10.3.2旋转的特征 导学案（含答案）

2.旋转的特征
教学目标
1．理解旋转的特征及其证明方法．
2．能进行旋转作图．
情景问题引入
如图，请同学们尝试用自己的语言来描述以下旋转．
图①：在同一平面内，点__A__绕着定点O旋转某一角度得到点B；
图②：在同一平面内，线段__AB__绕着定点O旋转某一角度得到线段CD；
图③：在同一平面内，__△ABC__绕着定点O旋转某一角度得到△DEF.
[学生用书P100]
1．旋转的特征
特　　征：图形中每一点都绕着__旋转中心__按同一旋转方向旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离__相等__，对应线段__相等__，对应角__相等__，__图形的形状与大小__不变．
2．旋转作图
步骤和方法：(1) 确定旋转中心、旋转方向与旋转角；
(2) 找出图形的关键点；
(3) 将图形的关键点和旋转中心连结起来，然后按照旋转方向将它们旋转一个旋转角的度数，得到这些关键点的对应点；
(4) 按照原图形顺次连结这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形．
[学生用书P100]
类型之一　旋转的特征
如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A＝27°，∠B＝40°，则∠ACB′＝__46__度．
类型之二　旋转作图
　[2017·宁波]在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形(画出一个即可)；
(2)将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．
,图1)　　,图2)
解： (1)如答图1所示，画出其中一种情况即可．
　　,答图1)
(2)如答图2所示．
,答图2)
【点悟】 旋转不改变图形的形状与大小，旋转作图时要抓住旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等这些性质．
类型之三　 旋转证明
　如图，在正方形ABCD中，点F在边BC上， 点E在边BA的延长线上．
(1)若△DCF按顺时针方向旋转后恰好与△DAE重合．那么旋转中心是哪个点？旋转角是多少？
(2)在(1)的条件下，若AE＝3, BF＝2，求四边形BFDE的面积．
解：(1)∵△DCF按顺时针方向旋转后恰好与△DAE重合，
∴DA与DC重合，则旋转角为∠CDA＝90°，
∴旋转中心是点 D，旋转角是90°.
(2)∵△DCF旋转后恰好与△DAE重合，
∴AE＝CF＝3.
又∵BF＝2，∴BC＝BF＋CF＝5，
∴S四边形BFDE＝S△AED＋S四边形ABFD＝S△DCF＋S四边形ABFD＝S正方形ABCD＝BC2＝25.
【点悟】 旋转前后两个图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所夹的角等于旋转角．
[学生用书P100]
1．有下列四个说法，其中正确说法的个数是(　D　)
①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；
②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；
③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；
④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AED，AD与BC交于点F，则∠AFC的度数为(　A　)
A.84° B.80°
(C.60° (D.90°
[学生用书P101]
1．[2017·南市模拟]如图，已知钝角△ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连结BB′.若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为(　C　)
A．55° B．65°
C．75° D．85°
,第1题图)　,第2题图)
2．如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB＝4 ?cm?，BB′＝1 ?cm?，则A′B的长是__3__?cm?．
3．[2017·埇桥区模拟]如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC(顶点是网格线的交点)．
(1)将△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后得到的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出旋转后得到的△A2B2C2.
解：(1)如答图，△A1B1C1即为所求．
(2)如答图，△A2B2C2即为所求．
,答图)
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△AB1C1.当B1B∥AC时，求∠BAC1的度数．
解：∵B1B∥AC，∴∠ABB1＝∠BAC＝50°.
∵由旋转的性质可知，∠B1AC1＝∠BAC＝50°，AB＝AB1，
∴∠ABB1＝∠AB1B＝50°，∴∠BAB1＝80°，
∴∠BAC1＝∠BAB1－∠C1AB1＝80°－50°＝30°.
5．[2018春·鄄城县期末]如图，已知∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，如果△ABC经过旋转后与△ADE重合．
(1)旋转中心是哪个点？
(2)旋转了多少度？
(3)∠BAC的度数是多少？
,)　　　　,答图)
解：(1)旋转中心是点A.
(2)旋转的角度即为∠CAE＝65°.
(3)根据旋转的性质，知∠EAC＝∠BAD＝65°，∠C＝∠E＝70°.
如答图，设AD⊥BC于点F，
则∠AFB＝90°，
∴在Rt△ABF中，∠B＝90°－∠BAD＝25°，
∴在△ABC中，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－25°－70°＝85°，
即∠BAC的度数为85°.
6．[2018春·工业园区期末]如图，在△ABC中，∠BAC＝64°，∠C＝36°.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△ADE，AE与BD相交于点F.当DE∥AB时，求∠AFD的度数．
解：在△ABC中，∵∠BAC＝64°，∠C＝36°，
∴∠ABC＝180°－64°－36°＝80°，
∴∠ADE＝∠ABC＝80°.
∵AB∥DE，
∴∠BAD＋∠ADE＝180°，
∴∠BAD＝100°.
∵AD＝AB，
∴∠ADF＝40°.
∵∠EAD＝∠CAB＝64°，
∴∠AFD＝180°－40°－64°＝76°.
7．[2018春·南关区校级期末]如图，正方形ABCD，点F为正方形ABCD内一点，△BFC逆时针旋转后能与△BEA重合．
(1)旋转中心是点__B__，旋转角度为__90__度；
(2)判断△BEF的形状为__等腰直角三角形__；
(3)若∠BFC＝90°，说明AE∥BF.
【解析】 (1)∵四边形ABCD为正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°.
∵△BFC逆时针旋转后能与△BEA重合，
∴旋转中心为点B，∠CBA为旋转角，即旋转角为90°.
(2)∵△BFC逆时针旋转后能与△BEA重合，
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，BE＝BF，
∴△BEF为等腰直角三角形．
解：(3)∵△BFC逆时针旋转后能与△BEA重合，
∴∠BEA＝∠BFC＝90°.
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴∠AEF＝45°，
∴∠AEF＝∠BFE，
∴AE∥BF.
8．四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示．如果AF＝5，AB＝9.
(1)指出旋转中心和旋转角度；
(2)求DE的长度；
(3)BE与DF的位置关系如何？并说明理由．
解：(1)旋转中心为点A，旋转角度为∠BAD＝90°.
(2)∵△ADF按顺时针方向旋转90°后得到△ABE，
∴AE＝AF＝5，AD＝AB＝9，
∴DE＝AD－AE＝9－5＝4.
(3)BE⊥DF.理由如下：
∵△ADF按顺时针方向旋转90°后得到△ABE，
∴∠ABE＝∠ADF.
∵∠ADF＋∠F＝180°－90°＝90°，
∴∠ABE＋∠F＝90°，
∴BE⊥DF.