9.3.1 用相同的正多边形 导学案（含答案）

1．用相同的正多边形铺设地面
教学目标
1．通过剪一剪、拼一拼，得出用相同正多边形铺满地面的条件．
2．会用正多边形铺满地面的条件正确判断哪些相同的正多边形能铺满地面．
情景问题引入
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问题1：在上述的图案中，你看到了哪些正多边形的图案？
问题2：还有哪一种正多边形可用来拼地板？
/ [学生用书P79]
用相同的正多边形拼地板
内　　容：用多边形能镶嵌成平面的理由是：围绕一点拼在一起的n个多边形的内角加在一起恰好能组成一个周角．
注　　意：(1)n边形的内角和是(n－2)·180°，且正多边形的每个内角都相等，从而求出正n边形的每一个内角为；
(2)如果正多边形的每个内角的度数的整数倍是360°，那么这个多边形就能镶嵌成一个平面图形；
(3)用同一种正多边形能镶嵌成平面的有正三角形、正方形、正六边形．
/ [学生用书P79]
类型之一　三角形、四边形和正六边形可以铺满地面
/　我们常见到如图所示图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面．问：像这样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？
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解：所用材料的形状不能全是正五边形．理由：
因为正五边形的每个内角都是108°，要铺成平整、无空隙的地面，必须使若干个正五边形拼成一个周角(360°)，但找不到符合条件n×108°＝360°的正整数n，故不能全用正五边形的材料铺地面．
/　如图是用小长方形铺设的一个长方形走廊，请你根据图中给出的数据，求出每块小长方形的面积．
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解：设小长方形的长为x cm，则宽为(60－x)cm.
根据图形，得x＋2(60－x)＝2x，
解得x＝40，则60－x＝20.
故S＝20×40＝800(cm2)．
答：每块小长方形的面积为800 cm2.
【点悟】 分析出基本图形的特点，再从整个铺设图形中观察出边与边之间的等量关系．
类型之二　一种正多边形能铺满地面的条件的运用
/　某校要用地砖镶嵌艺术教室的地面，可以选择的方案有许多种，请你为其设计．
如果在以下形状的地砖中选取一种镶嵌地面，可以选择的有__①③⑤⑥__．(填序号)
①正方形　②正五边形　③正六边形　④正八边形⑤任意三角形　⑥任意四边形．
/ [学生用书P79]
1．[2018春·巨野县期末]某商店出售下列四种形状的地砖，若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有(　B　)
①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．
A．4种 B．3种
C．2种 D．1种
2．用下列一种多边形不能铺满地面的是(　B　)
A．正方形 B．正十边形
C．正六边形 D．等边三角形
3．只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是(　C　)
A．正十边形 B．正八边形
C．正六边形 D．正五边形
4．如图，在下面四个图形中，能用来铺设地板的共有(　D　)
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A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个
5．用同一种正多边形地板砖密铺地面，为铺满地面而不重叠，那么这种正多边形的地板砖可以是__正三角形或正四边形或正六边形__．(只需写出一种即可)
6． 如果只用一种正多边形做平面密铺，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的每个内角度数为__60°__.
/ [学生用书P80]
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1．如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形能够将平面密铺的是(　B　)
A．正五边形　　　　　B．正四边形
C．正九边形 D．正十边形
2．如图，这是一个正面为黑、反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木．现欲拼满拼木盘使其颜色一致，那么应该选择的拼木是(　B　)
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3．当围绕一个点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个__周角__时，就能密拼一个平面图形．
4．按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌(即平面密铺)的有__②③__.(填序号)
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5．能够用正六边形铺满地面的理由是__3个120°拼成360°__；不能用正五边形铺满地面的理由是__不能用正整数个108°拼成360°__．
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6．如图所示的地面全是用正三角形的材料铺设而成的．
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(1)用这种形状的材料为什么能铺成平整、无隙的地面？
(2)像上面那样铺地砖，能否全用正十边形的材料？为什么？
解：(1)每个顶点周围有6个正三角形的内角，恰好组成一个周角．
(2)不能，因为正十边形的每个内角为144°，不能整除360°.
7．某体育馆用大小相同的长方形木板镶嵌地面，如图，第1次铺2块如图1；第2次把第1次铺的完全围起来，如图2，此时共使用木板12块；第3次把第2次铺的完全围起来，如图3.
　　
(1)依此方法，第4次铺完后，共使用的木板数为多少？
(2)依此方法，第10次铺完后，共使用的木板数为多少？
(3)依此方法，第n次铺完后，共使用的木板数为多少？
解：(1)第4次铺完后，共使用的木板数为7×8＝56.
(2)第10次铺完后，共使用的木板数为19×20＝380.
(3)第n次铺完后，共使用的木板数为2n(2n－1)＝4n2－2n.
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8．我们知道形状为正五边形的地砖不能铺满地面，但某公园的一段路面是用型号相同的特殊的五边形地砖铺成的．如图是拼铺图案的一部分，其中每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于(　A　)
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A．120° B．108°
C．100° D．90°
【解析】 由题图可以看出，每一个顶点处角的个数分别有三个或四个．根据密铺的条件可知，三个等角共用一个顶点时，每个角的度数为120°；四个等角共用一个顶点时，每个角的度数为90°.又因为五边形的内角和为540°，且3×120°＋2×90°＝540°，所以五边形中相等的三个角的度数为120°.