌平面时，不能在一个顶点周围围绕着正方形和正六边形的内角拼成一个周角，所以不能用正方形和正六边形进行平面镶嵌．
第七类：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形、y个正方形和z个正六边形，
则60x＋90y＋120z＝360，
2x＋3y＋4z＝12，
正整数解是
即镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形、1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形、正方形、正六边形可以进行平面镶嵌．