1.2充分条件与必要条件 同步学案

高二数学 选修2—1 第一章 §1.2充分条件与必要条件
班级 姓名
学习目标
1. 理解必要条件和充分条件的意义；
2. 能判断两个命题之间的关系.
3. 掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性.
学习过程
一．课前准备：
1．一般地，命题“若p则q”为真，记作“pq”； “若p则q”为假，记作“p q” ．
2．前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假．
（1）若，则 （ ）
（2）若，则 （ ）
（3）若，则 （ ）
（4）若 或，则 （ ）
（5）若两个三角形相似，则这两个三角形对应角相等 （ ）
二．探索新知：
探究（一）：上面命题的条件和结论有什么关系？
命题（1）中 ； ；
命题（2）中 ； ；
命题（3）中 ； ；
命题（4）中 或 ；
或；
命题（5）中两个三角形相似 这两个三角形对应角相等；
两个三角形对应角相等 两个三角形相似．
新知（一）
一般地，如果 ，那么称p是q的充分条件；同时称q是p的必要条件；
如果 ，且 ，那么称p是q的充分必要条件，
简记为p是q的充要条件，记作 ；
如果 ，且 ，那么称p是q的充分不必要条件；
如果 ，且 ，那么称p是q的必要不充分条件；
如果 ，且 ，那么称p是q的既不充分又不必要条件．
动手试试（一）：
在横线上填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要
1．如果：，：，则是的 条件；
2．“”是“”的 条件；
3．“”是“”的 条件；
4．“”是“”的 条件；
5．若 是两个非零向量，则“”是“” 的 条件；
6．“两条直线不相交”是“这两条直线是异面直线” 的 条件。
例1、
变式1：求关于的不等式恒成立的充要条件．
探究（二）：从命题的观点来看“，则p是q的充分条件”
给定两个条件，要判断p是q的什么条件，也可考虑集合：
，
条件，,相当于 ；
条件，,相当于 ；
条件，相当于 ．
例2、 条件.
例3、已知：，：，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围．
学习评价
在横线上填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要：
1．“和都是偶数”是“是偶数”的 条件．
2．“”是“”的 条件．
3．“直线与平面内无数条直线垂直”是“”的 条件．
4．“”是“函数为偶函数” 的 条件．
5．“”是“”的 条件．
6．“”是“”的 条件．
7．“”是“”的 条件．
课后作业
一、基础训练题
1．“a>b”是“a>|b|”的(　　)
A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知p：α≠β，q：cos α≠cos β，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知p：x2－x＜0，那么命题p的一个必要非充分条件是(　　)
A．0＜x＜1 B．－1＜x＜1 C.＜x＜ D.＜x＜2
6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的__________条件．
7．已知p：1－x＜0，q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
8．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?
(1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；
(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(4)p：△ABC中，∠A≠30°，q：sin A≠.
9．求证：0≤a<是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．
二、提高训练题
10．设集合A＝，B＝{x|011．已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3＜0}，若x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn＝(n＋1)2＋c，探究{an}是等差数列的充要条件．
选修2—1 第一章 §1.2充分条件与必要条件参考答案
解析：由a>|b|?a>b，而a>b a>|b|.
答案：B
2、解析：选B.﹁p：α＝β；﹁q：cos α＝cos β，
显然﹁p?﹁q成立，但﹁q ﹁p，
∴﹁q是﹁p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件．
答案：B
3、解析：　∵x≥2且y≥2，
∴x2＋y2≥4，
∴x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分条件；
而x2＋y2≥4不一定得出x≥2且y≥2，例如当x≤－2且y≤－2时，x2＋y2≥4亦成立，故x≥2且y≥2不是x2＋y2≥4的必要条件．
答案：　A
4、解析：　由题意得：
故D是A的必要不充分条件
答案：　B
5、解析：选B.x2－x＜0?0＜x＜1，运用集合的知识易知．
A中0＜x＜1是p的充要条件；
B中－1＜x＜1是p的必要条件；
C中＜x＜是p的充分条件；
D中＜x＜2是p的既不充分也不必要条件．应选B.
6、解析：因为逆否命题为假，那么原命题为假，即A B，
又因否命题为真，所以逆命题为真，即B?A，
所以A是B的必要不充分条件．
7、解析：p：x＞1，若p是q的充分不必要条件，则p?q，但qp，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a＜1.
答案：(－∞，1)
8、解：(1)△ABC中，∵b2>a2＋c2，∴cos B＝<0，∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之，若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2∴p?q，q p，故p是q的充分不必要条件．
(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，
∴p q，q?p，故p是q的必要不充分条件．
(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故p?q，若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q?p，所以p是q的充要条件．
(4)转化为△ABC中sin A＝是∠A＝30°的什么条件．
∵∠A＝30°?sin A＝，
但是sin A＝ ∠A＝30°，
∴△ABC中sin A＝是∠A＝30°的必要不充分条件，
即p是q的必要不充分条件．
9、证明：　充分性：∵0∴Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a＝a(5a－4)<0，
则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0可变成1>0.
显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
必要性：∵ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，
∴a＝0或
解得0≤a<.
故0≤a＜是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．
10、解析：　A＝＝{x|0m∈A?m∈B，m∈B?/ m∈A.
∴“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．
答案：　充分不必要
11、解：由题意知，Q＝{x|1＜x＜3}，Q?P，
∴解得－1≤a≤5.
∴实数a的取值范围是[－1,5]．
12、解：当{an}是等差数列时，
∵Sn＝(n＋1)2＋c，
∴当n≥2时，Sn－1＝n2＋c，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
∴an＋1－an＝2为常数．
又a1＝S1＝4＋c，∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，
∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2.
∴c＝－1，反之，当c＝－1时，Sn＝n2＋2n，可得an＝2n＋1(n≥1)为等差数列，
∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.