10.1 2.轴对称的再认识
一、选择题
1．2018·广州图1中所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有( )
A．1条
B．3条
C．5条
D．无数条
图1
2．下列图形中，对称轴条数最多的是( )
A．等边三角形 B．角
C．等腰三角形 D．线段
图2
3．如图2，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，下列结论中错误的是( )
A．△AA′P是等腰三角形
B．MN垂直平分AA′，CC′
C．△ABC与△A′B′C′的面积相等
D．直线AB，A′B′的交点不一定在MN上
二、填空题
4．如图3所示的图形都是轴对称图形，图①有________条对称轴，图②有________条对称轴．
图3
5．平面上的两条相交直线是轴对称图形，它有______条对称轴，对称轴是____________________________．
图4
6．如图4，设l1，l2是两面平行且镜面相对的镜子，把一个小球A放在l1与l2之间，小球A在镜子l1中的像为A1，小球A在镜子l2中的像为A2，当A1与A2之间的距离为m厘米时，两面镜子l1，l2之间的距离为________厘米．
三、解答题
7．如图5，在你认为是轴对称图形的图形中画出其所有的对称轴．
图5
8．如图6，△ABC与△DEF关于直线l对称，请用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l.
图6
9 [探索归纳] (1)分别举出有三条对称轴、四条对称轴或者更多条对称轴的图形．
(2)图7中的图形都是正多边形．
图7
①利用观察或折纸找对称轴的方法完成下表：
正多边形的边数
3
4
5
6
7
8
…
n
对称轴的条数
…
②你有什么新的发现？用自己的语言描述；
③我国古代许多数学家都曾采用割圆术(如用正二十四边形的周长近似取代其外接圆的周长)来求圆周率．想一想，圆的对称轴有多少条？
1．[解析] C 根据轴对称图形的定义：“如果一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴”进行分析，五角星的对称轴是过中心和每个顶角的直线，共5条．故选C.
2．[答案] A
3．[解析] D △ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，A与A′为对称点，则MN垂直平分线段AA′，同理MN垂直平分线段CC′，而根据轴对称的性质，知直线AB与A′B′的交点一定在MN上．
4．[答案] 2 2
5．[答案] 2 两直线相交所形成的角的平分线所在的直线
6．[答案] m
[解析] 球与球在镜子中的像关于镜面对称，所以当A1与A2的距离为m厘米时，两面镜子之间的距离为m厘米．
7．解：如图所示．
8．解：对应线段(或延长线)交于对称轴上一点. 如图，直线l 就是所求作的对称轴．
9 解：(1)答案不唯一，略．
(2)①完成表格如下：
正多边形的边数
3
4
5
6
7
8
…
n
对称轴的条数
3
4
5
6
7
8
…
n
②正n边形(n≥3，且n是整数)的对称轴的条数和它的边数相同，即正n边形有n条对称轴．
③圆的对称轴有无数条，所有过圆心的直线(或者说直径所在的直线)都是圆的对称轴．
10.1.2 轴对称的再认识
知识点 1 线段的垂直平分线
1. 如图10－1－17，直线MN⊥线段AB，交点为O，AO＝BO，则MN是AB的________________．
图10－1－17 图10－1－18
知识点 2 线段和角的轴对称性
2．如图10－1－18所示，在△ABC中，∠B＝40°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在CB边上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为( )
A．40° B．30° C．20° D．10°
3．下列说法正确的是( )
A．长方形有且只有一条对称轴
B．垂直于线段的直线就是线段的对称轴
C．角的对称轴是角的平分线
D．角平分线所在的直线是角的对称轴
4．平面上的两条相交直线是轴对称图形，它有________条对称轴．
知识点 3 确定轴对称图形的对称轴
5．如图10－1－19是由四个四条边都相等的四边形组成的商标图案，在图中用虚线画出的6条直线中，是这个图案的对称轴的直线是( )
图10－1－19
.①②③④⑤⑥ B．①④
C．①③⑤ D．②④⑥
6．如果一个三角形有三条对称轴，那么它一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
7．下列选项中的图形均为正多边形，其中恰有4条对称轴的是( )
图10－1－20
8．如图10－1－21是一个轴对称图形，请画出它的对称轴．
图10－1－21
9．判断下列图形是不是轴对称图形．如果是，说出它有几条对称轴．
图10－1－22
【能力提升】
10．如图10－1－23，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上的点，下列判断错误的是( )
图10－1－23
A．AM＝BM
B．AP＝BN
C．∠MAP＝∠MBP
D．∠ANM＝∠BNM
11．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格：
图10－1－24
正多边形的边数
3
4
5
6
7
…
对称轴的条数
…
根据上表，猜想正n边形有________条对称轴．
12. 如图10－1－25，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确地画出它的一条对称轴(保留作图痕迹)．
图10－1－25
13．图中的大等边三角形是由9个相同的小等边三角形拼成的，将其一部分涂黑，如图10－1－26(a)，(b)所示．观察图(a)，(b)中涂黑部分构成的图案，它们具有如下性质：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小等边三角形．请你在图(c)，(d)内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个性质．
图10－1－26
14．只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法按下列要求画图：
(1)在图10－1－27①中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴．
①量出底边BC的长度，将线段BC二等分，即画出BC的中点D；
②画直线AD，即画出等腰三角形ABC的对称轴．
(2)在图②中画∠AOB的对称轴，并写出画图的方法．
图10－1－27
15.如图10－1－28所示，△ABC和△A′B′C′关于直线MN成轴对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF成轴对称．
(1)画出直线EF；
(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系．
图10－1－28
教师详解详析
1．垂直平分线
2．D 3.D 4.2
5．B [解析] 根据轴对称的性质可得．
6．A
7．B [解析] A．正三角形有3条对称轴，故此选项不合题意；
B．正方形有4条对称轴，故此选项符合题意；
C．正六边形有6条对称轴，故此选项不合题意；
D．正八边形有8条对称轴，故此选项不合题意．
故选B.
8．解：所作对称轴如图所示．
9．解：根据轴对称图形的概念“如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，可知(1)(3)(5)(6)(9)不是轴对称图形；(2)(4)(7)(8)(10)是轴对称图形．其中(2)(4)(8)有1条对称轴；(7)有4条对称轴；(10)有2条对称轴．
10．B [解析] ∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM＝BM，AN＝BN，∠ANM＝∠BNM.
∵P是直线MN上的点，
∴∠MAP＝∠MBP，
∴A，C，D正确，B错误，
故选B.
11．解：如图．
故表格中依次填3，4，5，6，7 n
12．[解析] 根据正五边形的对称性，先任意作出两条对角线相交于一点，然后过第五个顶点与这个交点作出对称轴即可．
解：如图所示，直线AK即为所求的一条对称轴(答案不唯一)．
13．略
14．[解析] (1)按题中所给的要求画图即可；
(2)∠AOB的对称轴是∠AOB平分线所在的直线．如果用度量的方法，应由(1)得到启发，作出一个等腰三角形，再连结顶角与底边的中点作直线即可．
解：(1)
(2)
画图方法：
①利用有刻度的直尺，在∠AOB的边OA，OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；
②连结CD，量出CD的长，将线段CD二等分，画出线段CD的中点E；
③画直线OE，直线OE即为∠AOB的对称轴．
15．解：(1)连结A′A″，作A′A″的垂直平分线，即为EF，画图略．
(2)∠BOB″＝2α.
