1.1.3四种命题间的相互关系 同步学案

高二数学 选修2—1 第一章 §1.1.3四种命题间的相互关系
班级 姓名
学习目标
1．掌握四种命题的内在联系；
2．能分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系，并能利用等价关系转化．
学习过程
一、课前准备
复习1：四种命题
命题
表述形式
原命题
若,则
逆命题
否命题
逆否命题
复习2：判断命题“若，则有实根”的逆命题的真假．
二、新课导学
※ 学习探究
1、分析下列四个命题之间的关系
（1）若是正弦函数，则是周期函数；
（2）若是周期函数，则是正弦函数；
（3）若不是正弦函数，则不是周期函数；
（4）若不是周期函数，则不是正弦函数．
（1）（2）互为 （1）（3）互为
（1）（4）互为 （2）（3）互为
通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系：
2、四种命题的真假性
例1、以“若，则”为原命题，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假并总结其规律性．
通过上例真假性可总结如：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
假
假
四上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
练习：判断下列命题的真假．
（1）命题“在中，若，则”的逆命题；（ ）．
（2）命题“若，则且”的否命题；（ ）．
（3）命题“若且，则”的逆否命题；（ ）．
（4）命题“若且，则”的逆命题. （ ）．
反思：（1）直接判断（2）互为逆否命题的两个命题等价来判断．
※ 典型例题
例2、证明:若，则．
变式1：证明：若，则．
例3、已知函数在上是增函数,,对于命题“若，
则.”
（1）写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
（2）写出其逆否命题, 判断其真假，并证明你的结论．
课后作业
一、基础训练题
1．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
2．原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是(　　)
A．原命题是真命题　　　　　　 B．逆命题是假命题
C．否命题是真命题 D．逆否命题是真命题
3．下列四个命题中：
①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；
②“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题；
③“全等三角形的面积相等”的否命题；
④“若ab≠0，则a≠0”的否命题．
其中真命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
4．命题“若?p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是(　　)
A．若p，则?q B．若q，则?p C．若?q，则p D．若?q，则?p
5．已知命题①若a>b，则<，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确的是(　　)
A．①的逆命题为真 B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真 D．②的逆否命题为真
6．“若x2＝y2，则x＝－y”的逆命题是________命题，否命题是________命题．(填“真”或“假”)
7．给出下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；
④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
8．判断下列命题的真假：
(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；
(2)“若自然数能被6整除，则自然数能被2整除”的逆命题．
二、提高训练题
9．在公比为q的等比数列{an}中，前n项的和为Sn，若Sm、Sm＋2、Sm＋1成等差数列，则am、am＋2、
am＋1成等差数列．
(1)写出这个命题的逆命题；
(2)判断公比q为何值时，逆命题为真？公比q为何值时，逆命题为假？
选修2—1 第一章 §1.1.3四种命题间的相互关系参考答案
1、答案：　B
2、答案：　C
3、解析：　①②正确，③④错误．
答案：　C
4、解析：　“若?p，则q”的逆否命题为“若?q，则p”．
答案：　C
5、解析：　命题①是假命题，其逆命题为<，则a>b，是假命题．故A、C错误．命题②是真命题，其逆命题为假命题，逆否命题为真命题．故选D.
答案：　D
6、解析：　若x2＝y2，则x＝－y的逆命题为：若x＝－y，则x2＝y2，是真命题；否命题为：若x2≠y2，则x≠－y，是真命题．
答案：　真　真
7、解析：　①否命题：若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题；
②逆命题：若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，真命题；
③因为命题“若a>b>0，则>>0”是真命题，故其逆否命题为真命题；
④逆命题：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1，假命题．
所以应填①②③.
答案：　①②③
8、解：(1)逆命题：若x∈B，则x∈A∪B.根据集合“并”的定义，逆命题为真．逆否命题：若x?B，则x?A∪B.逆否命题为假．如2?{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B.
(2)逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被6整除．逆命题为假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．
9、解：(1)逆命题：在公比为q的等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am、am＋2、am＋1成等差数列，则Sm、Sm＋2、Sm＋1成等差数列．
(2)由{an}为等比数列，∴an≠0，q≠0.
由am、am＋2、am＋1成等差数列，得2am＋2＝am＋am＋1，
∴2am·q2＝am＋am·q，∴2q2－q－1＝0.
解得q＝－或q＝1.
当q＝1时，an＝a1(n＝1,2，…)，
∴Sm＋2＝(m＋2)a1，Sm＝ma1，Sm＋1＝(m＋1)a1.
∵2(m＋2)a1≠ma1＋(m＋1)a1，
即2Sm＋2≠Sm＋Sm＋1，
∴Sm、Sm＋2、Sm＋1不成等差数列．
即q＝1时，原命题的逆命题为假命题．
当q＝－时，2Sm＋2＝2·，
Sm＋1＝，Sm＝，
∴2Sm＋2＝Sm＋1＋Sm.
∴Sm、Sm＋2、Sm＋1成等差数列．
即q＝－时，原命题的逆命题为真命题．