9.3 用正多边形铺设地面 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 9.3 用正多边形铺设地面 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 118.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-31 11:10:00 | ||
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文档简介
9.3用正多边形铺设地面
一．选择题（共10小题）
1．六盘水市“琼都大剧院”即将完工，现需选用同一批地砖进行装修，以下不能镶嵌的地板是（ ）
A． 正五边形地砖 B．正三角形地砖 C．正六边形地砖 D． 正四边形地砖
2．下列图形中，不能镶嵌成平面图案的（ ）
A． 正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D． 正六边形
3．在正三角系，正方形，正五边形，正六边形这几个图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是
（ ）
A． 正三角形 B．正方形 C．正五边形 D． 正六边形
4．若用同一种正多边形瓷砖铺地面，不能密铺地面的正多边形是（ ）
A． 正八边形 B．正六边形 C．正四边形 D． 正三边形
5．只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（ ）
A． 正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D． 正五边形
6．用下列一种多边形不能铺满地面的是（ ）
A． 正方形 B．正十边形 C．正六边形 D． 等边三角形
7．下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（ ）
A． 正三角形 B．正六边形 C．正方形 D． 正五边形
8．只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是（ ）
A． 正三角形 B．正方形 C．正五边形 D． 正六边形
9．现要选用两种不同的正多边形地砖铺地板，若已选择了正四边形，则可以再选择的正多边形是（ ）
A． 正七边形 B．正五边形 C．正六边形 D． 正八边形
10．如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（ ）
A． 正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D． 正八边形
二．填空题（共7小题）
11．在一个边长为10m的正六边形地面，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需这样的瓷砖 _________ 块．
12．按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌（即平面密铺）的有 _________ （写出所有正确答案的序号）．
13．幼儿园的小朋友打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑料胶板铺地面．为了保证铺地时既无缝隙，又不重叠，请你告诉他们可以选择哪些形状的塑料胶板 _________ （填三种）．
14．现有边长相等的正三角形、正方形、正六边形的地砖，要求至少用两种不同的地砖作平面镶嵌（两种地砖的不同拼法视作为同一种组合），则共有组合方案 _________ 种．
15．为了让居民有更多休闲和娱乐的地方，江宁区政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖进行铺设．现有下面几种形状的正多边形地砖：正三角形、正方形、正五边形、正六边形，其中不能进行平面镶嵌的有 _________ ．
16．与正三角形组合在一起能铺满地面的另一种正多边形是 _________ ．（只要求写出一种即可）
17．用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为 _________ ．
三．解答题（共4小题）
18．某体育馆用大小相同的长方形木板镶嵌地面，第1次铺2块如图①；第2次把第1次铺的完全围起来，如图②，此时共使用木板12块；第3次把第2次铺的完全围起来，如图③：
（1）依此方法，第4次铺完后，共使用的木板数为 _________ ．
（2）依此方法，第10次铺完后，共使用的木板数为 _________ ．
（3）依此方法，第n次铺完后，共使用的木板数为 _________ ．
19．如图，用同样大小的黑、白两种颜色的等腰三角形地砖铺设地面，请在图（b）、（c）所示的正方形网格中给出不同于图（a）的铺法．
20．试说明：用15块大小是4×1的矩形地砖和一块大小是2×2的正方形地砖能不能恰好铺盖一块大小是8×8的正方形地面．
21．用边长相等的正方形和正三角形镶嵌平面．
（1）则一个顶点处需要几个正方形、几个正三角形？（两种图形都要用上）
（2）请画出你的镶嵌图．
9.3用正多边形铺设地面
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．六盘水市“琼都大剧院”即将完工，现需选用同一批地砖进行装修，以下不能镶嵌的地板是（ ）
A． 正五边形地砖 B．正三角形地砖 C．正六边形地砖 D． 正四边形地砖
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．
解答： 解：A、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；
B、正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
C、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
D、正四边形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意．
故选：A．
点评： 本题考查了平面密铺的知识，注意掌握只用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
2．下列图形中，不能镶嵌成平面图案的（ ）
A． 正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D． 正六边形
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
解答： 解：A、正三角形的每一个内角等于60°，6×60°=360°，即能密铺，不合题意；
B、正四边形的每一个内角等于90°，4×90°=360°，即能密铺，不合题意；
C、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺，符合题意；
D、正六边形每个内角是120°，能整除360°，故能密铺，不合题意．
故选：C．
点评： 本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
3．在正三角系，正方形，正五边形，正六边形这几个图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是
（ ）
A． 正三角形 B．正方形 C．正五边形 D． 正六边形
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．
解答： 解：A、∵正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺，不合题意；
B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺，不合题意；
C、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺，符合题意；
D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺，不合题意．
故选：C．
点评： 此题主要考查了平面镶嵌，根据镶嵌的条件，判断一种正多边形能否镶嵌，要看周角360°能否被一个内角度数整除：若能整除，则能进行平面镶嵌；若不能整除，则不能进行平面镶嵌．
4．若用同一种正多边形瓷砖铺地面，不能密铺地面的正多边形是（ ）
A． 正八边形 B．正六边形 C．正四边形 D． 正三边形
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 看哪个正多边形的一个内角的度数不是360°的约数，就不能密铺平面．
解答： 解：A、正八边形的一个内角度数为180﹣360÷8=135°，不是360°的约数，不能密铺平面，符合题意；
B、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；
C、正四边形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；
D、正三角形的一个内角为60°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意
故选：A．
点评： 此题主要考查了平面镶嵌，用到的知识点为：一种正多边形能密铺平面，这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；正多边形一个内角的度数=180﹣360÷边数．
5．只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（ ）
A． 正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D． 正五边形
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 根据密铺的知识，找到一个内角能整除周角360°的正多边形即可．
解答： 解：A、正十边形每个内角是180°﹣360°÷10=144°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；
B、正八边形每个内角是180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；
C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能整除360°，可以单独进行镶嵌，符合题意；
D、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；
故选：C．
点评： 本题考查了平面密铺的知识，注意几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
6．用下列一种多边形不能铺满地面的是（ ）
A． 正方形 B．正十边形 C．正六边形 D． 等边三角形
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 根据平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，即可得出答案．
解答： 解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正方形，正六边形，等边三角形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
∴不能铺满地面的是正十边形；
故选B．
点评： 此题考查了平面镶嵌，用到的知识点是只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
7．下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（ ）
A． 正三角形 B．正六边形 C．正方形 D． 正五边形
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．
解答： 解：A、正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
B、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
C、正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
D、正五边形的一个内角度数为180﹣360÷5=108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意．
故选：D．
点评： 本题考查了平面密铺的知识，注意掌握只用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
8．只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是（ ）
A． 正三角形 B．正方形 C．正五边形 D． 正六边形
考点： 平面镶嵌（密铺）．
专题： 几何图形问题．
分析： 平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．
解答： 解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
∴只用上面正多边形，不能进行平面镶嵌的是正五边形．
故选C．
点评： 考查了平面镶嵌（密铺），用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
9．现要选用两种不同的正多边形地砖铺地板，若已选择了正四边形，则可以再选择的正多边形是（ ）
A． 正七边形 B．正五边形 C．正六边形 D． 正八边形
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 根据多边形内角和公式先算出每个多边形的内角的度数，再根据正四边形每个内角是90°，再从选项中看其内角和是否能组成360°，即可求出答案．
解答： 解：A、正七边形的每个内角约是129°，正四边形每个内角是90°，不能构成360°，则不能铺满，故本选项错误；
B、正五角形每个内角108°，正四边形每个内角是90°，不能构成360°，则不能铺满，故本选项错误；
C、正六边形每个内角120°，正四边形每个内角是90°，不能构成360°，则不能铺满，故本选项错误；
D、正八边形每个内角135°，正四边形每个内角是90°，两个正八边形和一个正四边形能构成360°，则能铺满，故本选项正确；
故选D．
点评： 本题考查了平面镶嵌，解题的关键是根据内角和公式算出每个正多边形的内角的度数，根据内角的度数能组成一个周角就能密铺．
10．如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（ ）
A． 正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D． 正八边形
考点： 平面镶嵌（密铺）．
专题： 常规题型．
分析： 分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可作出判断．
解答： 解：A、正三角形的一个内角度数为180°﹣360°÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
B、正四边形的一个内角度数为180°﹣360°÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
C、正六边形的一个内角度数为180°﹣360°÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
D、正八边形的一个内角度数为180°﹣360°÷8=135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；
故选D．
点评： 本题考查平面密铺的问题，用到的知识点为：一种正多边形能镶嵌平面，这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；正多边形一个内角的度数=180°﹣360°÷边数．
二．填空题（共7小题）
11．在一个边长为10m的正六边形地面，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需这样的瓷砖 2400 块．
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 先求出边长为10m的正六边形的面积，边长为50cm的正三角形的面积，继而可得需要瓷砖的数量．
解答： 解：解：把正六边形分成6个全等的正三角形，易得每个正三角形的边长为10m，高为5m，
∴正六边形的面积为6××10×5=150m2，
同理可得边长为50cm的正三角形的面积为××=m2，
∴150÷=2400．
故答案为：2400．
点评： 解决本题的关键是得到边长为50cm的正三角形瓷砖的块数的等量关系；难点是掌握正三角形的面积的求法．
12．按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌（即平面密铺）的有 ②③ （写出所有正确答案的序号）．
考点： 平面镶嵌（密铺）；平移的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据一种图形平面镶嵌的条件，即能整除360°的多边形，而且只通过平移就能进行平面镶嵌，得出每个内角必须是90°，分别分析即可．
解答： 解：根据一种图形平面镶嵌的条件，即能整除360°的多边形，而且只通过平移就能进行平面镶嵌，
∴①正三角形虽然能平面镶嵌但是需通过旋转得出，故此选项错误；
②正方形，每个内角等于90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确；
③矩形，每个内角等于90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确；
④正五边形，每个内角等于108°，不能平面镶嵌，故此选项错误．
故答案为：②③．
点评： 此题主要考查了平面镶嵌的性质以及平移的性质，得出符合两个图形的条件是解决问题的关键．
13．幼儿园的小朋友打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑料胶板铺地面．为了保证铺地时既无缝隙，又不重叠，请你告诉他们可以选择哪些形状的塑料胶板 正三角形、正方形、长方形、正六边形、直角三角形、直角梯形（写出其它图形，只要符合题目要求，均可得分） （填三种）．
考点： 平面镶嵌（密铺）．
专题： 开放型．
分析： 几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
解答： 解：几何图形镶嵌成平面的条件可知：能够保证铺地时既无缝隙，又不重叠，可以选择的塑料胶板有 正三角形、正方形、长方形、正六边形、直角三角形、直角梯形．
故答案为：正三角形、正方形、长方形、正六边形、直角三角形、直角梯形（写出其它图形，只要符合题目要求，均可得分）
点评： 本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意一种多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
14．现有边长相等的正三角形、正方形、正六边形的地砖，要求至少用两种不同的地砖作平面镶嵌（两种地砖的不同拼法视作为同一种组合），则共有组合方案 3 种．
考点： 平面镶嵌（密铺）．
专题： 方案型．
分析： 本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况，能拼360°的就是能做镶嵌的．
解答： 解：①因为正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，所以能铺满；
②正三角形每个内角60度，正六边形每个内角120度，2×60+2×120=360度，所以能铺满；
③正方形每个内角90度，正六边形每个内角120度，不能拼成360度，所以不能铺满；
④因为60+90+90+120=360度，所以一个正三角形、2个正方形、一个正六边形也能进行镶嵌．
故共有组合方案3种．
故答案为：3．
点评： 本题考查了平面镶嵌（密铺），判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
15．为了让居民有更多休闲和娱乐的地方，江宁区政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖进行铺设．现有下面几种形状的正多边形地砖：正三角形、正方形、正五边形、正六边形，其中不能进行平面镶嵌的有 正五边形 ．
考点： 平面镶嵌（密铺）．
专题： 几何图形问题．
分析： 本题考查一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．
解答： 解：正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
正方形的每个内角是90°，4个能密铺；
正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；
正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．
故答案为：正五边形．
点评： 本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况，体现了学数学用数学的思想．由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
16．与正三角形组合在一起能铺满地面的另一种正多边形是 正方形 ．（只要求写出一种即可）
考点： 平面镶嵌（密铺）．
专题： 开放型．
分析： 正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
解答： 解：可以选正方形，
正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，
∵3×60°+2×90°=360°，
∴正方形和正三角形能铺满地面，
故答案为：正方形．
点评： 此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
17．用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为 6 ．
考点： 平面镶嵌（密铺）．
专题： 应用题；压轴题．
分析： 根据正六边形的一个内角为120°，可求出正六边形密铺时需要的正多边形的内角，继而可求出这个正多边形的边数．
解答： 解：两个正六边形结合，一个公共点处组成的角度为240°，
故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形，
而正六边形的内角为120°，
故答案为：6．
点评： 此题考查了平面密铺的知识，解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的一个内角的度数，有一定难度．
三．解答题（共4小题）
18．某体育馆用大小相同的长方形木板镶嵌地面，第1次铺2块如图①；第2次把第1次铺的完全围起来，如图②，此时共使用木板12块；第3次把第2次铺的完全围起来，如图③：
（1）依此方法，第4次铺完后，共使用的木板数为 56 ．
（2）依此方法，第10次铺完后，共使用的木板数为 380 ．
（3）依此方法，第n次铺完后，共使用的木板数为 4n2﹣2n ．
考点： 平面镶嵌（密铺）．
专题： 规律型．
分析： （1）第一次铺完用1×2块，第二次铺完共用3×4块，第三次铺完后，共用5×6块，所以第4次铺完后，共使用的木板数为7×8块；
（2）第10次铺完后，共使用的木板数为19×20块；
（3）第n次铺完后，共使用的木板数为（2n﹣1）×2n块．
解答： 解：（1）第4次铺完后，共使用的木板数为7×8=56；
（2）第10次铺完后，共使用的木板数为19×20=380；
（3）第n次铺完后，共使用的木板数为2n（2n﹣1）=4n2﹣2n．
点评： 解决本题的关键是得到共使用的木板数的变化规律．
19．如图，用同样大小的黑、白两种颜色的等腰三角形地砖铺设地面，请在图（b）、（c）所示的正方形网格中给出不同于图（a）的铺法．
考点： 平面镶嵌（密铺）．
专题： 网格型；开放型．
分析： 把正方形网格平均分成8块，选择不同于（a）的4块选用黑色的等腰三角形地砖即可．
解答： 解：
点评： 解决本题的关键是把所给网格分为若干个地砖的和．
20．试说明：用15块大小是4×1的矩形地砖和一块大小是2×2的正方形地砖能不能恰好铺盖一块大小是8×8的正方形地面．
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 这也是一种密铺问题，从面积来看，15块4×1的矩形地砖和一块2×2的正方形地砖的面积之和为4×15+2×2=64，恰好等于8×8．从每个拼接点来看，90°×4=360°，但是这些地砖不能敲碎，不能改成面积更小的地砖．因此只考查面积和拼接点的角度之和，不能解决问题．
解答： 解：如图，在大小是8×8的正方形地面上画出64个小方格，并按如图所示的方法涂上黑，白两种颜色，黑，白小方格各有32个，每一横行或每一纵行都分别有4个黑方格和4个白方格，用一块大小是4×1的矩形地砖无论铺在横行，还是纵行上，总是盖住2个黑方格和2个白方格，铺下15块后，共能盖住30个黑方格和30个白方格，
地面上，一定剩下2个黑方格和2个白方格必须用2×2的正方形地砖，但从图中可以发现，2×2的正方形地砖无论铺在地面上的什么位置，都不能盖住2个黑方格和2个白方格，盖住的方格是3黑1白或1黑3白，
因此不能恰好铺盖成功．
点评： 在图形的拼接里，除了考虑面积和拼接点的角度之和外，还需考虑可行性．
21．用边长相等的正方形和正三角形镶嵌平面．
（1）则一个顶点处需要几个正方形、几个正三角形？（两种图形都要用上）
（2）请画出你的镶嵌图．
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： （1）看几个正方形的一个内角与几个正三角形的一个内角度数之和为360°即可；
（2）根据（1）得到的结果画出相应图形即可．
解答： 解：（1）正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，∵3×60+2×90=360°，那么3个正三角形和2个正方形可作平面镶嵌；
（2）如图所示：
．
点评：用到的知识点为：两种正多边形能否组成镶嵌，要看同一顶点处的几个角之和能否为360°．
一．选择题（共10小题）
1．六盘水市“琼都大剧院”即将完工，现需选用同一批地砖进行装修，以下不能镶嵌的地板是（ ）
A． 正五边形地砖 B．正三角形地砖 C．正六边形地砖 D． 正四边形地砖
2．下列图形中，不能镶嵌成平面图案的（ ）
A． 正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D． 正六边形
3．在正三角系，正方形，正五边形，正六边形这几个图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是
（ ）
A． 正三角形 B．正方形 C．正五边形 D． 正六边形
4．若用同一种正多边形瓷砖铺地面，不能密铺地面的正多边形是（ ）
A． 正八边形 B．正六边形 C．正四边形 D． 正三边形
5．只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（ ）
A． 正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D． 正五边形
6．用下列一种多边形不能铺满地面的是（ ）
A． 正方形 B．正十边形 C．正六边形 D． 等边三角形
7．下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（ ）
A． 正三角形 B．正六边形 C．正方形 D． 正五边形
8．只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是（ ）
A． 正三角形 B．正方形 C．正五边形 D． 正六边形
9．现要选用两种不同的正多边形地砖铺地板，若已选择了正四边形，则可以再选择的正多边形是（ ）
A． 正七边形 B．正五边形 C．正六边形 D． 正八边形
10．如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（ ）
A． 正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D． 正八边形
二．填空题（共7小题）
11．在一个边长为10m的正六边形地面，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需这样的瓷砖 _________ 块．
12．按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌（即平面密铺）的有 _________ （写出所有正确答案的序号）．
13．幼儿园的小朋友打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑料胶板铺地面．为了保证铺地时既无缝隙，又不重叠，请你告诉他们可以选择哪些形状的塑料胶板 _________ （填三种）．
14．现有边长相等的正三角形、正方形、正六边形的地砖，要求至少用两种不同的地砖作平面镶嵌（两种地砖的不同拼法视作为同一种组合），则共有组合方案 _________ 种．
15．为了让居民有更多休闲和娱乐的地方，江宁区政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖进行铺设．现有下面几种形状的正多边形地砖：正三角形、正方形、正五边形、正六边形，其中不能进行平面镶嵌的有 _________ ．
16．与正三角形组合在一起能铺满地面的另一种正多边形是 _________ ．（只要求写出一种即可）
17．用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为 _________ ．
三．解答题（共4小题）
18．某体育馆用大小相同的长方形木板镶嵌地面，第1次铺2块如图①；第2次把第1次铺的完全围起来，如图②，此时共使用木板12块；第3次把第2次铺的完全围起来，如图③：
（1）依此方法，第4次铺完后，共使用的木板数为 _________ ．
（2）依此方法，第10次铺完后，共使用的木板数为 _________ ．
（3）依此方法，第n次铺完后，共使用的木板数为 _________ ．
19．如图，用同样大小的黑、白两种颜色的等腰三角形地砖铺设地面，请在图（b）、（c）所示的正方形网格中给出不同于图（a）的铺法．
20．试说明：用15块大小是4×1的矩形地砖和一块大小是2×2的正方形地砖能不能恰好铺盖一块大小是8×8的正方形地面．
21．用边长相等的正方形和正三角形镶嵌平面．
（1）则一个顶点处需要几个正方形、几个正三角形？（两种图形都要用上）
（2）请画出你的镶嵌图．
9.3用正多边形铺设地面
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．六盘水市“琼都大剧院”即将完工，现需选用同一批地砖进行装修，以下不能镶嵌的地板是（ ）
A． 正五边形地砖 B．正三角形地砖 C．正六边形地砖 D． 正四边形地砖
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．
解答： 解：A、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；
B、正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
C、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
D、正四边形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意．
故选：A．
点评： 本题考查了平面密铺的知识，注意掌握只用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
2．下列图形中，不能镶嵌成平面图案的（ ）
A． 正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D． 正六边形
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
解答： 解：A、正三角形的每一个内角等于60°，6×60°=360°，即能密铺，不合题意；
B、正四边形的每一个内角等于90°，4×90°=360°，即能密铺，不合题意；
C、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺，符合题意；
D、正六边形每个内角是120°，能整除360°，故能密铺，不合题意．
故选：C．
点评： 本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
3．在正三角系，正方形，正五边形，正六边形这几个图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是
（ ）
A． 正三角形 B．正方形 C．正五边形 D． 正六边形
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．
解答： 解：A、∵正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺，不合题意；
B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺，不合题意；
C、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺，符合题意；
D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺，不合题意．
故选：C．
点评： 此题主要考查了平面镶嵌，根据镶嵌的条件，判断一种正多边形能否镶嵌，要看周角360°能否被一个内角度数整除：若能整除，则能进行平面镶嵌；若不能整除，则不能进行平面镶嵌．
4．若用同一种正多边形瓷砖铺地面，不能密铺地面的正多边形是（ ）
A． 正八边形 B．正六边形 C．正四边形 D． 正三边形
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 看哪个正多边形的一个内角的度数不是360°的约数，就不能密铺平面．
解答： 解：A、正八边形的一个内角度数为180﹣360÷8=135°，不是360°的约数，不能密铺平面，符合题意；
B、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；
C、正四边形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；
D、正三角形的一个内角为60°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意
故选：A．
点评： 此题主要考查了平面镶嵌，用到的知识点为：一种正多边形能密铺平面，这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；正多边形一个内角的度数=180﹣360÷边数．
5．只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（ ）
A． 正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D． 正五边形
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 根据密铺的知识，找到一个内角能整除周角360°的正多边形即可．
解答： 解：A、正十边形每个内角是180°﹣360°÷10=144°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；
B、正八边形每个内角是180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；
C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能整除360°，可以单独进行镶嵌，符合题意；
D、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；
故选：C．
点评： 本题考查了平面密铺的知识，注意几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
6．用下列一种多边形不能铺满地面的是（ ）
A． 正方形 B．正十边形 C．正六边形 D． 等边三角形
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 根据平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，即可得出答案．
解答： 解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正方形，正六边形，等边三角形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
∴不能铺满地面的是正十边形；
故选B．
点评： 此题考查了平面镶嵌，用到的知识点是只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
7．下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（ ）
A． 正三角形 B．正六边形 C．正方形 D． 正五边形
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．
解答： 解：A、正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
B、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
C、正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
D、正五边形的一个内角度数为180﹣360÷5=108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意．
故选：D．
点评： 本题考查了平面密铺的知识，注意掌握只用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
8．只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是（ ）
A． 正三角形 B．正方形 C．正五边形 D． 正六边形
考点： 平面镶嵌（密铺）．
专题： 几何图形问题．
分析： 平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．
解答： 解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
∴只用上面正多边形，不能进行平面镶嵌的是正五边形．
故选C．
点评： 考查了平面镶嵌（密铺），用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
9．现要选用两种不同的正多边形地砖铺地板，若已选择了正四边形，则可以再选择的正多边形是（ ）
A． 正七边形 B．正五边形 C．正六边形 D． 正八边形
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 根据多边形内角和公式先算出每个多边形的内角的度数，再根据正四边形每个内角是90°，再从选项中看其内角和是否能组成360°，即可求出答案．
解答： 解：A、正七边形的每个内角约是129°，正四边形每个内角是90°，不能构成360°，则不能铺满，故本选项错误；
B、正五角形每个内角108°，正四边形每个内角是90°，不能构成360°，则不能铺满，故本选项错误；
C、正六边形每个内角120°，正四边形每个内角是90°，不能构成360°，则不能铺满，故本选项错误；
D、正八边形每个内角135°，正四边形每个内角是90°，两个正八边形和一个正四边形能构成360°，则能铺满，故本选项正确；
故选D．
点评： 本题考查了平面镶嵌，解题的关键是根据内角和公式算出每个正多边形的内角的度数，根据内角的度数能组成一个周角就能密铺．
10．如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（ ）
A． 正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D． 正八边形
考点： 平面镶嵌（密铺）．
专题： 常规题型．
分析： 分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可作出判断．
解答： 解：A、正三角形的一个内角度数为180°﹣360°÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
B、正四边形的一个内角度数为180°﹣360°÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
C、正六边形的一个内角度数为180°﹣360°÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
D、正八边形的一个内角度数为180°﹣360°÷8=135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；
故选D．
点评： 本题考查平面密铺的问题，用到的知识点为：一种正多边形能镶嵌平面，这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；正多边形一个内角的度数=180°﹣360°÷边数．
二．填空题（共7小题）
11．在一个边长为10m的正六边形地面，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需这样的瓷砖 2400 块．
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 先求出边长为10m的正六边形的面积，边长为50cm的正三角形的面积，继而可得需要瓷砖的数量．
解答： 解：解：把正六边形分成6个全等的正三角形，易得每个正三角形的边长为10m，高为5m，
∴正六边形的面积为6××10×5=150m2，
同理可得边长为50cm的正三角形的面积为××=m2，
∴150÷=2400．
故答案为：2400．
点评： 解决本题的关键是得到边长为50cm的正三角形瓷砖的块数的等量关系；难点是掌握正三角形的面积的求法．
12．按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌（即平面密铺）的有 ②③ （写出所有正确答案的序号）．
考点： 平面镶嵌（密铺）；平移的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据一种图形平面镶嵌的条件，即能整除360°的多边形，而且只通过平移就能进行平面镶嵌，得出每个内角必须是90°，分别分析即可．
解答： 解：根据一种图形平面镶嵌的条件，即能整除360°的多边形，而且只通过平移就能进行平面镶嵌，
∴①正三角形虽然能平面镶嵌但是需通过旋转得出，故此选项错误；
②正方形，每个内角等于90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确；
③矩形，每个内角等于90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确；
④正五边形，每个内角等于108°，不能平面镶嵌，故此选项错误．
故答案为：②③．
点评： 此题主要考查了平面镶嵌的性质以及平移的性质，得出符合两个图形的条件是解决问题的关键．
13．幼儿园的小朋友打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑料胶板铺地面．为了保证铺地时既无缝隙，又不重叠，请你告诉他们可以选择哪些形状的塑料胶板 正三角形、正方形、长方形、正六边形、直角三角形、直角梯形（写出其它图形，只要符合题目要求，均可得分） （填三种）．
考点： 平面镶嵌（密铺）．
专题： 开放型．
分析： 几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
解答： 解：几何图形镶嵌成平面的条件可知：能够保证铺地时既无缝隙，又不重叠，可以选择的塑料胶板有 正三角形、正方形、长方形、正六边形、直角三角形、直角梯形．
故答案为：正三角形、正方形、长方形、正六边形、直角三角形、直角梯形（写出其它图形，只要符合题目要求，均可得分）
点评： 本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意一种多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
14．现有边长相等的正三角形、正方形、正六边形的地砖，要求至少用两种不同的地砖作平面镶嵌（两种地砖的不同拼法视作为同一种组合），则共有组合方案 3 种．
考点： 平面镶嵌（密铺）．
专题： 方案型．
分析： 本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况，能拼360°的就是能做镶嵌的．
解答： 解：①因为正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，所以能铺满；
②正三角形每个内角60度，正六边形每个内角120度，2×60+2×120=360度，所以能铺满；
③正方形每个内角90度，正六边形每个内角120度，不能拼成360度，所以不能铺满；
④因为60+90+90+120=360度，所以一个正三角形、2个正方形、一个正六边形也能进行镶嵌．
故共有组合方案3种．
故答案为：3．
点评： 本题考查了平面镶嵌（密铺），判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
15．为了让居民有更多休闲和娱乐的地方，江宁区政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖进行铺设．现有下面几种形状的正多边形地砖：正三角形、正方形、正五边形、正六边形，其中不能进行平面镶嵌的有 正五边形 ．
考点： 平面镶嵌（密铺）．
专题： 几何图形问题．
分析： 本题考查一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．
解答： 解：正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
正方形的每个内角是90°，4个能密铺；
正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；
正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．
故答案为：正五边形．
点评： 本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况，体现了学数学用数学的思想．由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
16．与正三角形组合在一起能铺满地面的另一种正多边形是 正方形 ．（只要求写出一种即可）
考点： 平面镶嵌（密铺）．
专题： 开放型．
分析： 正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
解答： 解：可以选正方形，
正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，
∵3×60°+2×90°=360°，
∴正方形和正三角形能铺满地面，
故答案为：正方形．
点评： 此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
17．用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为 6 ．
考点： 平面镶嵌（密铺）．
专题： 应用题；压轴题．
分析： 根据正六边形的一个内角为120°，可求出正六边形密铺时需要的正多边形的内角，继而可求出这个正多边形的边数．
解答： 解：两个正六边形结合，一个公共点处组成的角度为240°，
故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形，
而正六边形的内角为120°，
故答案为：6．
点评： 此题考查了平面密铺的知识，解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的一个内角的度数，有一定难度．
三．解答题（共4小题）
18．某体育馆用大小相同的长方形木板镶嵌地面，第1次铺2块如图①；第2次把第1次铺的完全围起来，如图②，此时共使用木板12块；第3次把第2次铺的完全围起来，如图③：
（1）依此方法，第4次铺完后，共使用的木板数为 56 ．
（2）依此方法，第10次铺完后，共使用的木板数为 380 ．
（3）依此方法，第n次铺完后，共使用的木板数为 4n2﹣2n ．
考点： 平面镶嵌（密铺）．
专题： 规律型．
分析： （1）第一次铺完用1×2块，第二次铺完共用3×4块，第三次铺完后，共用5×6块，所以第4次铺完后，共使用的木板数为7×8块；
（2）第10次铺完后，共使用的木板数为19×20块；
（3）第n次铺完后，共使用的木板数为（2n﹣1）×2n块．
解答： 解：（1）第4次铺完后，共使用的木板数为7×8=56；
（2）第10次铺完后，共使用的木板数为19×20=380；
（3）第n次铺完后，共使用的木板数为2n（2n﹣1）=4n2﹣2n．
点评： 解决本题的关键是得到共使用的木板数的变化规律．
19．如图，用同样大小的黑、白两种颜色的等腰三角形地砖铺设地面，请在图（b）、（c）所示的正方形网格中给出不同于图（a）的铺法．
考点： 平面镶嵌（密铺）．
专题： 网格型；开放型．
分析： 把正方形网格平均分成8块，选择不同于（a）的4块选用黑色的等腰三角形地砖即可．
解答： 解：
点评： 解决本题的关键是把所给网格分为若干个地砖的和．
20．试说明：用15块大小是4×1的矩形地砖和一块大小是2×2的正方形地砖能不能恰好铺盖一块大小是8×8的正方形地面．
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 这也是一种密铺问题，从面积来看，15块4×1的矩形地砖和一块2×2的正方形地砖的面积之和为4×15+2×2=64，恰好等于8×8．从每个拼接点来看，90°×4=360°，但是这些地砖不能敲碎，不能改成面积更小的地砖．因此只考查面积和拼接点的角度之和，不能解决问题．
解答： 解：如图，在大小是8×8的正方形地面上画出64个小方格，并按如图所示的方法涂上黑，白两种颜色，黑，白小方格各有32个，每一横行或每一纵行都分别有4个黑方格和4个白方格，用一块大小是4×1的矩形地砖无论铺在横行，还是纵行上，总是盖住2个黑方格和2个白方格，铺下15块后，共能盖住30个黑方格和30个白方格，
地面上，一定剩下2个黑方格和2个白方格必须用2×2的正方形地砖，但从图中可以发现，2×2的正方形地砖无论铺在地面上的什么位置，都不能盖住2个黑方格和2个白方格，盖住的方格是3黑1白或1黑3白，
因此不能恰好铺盖成功．
点评： 在图形的拼接里，除了考虑面积和拼接点的角度之和外，还需考虑可行性．
21．用边长相等的正方形和正三角形镶嵌平面．
（1）则一个顶点处需要几个正方形、几个正三角形？（两种图形都要用上）
（2）请画出你的镶嵌图．
考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： （1）看几个正方形的一个内角与几个正三角形的一个内角度数之和为360°即可；
（2）根据（1）得到的结果画出相应图形即可．
解答： 解：（1）正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，∵3×60+2×90=360°，那么3个正三角形和2个正方形可作平面镶嵌；
（2）如图所示：
．
点评：用到的知识点为：两种正多边形能否组成镶嵌，要看同一顶点处的几个角之和能否为360°．