1.1.1~1.1.2 命题及四种命题 同步学案

高二数学 选修2—1 第一章 §1.1.1~1.1.2 命题及四种命题
班级 姓名
学习目标
1. 掌握命题、真命题及假命题的概念；
2. 四种命题的内在联系，能根据一个命题来构造它的逆命题、否命题和逆否命题.
学习过程
一、新课导学
※ 学习探究
1、在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的，可以 的 叫做命题.其中判断为 的语句叫做真命题，判断为 的语句叫做假命题．
练习1：下列语句中：
（1）若直线，则直线和直线无公共点； （2）
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行； （4）若，则；
（5）两个全等三角形的面积相等； （6）能被整除.
其中真命题有 ，假命题有
例1：下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?
（1）空集是任何集合的子集； （2）若整数是素数，则是奇数；
（3）指数函数是增函数吗？ （4）若空间有两条直线不相交，则这两条直线平行；
（5）； （6）.
命题有 ，真命题有 ，假命题有 .
2、命题的数学形式：“若，则”，命题中的叫做命题的 ，叫做命题的 .
例2、指出下列命题中的条件和结论：
（1）若整数能被2整除，则是偶数；
（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分.
解：（1）条件：
结论：
（2）条件：
结论：
变式1：将下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假：（口头回答）
（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；
（2）负数的立方是负数；
（3）对顶角相等.
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1、判断下列命题的真假：（口头回答）
（1）能被6整除的整数一定能被3整除；
（2）若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形；
（3）二次函数的图象是一条抛物线；
（4）两个内角等于的三角形是等腰直角三角形.
2、把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断它们的真假.（口头回答）
（1）等腰三角形两腰的中线相等；
（2）偶函数的图象关于轴对称；
（3）垂直于同一个平面的两个平面平行.
小结：判断一个语句是不是命题注意两点：（1）是否是陈述句；（2）是否可以判断真假.
3、四种命题的概念
（1）对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的 .
若原命题为：“若，则”，则逆命题为：“ ”.
（2）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的 .
若原命题为：“若，则”，则否命题为：“ ”
（3）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的 .
若原命题为：“若，则”，则否命题为：“ ”
练习2：下列四个命题：
（1）若是正弦函数，则是周期函数；
（2）若是周期函数，则是正弦函数；
（3）若不是正弦函数，则不是周期函数；
（4）若不是周期函数，则不是正弦函数.
（1）（2）互为 关系 （1）（3）互为 关系
（1）（4）互为 关系 （2）（3）互为 关系
例3、命题：“已知、、、是实数，若，则”.写出逆命题、否命题、逆否命题.
逆命题：
否命题：
逆否命题：
变式2：设原命题为“已知、是实数，若是无理数，则、都是无理数”，口头回答它的逆命题、否命题、逆否命题.
练习3：口头回答下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假：
（1）若一个整数的末位数是0，则这个整数能被5整除；
（2）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；
（3）奇函数的图像关于原点对称.
三、总结提升：
※ 学习小结
命题
表述形式
原命题
若,则
逆命题
若,则
否命题
若?,则?
逆否命题
若?,则?

课后作业
1．下列语句不是命题的有(　　)
①2<1；②x<1；③函数f(x)＝x2是R上的偶函数．
A．0个　 　B．1个 C．2个 D．3个
2．下列命题，是真命题的是(　　)
A．若ab＝0，则a2＋b2＝0 B．若a>b，则ac>bc
C．若M∩N＝M，则N?M D．若M?N，则M∩N＝M
3．下列命题中真命题的个数为(　　)
①面积相等的两个三角形是全等三角形； ②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a>b，则a＋c>b＋c； ④矩形的对角线互相垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列说法正确的是(　　)
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
5．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(　　)
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
6．命题“若a?A，则b∈B”的否命题是(　　)
A．若a?A，则b?B B．若a∈A，则b?B C．若b∈B，则a?A D．若b?B，则a?A
7．命题“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的(　　)
A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题 D．等价命题
8．(2011·高考山东卷)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　　)
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3 B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
9．命题“末位数字是0或5的整数，能被5整除”，条件p：__________；结论q：__________；是__________命题．(填“真”或“假”)
10．下面语句中，是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．
①有两个内角之和大于90°的三角形是锐角三角形吗？ ②sin＞cos；
③x＋y是有理数，则x，y都是有理数； ④把函数y＝2x的图象向上平移一个单位长度．
11．给定下列命题：
①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根； ②若a>b，则a－c>b－c；
③对角线相等的四边形是矩形．
其中真命题的序号是__________．
12．指出下列命题的条件与结论：
(1)负数的平方是正数；(2)若a＞0，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
13．判断下列命题的真假．
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有最大值；(2)正项等差数列的公差大于零；
(3)函数y＝的图象关于原点对称．
14．已知命题P：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题P的否命题；(2)判断命题P的否命题的真假，并证明你的结论．
选修2—1 第一章 §1.1 命题及其关系参考答案
1、解析：选B.①③可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题．
2、解析：选D.A中，a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B中，c≤0时不成立；C中，M∩N＝M说明M?N.故A、B、C皆错误．
3、解析：选A.①错；②错，若xy＝0，则x，y至少有一个为0，而未必|x|＋|y|＝0；③对，不等式两边同时加上同一个常数，不等号开口方向不变；④错．
4、解析：选D.将命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：如果两个角都是直角，那么这两个角相等，所以选项A是错误的；语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根．”是陈述句而且可以判断真假，并且是假的，所以选项B是错误的；选项C是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D是正确的．
5、解析：选D.命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.
6、解析：选B.命题“若p，则q”的否命题是“若﹁p，则﹁q”，“∈”与“?”互为否定形式．
7、解析：选A.将条件和结论互换，得到的是逆命题．
8、解析：选A.由于一个命题的否命题既否定条件又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3”．
9、解析：“末位数字是0或5的整数，能被5整除”改写成“若p，则q”的形式为：若一个整数的末位数是0或5，则这个数能被5整除，为真命题．
答案：末位数字是0或5的整数　能被5整除　真
10、解析：①是疑问句，④不能判断真假，它们都不是命题，③可举一个反例，如：x＝1＋，y＝1－满足x＋y是有理数，但x，y不是有理数，所以③是假命题．
答案：②③　②
11、解析：①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故为真命题；②显然为真命题；③也可能是等腰梯形．
答案：①②
12、解：(1)可表述为：“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”，条件为：“一个数是负数”，结论为：“这个数的平方是正数”．
(2)可表述为“当a＞0时，若函数y＝ax＋b的x增大，则函数的值也增大”．条件是：“a＞0，函数y＝ax＋b的x增大”，结论为：“函数的值也增大”．
13、解：(1)假命题．当a>0时，抛物线开口向上，有最小值，无最大值．
(2)假命题．反例：如正项等差数列20,17,14,11,8,5,2，它的公差是－3.
(3)真命题．y＝是奇函数，所以其图象关于(0,0)对称．
14、解：(1)命题P的否命题为：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．”
(2)命题P的否命题是真命题．
证明如下：
∵ac<0，
∴－ac>0?Δ＝b2－4ac>0，
∴二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
∴该命题是真命题．