2020版高中数学新人教B版必修3课件：第一章算法初步1.3中国古代数学中的算法案例（23张PPT）
文档属性
| 名称 | 2020版高中数学新人教B版必修3课件：第一章算法初步1.3中国古代数学中的算法案例（23张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-31 18:32:25 | ||
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文档简介
课件23张PPT。1.3 中国古代数学中的算法案例第一章 算法初步学习目标
1.理解更相减损之术中的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.
2.理解割圆术中蕴含的数学原理.
3.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质.
4.对简单的案例能设计程序框图并写出算法.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 更相减损之术更相减损之术的运算步骤
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 .若是，用 约简；若不是，执行 .
第二步，以 的数减去 的数，接着把所得的差与 的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数 为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.偶数2第二步较大较小较小相等知识点二 割圆术1.割圆术的算法
S1 假设圆的半径为1，面积为S，圆内接正n边形面积为Sn，边长为xn，边心距为hn，先从圆内接正六边形的面积开始算起，即n＝6，则正六边形的面积S6＝6× ；
S2 利用公式S2n＝Sn＋n· ·xn(1－hn)重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形…的面积.因为圆的半径为1，所以随着n的增大，S2n的值不断趋近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率近似值.2.割圆术的算法思想
刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步地逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值.用刘徽自己的话概括就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”思考 衡量一个算法是否优秀的重要参数是速度.把多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1变形为f(x)＝((((x＋1)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，然后求当x＝5时的值，为什么比常规逐项计算省时？知识点三 秦九韶算法答案 从里往外计算，充分利用已有成果，可减少重复计算.梳理 秦九韶算法的一般步骤：
把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：
(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算
一次多项式的值，即v1＝ ，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v2＝ ，
v3＝ ，
…
vn＝ ，
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求 的值.最内层括号内anx＋an－1v1x＋an－2v2x＋an－3vn－1x＋a0n个一次多项式[思考辨析 判断正误]
1.辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数.( )
2.求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法.( )
3.编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句.( )√×√题型探究例1 试用更相减损之术求612,396的最大公约数.题型一 更相减损之术解答解 方法一 612÷2＝306,396÷2＝198,306÷2＝153,198÷2＝99，
∴153－99＝54,99－54＝45,54－45＝9,45－9＝36,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9.
所以612,396的最大公约数为9×22＝36.
方法二 612－396＝216,396－216＝180,216－180＝36,180－36＝144,144－36＝108,108－36＝72,72－36＝36.
故36为612,396的最大公约数.反思与感悟 用更相减损之术的算法步骤：
第一步，给定两个正整数m，n，不妨设m＞n.
第二步，若m，n都是偶数，则不断用2约简，使它们不同时是偶数，约简后的两个数仍记为m，n.
第三步，d＝m－n.
第四步，判断“d≠n”是否成立，若是，则将n，d中的较大者记为m，较小者记为n，返回第三步；否则，2kd(k是约简整数2的个数)为所求的最大公约数.跟踪训练1 用更相减损之术求261和319的最大公约数.解答解 ∵319－261＝58，
261－58＝203，
203－58＝145，
145－58＝87，
87－58＝29，
58－29＝29，
∴319与261的最大公约数为29.解 将f(x)改写为
f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8，
由内向外依次计算一次多项式当x＝5时的值：
v0＝4；v1＝4×5＋2＝22；
v2＝22×5＋3.5＝113.5；
v3＝113.5×5－2.6＝564.9；
v4＝564.9×5＋1.7＝2 826.2；
v5＝2 826.2×5－0.8＝14 130.2.
∴当x＝5时，多项式的值为14 130.2.题型二 秦九韶算法的基本思想例2 已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值.解答反思与感悟 秦九韶算法之所以优秀，一是其对所有多项式求值都适用，二是充分利用已有计算成果，效率更高.跟踪训练2 用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值.解答解 f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，
所以有v0＝7，
v1＝7×3＋6＝27，
v2＝27×3＋5＝86，
v3＝86×3＋4＝262，
v4＝262×3＋3＝789，
v5＝789×3＋2＝2 369，
v6＝2 369×3＋1＝7 108，
v7＝7 108×3＝21 324.
故当x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.达标检测答案解析1.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为
A.10 B.9
C.12 D.8√123解析 f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，
∴做加法6次，乘法6次，
∴6＋6＝12(次)，故选C.解答2.已知f(x)＝2x3＋x－3，用秦九韶算法求当x＝3时v2的值.123解 f(x)＝2x3＋x－3＝2x3＋0·x2＋x－3
＝((2x＋0)x＋1)x－3，
v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，
v2＝6×3＋1＝19.3.用更相减损之术求1 734和816的最大公约数.123解答解 因为1 734和816都是偶数，所以分别除以2得867和408.
867－408＝459,459－408＝51,408－51＝357，
357－51＝306,306－51＝255,255－51＝204，
204－51＝153,153－51＝102,102－51＝51.
所以867和408的最大公约数是51，
故1 734和816的最大公约数是51×2＝102.1.更相减损之术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数.
2.用秦九韶算法求多项式f(x)当x＝x0的值的思路为(1)改写；
(2)计算
(3)结论f(x0)＝vn.
1.理解更相减损之术中的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.
2.理解割圆术中蕴含的数学原理.
3.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质.
4.对简单的案例能设计程序框图并写出算法.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 更相减损之术更相减损之术的运算步骤
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 .若是，用 约简；若不是，执行 .
第二步，以 的数减去 的数，接着把所得的差与 的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数 为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.偶数2第二步较大较小较小相等知识点二 割圆术1.割圆术的算法
S1 假设圆的半径为1，面积为S，圆内接正n边形面积为Sn，边长为xn，边心距为hn，先从圆内接正六边形的面积开始算起，即n＝6，则正六边形的面积S6＝6× ；
S2 利用公式S2n＝Sn＋n· ·xn(1－hn)重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形…的面积.因为圆的半径为1，所以随着n的增大，S2n的值不断趋近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率近似值.2.割圆术的算法思想
刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步地逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值.用刘徽自己的话概括就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”思考 衡量一个算法是否优秀的重要参数是速度.把多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1变形为f(x)＝((((x＋1)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，然后求当x＝5时的值，为什么比常规逐项计算省时？知识点三 秦九韶算法答案 从里往外计算，充分利用已有成果，可减少重复计算.梳理 秦九韶算法的一般步骤：
把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：
(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算
一次多项式的值，即v1＝ ，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v2＝ ，
v3＝ ，
…
vn＝ ，
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求 的值.最内层括号内anx＋an－1v1x＋an－2v2x＋an－3vn－1x＋a0n个一次多项式[思考辨析 判断正误]
1.辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数.( )
2.求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法.( )
3.编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句.( )√×√题型探究例1 试用更相减损之术求612,396的最大公约数.题型一 更相减损之术解答解 方法一 612÷2＝306,396÷2＝198,306÷2＝153,198÷2＝99，
∴153－99＝54,99－54＝45,54－45＝9,45－9＝36,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9.
所以612,396的最大公约数为9×22＝36.
方法二 612－396＝216,396－216＝180,216－180＝36,180－36＝144,144－36＝108,108－36＝72,72－36＝36.
故36为612,396的最大公约数.反思与感悟 用更相减损之术的算法步骤：
第一步，给定两个正整数m，n，不妨设m＞n.
第二步，若m，n都是偶数，则不断用2约简，使它们不同时是偶数，约简后的两个数仍记为m，n.
第三步，d＝m－n.
第四步，判断“d≠n”是否成立，若是，则将n，d中的较大者记为m，较小者记为n，返回第三步；否则，2kd(k是约简整数2的个数)为所求的最大公约数.跟踪训练1 用更相减损之术求261和319的最大公约数.解答解 ∵319－261＝58，
261－58＝203，
203－58＝145，
145－58＝87，
87－58＝29，
58－29＝29，
∴319与261的最大公约数为29.解 将f(x)改写为
f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8，
由内向外依次计算一次多项式当x＝5时的值：
v0＝4；v1＝4×5＋2＝22；
v2＝22×5＋3.5＝113.5；
v3＝113.5×5－2.6＝564.9；
v4＝564.9×5＋1.7＝2 826.2；
v5＝2 826.2×5－0.8＝14 130.2.
∴当x＝5时，多项式的值为14 130.2.题型二 秦九韶算法的基本思想例2 已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值.解答反思与感悟 秦九韶算法之所以优秀，一是其对所有多项式求值都适用，二是充分利用已有计算成果，效率更高.跟踪训练2 用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值.解答解 f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，
所以有v0＝7，
v1＝7×3＋6＝27，
v2＝27×3＋5＝86，
v3＝86×3＋4＝262，
v4＝262×3＋3＝789，
v5＝789×3＋2＝2 369，
v6＝2 369×3＋1＝7 108，
v7＝7 108×3＝21 324.
故当x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.达标检测答案解析1.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为
A.10 B.9
C.12 D.8√123解析 f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，
∴做加法6次，乘法6次，
∴6＋6＝12(次)，故选C.解答2.已知f(x)＝2x3＋x－3，用秦九韶算法求当x＝3时v2的值.123解 f(x)＝2x3＋x－3＝2x3＋0·x2＋x－3
＝((2x＋0)x＋1)x－3，
v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，
v2＝6×3＋1＝19.3.用更相减损之术求1 734和816的最大公约数.123解答解 因为1 734和816都是偶数，所以分别除以2得867和408.
867－408＝459,459－408＝51,408－51＝357，
357－51＝306,306－51＝255,255－51＝204，
204－51＝153,153－51＝102,102－51＝51.
所以867和408的最大公约数是51，
故1 734和816的最大公约数是51×2＝102.1.更相减损之术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数.
2.用秦九韶算法求多项式f(x)当x＝x0的值的思路为(1)改写；
(2)计算
(3)结论f(x0)＝vn.