10.2 2.平移的特征
一、选择题
1．如图1，若△DEF是由△ABC经过平移得到的，点B，E，C，F在同一直线上，点A，D之间的距离为1，CE＝2，则BC的长是 ( )
A．3 B．1
C．2 D．不确定
图1 图2
2．如图2，将三角尺ABC沿BC方向平移到三角尺A′CC′的位置．已知∠B＝30°，∠ACB＝90°，则∠BAA′的度数为( )
A．100° B．120° C．150° D．160°
3．如图3所示，将△ABC沿着XY方向平移一定的距离得到△MNL，则下列结论中正确的有( )
①AM∥BN；②AM＝BN；③BC＝ML；④∠ACB＝∠MNL.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
图3 图4
4．如图4，将△ABE沿BE的方向平移2 cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16 cm，那么四边形ABFD的周长是( )
A．16 cm B．18 cm
C．20 cm D．21 cm
5．如图5，△ABC与△A1B1C1关于直线l对称，将△A1B1C1向右平移得到△A2B2C2，由此得出下列结论：(1)AB∥A2B2；(2)∠A＝∠A2；(3)AB＝A2B2.其中正确的是( )
图5
A．(1)(2) B．(2)(3)
C．(1)(3) D．(1)(2)(3)
6．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图6所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的模型，则所用铁丝的长度关系是( )
图6
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
二、填空题
7．如图7，将△ABC 沿直线AB向右平移到△BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为________．
图7 图8
8．如图8，△ABC沿直线BC向左平移2 cm得到△DEF，如果AB＝4 cm，AC＝3 cm，EC＝1 cm，那么EF＝________cm，DE＝________cm，DF＝________cm，CF＝________cm.
图9
9．如图9，已知线段DE是由线段AB平移得到的，AB＝DC＝4 cm，EC＝5 cm，则△DCE的周长是________cm.
10．如图10，边长为4 cm的正方形ABCD先向上平移2 cm，再向右平移1 cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为________cm2.
图10
11．如图11所示，半圆AB沿x轴正方向平移到半圆CD的位置时所扫过的面积为________．
图11
三、解答题
12．如图12，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到△A1B1C1.
(1)在网格中画出△A1B1C1；
(2)计算线段AC在变换到A1C1的过程中扫过区域的面积(重叠部分不重复计算)．
图12
13．如图13，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF.若AE＝8 cm，DB＝2 cm.
(1)求△ABC向右平移的距离．
(2)求四边形AEFC的周长．
图13
14．如图14，网格中有一条小船．
(1)若把小船平移，使点A平移到点B处，请你在图中画出平移后的小船；
(2)若该小船先从点A航行到岸边l上的点P处，再航行到点B处，要求航程最短，试在图中画出点P的位置．
图14
15 探究与创新：如图15所示的长方形的长为m，宽为n，在图①中，将线段A1A2向右平移1到B1B2的位置，得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分)．
图15
在图②中，将折线A1A2A3向右平移1到B1B2B3的位置，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分)．
(1)请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1＝________，S2＝________；
(2)如图16，在一块长为m，宽为n的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1)，请你猜想空白部分表示的草地的面积是多少，并说明你的猜想是正确的．
图16
1．[解析] A 根据平移的特征，可知AD＝BE＝CF＝1.因为CE＝2，所以BC＝BE＋CE＝1＋2＝3.
2．[解析] C ∵△ABC平移得到△A′CC′，∴AA′∥BC.∵∠B＝30°，∴∠BAA′＝180°－∠B＝180°－30°＝150°.
3．[解析] B 根据平移的特征可得AM∥BN，AM＝BN，BC＝NL，∠ACB＝∠MLN，所以①②正确，③④错误．
4．[解析] C ∵△ABE沿点B到点E的方向平移2 cm得到△DCF，∴EF＝AD＝2 cm，DF＝AE.∵△ABE的周长为16 cm，∴AB＋BE＋AE＝16 cm，∴四边形ABFD的周长＝AB＋BE＋EF＋DF＋AD＝AB＋BE＋AE＋EF＋AD＝16＋2＋2＝20(cm)．
5．[答案] B
6．[解析] D 由图形可得出：甲所用铁丝的长度为2a＋2b，乙所用铁丝的长度为2a＋2b，丙所用铁丝的长度为2a＋2b，故三种方案所用铁丝一样长．
7．[答案] 30°
[解析] 因为三角形平移前后的对应角相等，
所以∠EBD＝∠CAB＝50°，所以∠CBE＝180°－50°－100°＝30°.
8．[答案] 3 4 3 2
9．[答案] 13
[解析] ∵线段DE是由线段AB平移得到的，∴DE＝AB＝4 cm，
∴△DCE的周长＝DE＋EC＋DC＝4＋5＋4＝13(cm)．
10．[答案] 6
[解析] ∵边长为4 cm的正方形ABCD先向上平移2 cm，
∴阴影部分的宽为4－2＝2(cm)．
∵向右平移1 cm，
∴阴影部分的长为4－1＝3(cm)，
∴阴影部分的面积为3×2＝6(cm2)．
11．[答案] 6
[解析] 由图可知：扫过的面积＝2×3＝6.
12．解：(1)△A1B1C1如图所示．
(2)线段AC在变换到A1C1的过程中扫过区域的面积为4×2＋3×2＝8＋6＝14.
13．解：(1)∵△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，∴AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3 cm.
∵AE＝8 cm，DB＝2 cm，
∴AD＝BE＝＝3(cm)．
即△ABC向右平移的距离为3 cm.
(2)由(1)知CF＝AD＝3 cm，
∴四边形AEFC的周长是AE＋EF＋CF＋AC＝8＋3＋3＋4＝18(cm)．
14．解：(1)平移后的小船如图所示．
(2)如图，点A′与点A关于直线l成轴对称，连结A′B交直线l于点P，则点P即为所求．
15 解：(1)mn－n mn－n
(2)猜想：依据前面的计算，可以猜想草地的面积仍然是mn－n.
理由：将小路左侧的草地向右平移1得到一个新的长方形，在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是n，其水平方向的长变成了m－1，所以草地的面积是n(m－1)＝mn－n.
10.2.2 平移的特征
知识点 1 平移的特征
1．如图10－2－15所示，将△MCD平移至△NBA.
(1)图中平行且相等的线段有__________________________________；
(2)图中相等的角有____________________________________(写出三对即可)；
(3)能够完全重合的三角形是____________．
图10－2－15 图10－2－16
2．如图10－2－16所示，将△ABC平移后得到△DEF，已知∠B＝35°，∠A＝85°，则∠DEF＝________，∠D＝________，∠F＝________．
3．如图10－2－17，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1＝50°，则∠2的度数是( )
A．40° B．50° C．90° D．130°
图10－2－17 图10－2－18
4．如图10－2－18，已知△ABC平移后得到△DEF，则下列说法中，不正确的是( )
A．AC＝DF B．BC∥EF
C．平移的距离是线段BD的长D．∠C＝∠F
5．如图10－2－19所示，把四边形ABCD沿射线BC的方向平移到四边形EFGH的位置，若BC＝4，FC＝1，则CG的长度为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
图10－2－19 图10－2－20
6．如图10－2－20，△DEF是由△ABC通过平移得到的，且点B，E，C，F在同一条直线上．若BF＝14，EC＝6，则BE的长度是( )
A．2 B．4 C．5 D．3
7．如图10－2－21，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，将△ABC平移到△DEF的位置．
(1)指出平移的方向和平移的距离；
(2)试证明：AD＋BC＝BF.
图10－2－21
知识点 2 平移作图
8．如图10－2－22所示，△ABC的边AB平移到了A′B′，作出平移后的三角形，并写出作图方法．
图10－2－22
9．如图10－2－23，在网格中已知△ABC，将点A平移到点P，画出△ABC平移后的△A′B′C′.说说你是怎么平移的．
图10－2－23
【能力提升】
10．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图10－2－24所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是( )
图10－2－24
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
11．如图10－2－25，点O在直线PQ上，∠AOP＝20°，将∠AOB沿PQ方向平移一段距离后得到∠A′O′B′，且有∠B′O′Q＝40°，则∠AOB的度数为________．
图10－2－25
图10－2－26
12．如图10－2－26，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移的距离为2，则四边形ABED的面积等于________．
13．为了迎接元旦，某商场要给门口的楼梯铺上地毯，数据如图10－2－27所示，共需地毯多长？
图10－2－27
14．如图10－2－28所示，在长方形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝6 cm，则将长方形ABCD沿着AB方向平移多少距离才能使平移后的长方形与原来的长方形ABCD重叠部分的面积为18 cm2?
图10－2－28
15．如图10－2－29，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC(顶点是网格线的交点)．
(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
(2)将△ABC向左平移3格，再向下平移5格，画出平移得到的△A2B2C2.
图10－2－29
16．如图10－2－30①，△A′OB是将等腰直角三角形AOB的顶点A经过一次变换后所得的等腰直角三角形，请在图②③中，保持O，B位置不动，对点A经过一次(或一组)变换，使变换后的△A′OB仍是等腰直角三角形．要求：作出△A′OB，并写出点A的变换方式．
方式1：把点A向下平移4个单位；
方式2：______________________________；
方式3： _______________________________.
图10－2－30
教师详解详析
1．(1)CM与BN，MD与NA，CD与BA，CB与MN，MN与DA，CB与DA
(2)∠CMD与∠BNA，∠CDM与∠BAN，∠DCM与∠ABN，∠MCB与∠MNB，∠ADM与∠ANM，∠CMN与∠CBN，∠DMN与∠DAN等(任选三对即可)
(3)△MCD和△NBA
[解析] 图形经过平移之后，对应线段在同一直线上或互相平行，对应点的连线在同一直线上或互相平行．
2．35° 85° 60°
3．B 4.C 5.B 6.B
7．解：(1)答案不唯一，如平移的方向是点A到点D的方向，平移的距离是线段AD的长度．
(2)证明：因为△ABC平移到△DEF的位置，所以CF＝AD.因为CF＋BC＝BF，所以AD＋BC＝BF.
8．解：如图所示．
作法：(1)连结AA′；
(2)过点C作AA′的平行线，并截取CC′＝AA′；
(3)连结A′C′，B′C′，则△A′B′C′即为所求．
9．解：如图所示，△A′B′C′即为所求．
△A′B′C′是由△ABC先向左平移5格，再向上平移2格得到的．(平移方法不唯一)
10．D [解析] 三个图形通过平移线段都可以得到长为a，宽为b的长方形，其周长相等，所以要用铁丝的长度一样．故选D.
11．120° [解析] ∵将∠AOB沿PQ方向平移一段距离后得到∠A′O′B′，∴OB∥O′B′，∴∠BOQ＝∠B′O′Q＝40°，∴∠AOB＝180°－∠AOP－∠BOQ＝180°－20°－40°＝120°.
12．8
13．[解析] 由于台阶级数未知，每级台阶的宽和高也未知，故无法直接求解．若采用平移的方法，把台阶宽都移到水平线上，台阶高都移到铅垂线上，这样所铺地毯的总长就等于整个台阶的水平宽度和铅直高度之和．
解：共需地毯的长度为8＋4＝12(m)．
14．解：设AE＝x cm，则BE＝AB－AE＝(10－x)cm.
∵BC＝6 cm，∴6×(10－x)＝18，
解得x＝7，∴平移的距离为7 cm.
15．解：(1)△A1B1C1如图所示．
(2)△A2B2C2如图所示．
16．解：如图：
方式2：把点A先向下平移3个单位，再向右平移1个单位
方式3：把点A向右平移2个单位
变换方式不唯一，还有：方式4：把点A向下平移1个单位，再向右平移1个单位；
方式5：把点A向下平移4个单位，再向右平移2个单位．
