10.3 2.旋转的特征
一、选择题
1．下列关于图形旋转的特征说法不正确的是( )
A．对应线段相等
B．对应角相等
C．图形的形状与大小都保持不变
D．旋转中心平移了一定的距离
2．如图1，P是等边三角形ABC内的一点，若将△PBC绕点B逆时针旋转得到△P′BA，则∠PBP′的度数是( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
图1 图2
3.如图2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转40°得△A′B′C.若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数为( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
4．2018·丽水如图3，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是( )
A．55° B．60° C．65° D．70°
图3 图4
5．如图4，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长为( )
A．6 B．5 C．3 D．2
6．如图5，E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BE＝CF，连结CE，DF，将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，则旋转角度为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
图5
7．在如图6所示的4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是 ( )
A．点A B．点B C．点C D．点D
二、填空题 图6
8．如图7，已知△ABC，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，恰好能与△EDC重合．若∠A＝33°，则旋转的角度为________°.
图7 图8
9．如图8所示，在正方形网格中(网格中每个小正方形的边长均为1)，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转得到△OCD，则∠AOC的度数是________．
10．如图9，将等边三角形OAB绕点O按顺时针方向旋转150°得到△OA′B′(点A′，B′分别是点A，B的对应点)，则∠1＝________°.
图9 图10
11．如图10所示，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F，C两点间的距离为________．
三、解答题
12．[2017·南江县期末] 如图11，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC(顶点是网格线的交点)．
(1)先将△ABC竖直向上平移6个单位长度，再水平向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转90°，得到△A2B1C2，请画出△A2B1C2.
图11
13．如图12，正方形ABCD的边长为5，F为正方形ABCD内的点，△BFC经逆时针旋转后能与△BEA重合．
(1)旋转中心是哪一点？旋转了多少度？
(2)判断△BEF是怎样的三角形，并说明理由；
(3)若∠BFC＝90°，试说明AE∥BF.
图12
14．如图13，△ABC与△DCE均为等边三角形．
(1)图中的△ACE可看成由哪个三角形绕哪个点旋转得到的？其旋转角度为多少度？
(2)图中除等边三角形的边相等之外还有哪些相等的线段？(不另添加字母)
(3)线段BD与AE的夹角∠1是多少度？
图13
1．[解析] D 旋转是绕一个定点旋转一定的角度，旋转中心是固定的．
2．[解析] B ∠PBP′＝∠ABP′＋∠ABP＝∠ABP＋∠CBP＝∠ABC＝60°.
3．[答案] A
4．[解析] C 将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，则∠ECD＝∠ACB＝20°，∠ACE＝90°，EC＝AC，∴∠E＝45°，∴∠ADC＝65°.故选D.
5．[解析] D ∵在等边三角形ABC中，AB＝6，
∴BC＝AB＝6.
∵BC＝3BD，
∴BD＝BC＝2.
∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，
∴CE＝BD＝2.
故选D.
6．[解析] D 如图，连结OC，OD.
∵O为正方形ABCD的中心，
∴OD＝OC，OD⊥OC，
∴∠DOC＝90°.
由题意得，点D的对应点为点C，∠DOC即为旋转角，
则将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，旋转角度为90°.
故选D.
7．[解析] B 如图，连结NN1 ，MM1，易得其连线的垂直平分线相交于点B，故旋转中心应是点B.
8．[答案] 82
9．[答案] 90°
10．[答案] 150
[解析] ∵等边三角形OAB绕点O按顺时针方向旋转150°得到△OA′B′，
∴∠AOA′＝150°.
∵∠AOB＝60°，
∴∠1＝360°－∠AOA′－∠AOB＝360°－150°－60°＝150°.故答案为150.
11．[答案] 1或5
[解析] 如图，当线段AE绕点A旋转到AF1的位置时，F1C＝1；当线段AE绕点A旋转到AF2的位置时，F2B＝DE＝2，所以F2C＝F2B＋BC＝5.
12．解：(1)△A1B1C1如图所示．
(2)△A2B1C2如图所示．
13．解：(1)旋转中心是点B，旋转了90°.
(2)△BEF是等腰直角三角形．
理由：∵∠ABC＝90°，
∴旋转角度为90°，
∴∠EBF＝90°.
又由旋转的性质可知BE＝BF，
∴△BEF是等腰直角三角形．
(3)由旋转的性质可知∠BEA＝∠BFC＝90°.
∵∠EBF＝90°，
∴∠BEA＋∠EBF＝180°，
∴AE∥BF.
14．解：(1)△ACE可看成由△BCD绕点C顺时针旋转60°得到的．
(2)BD＝AE.
(3)∠1＝∠DBE＋∠AEB＝∠DBC＋∠BDC＝∠DCE＝60°.
10.3.2 旋转的特征
知识点 1 旋转的特征
1．一个图形经过旋转，有以下说法：
①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化．其中正确的说法是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
2．如图10－3－14，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD可以由△AOB旋转得到，则合理的旋转方式为( )
A．绕点O顺时针旋转90°
B．绕点D逆时针旋转60°
C．绕点O逆时针旋转90°
D．绕点B逆时针旋转135°
图10－3－14 图10－3－15
3．如图10－3－15，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为( )
A．42° B．48° C．52° D．58°
4．如图10－3－16所示，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，AC＝4 cm，△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到△DEC，则∠D＝______，∠B＝________，DE＝________cm，CE＝______cm，AE＝________cm，DB＝________cm.
图10－3－16 图10－3－17
5．如图10－3－17，在△ABC中，BC＝6，D是BC边上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长为________．
图10－3－18
6．如图10－3－18，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A的度数为________．
知识点 2 旋转作图
7．如图10－3－19，在正方形网格中，△ABC为格点三角形(顶点都是格点)，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1.在正方形网格中，作出△AB1C1.
图10－3－19
8．如图10－3－20，画出△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的△DEF.
图10－3－20
【能力提升】
图10－3－21
9．如图10－3－21，△ABC绕点A逆时针旋转使得点C落在BC边上的点F处，则以下结论：
①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC.
其中正确的结论有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
10．如图10－3－22，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则α的度数是( )
A．50° B．60° C．40° D．30°
图10－3－22 图10－3－23
11．如图10－3－23，有共同圆心的大圆和小圆的半径分别为2，1，AB，CD，EF都是大圆的直径，则图中阴影部分的面积为______．
12.如图10－3－24①，教室里有一个倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C＝25°，小贤同学将它扶起平放在地面上(如图②)，则灰斗柄AB绕点C转动的角度为________．
图10－3－24
13．四边形ABCD的位置如图10－3－25所示，解答下列问题：
(1)将四边形ABCD先向左平移4格，再向下平移6格，得到四边形A1B1C1D1，画出平移后的四边形A1B1C1D1；
(2)将四边形A1B1C1D1绕点A1逆时针旋转90°得到四边形A1B2C2D2，画出旋转后的四边形A1B2C2D2.
图10－3－25
14．如图10－3－26，已知∠BAC＝40°，把△ABC绕点A顺时针旋转，使得点B与CA的延长线上的点D重合．
(1)△ABC旋转了多少度？
(2)连结CE，试判断△AEC的形状；
(3)求∠AEC的度数．
图10－3－26
15．一副三角尺按图10－3－27①所示的方式叠放在一起，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，把含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转角α(α＝∠BAD且0°＜α＜180°)，使两块三角尺至少有一组边平行．
图10－3－27
(1)如图②，当α＝________°时，BC∥DE.
(2)请你分别在图③，④中，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成下列各题．
图③中，当α＝________°时，________∥________；
图④中，当α＝________°时，________∥________．
教师详解详析
1．D 2.C 3.A
4．∠A ∠DEC 5 3 1 7
5．2 [解析] ∵BC＝3BD，∴BD＝BC＝2.
∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，
∴CE＝BD＝2.
6．55° [解析] ∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，∠A′DC＝90°，∴∠ACA′＝35°，∴∠A′＝90°－35°＝55°，∴∠A＝∠A′＝55°.故答案为55°.
7．解：如图．
8．略
9．B
10．A [解析] ∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，
∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°，
∴∠DOC＝80°－α，∠C＝100°.
∵∠A＝2∠D＝100°，
∴∠D＝50°.
∵∠C＋∠D＋∠DOC＝180°，
∴100°＋50°＋80°－α＝180°，
解得α＝50°.故选A.
11．2π [解析] 结合图形，不难发现阴影部分的面积是大圆面积的一半．
∵大圆的面积＝π×22＝4π，
∴阴影部分的面积＝×4π＝2π.
12．105° [解析] 如图，连结AC并且延长至点E，则∠DCE＝180°－∠DCB－∠ACB＝105°.故灰斗柄AB绕点C转动的角度为105°.故答案为105°.
13．解：(1)如图，四边形A1B1C1D1即为所求．
(2)如图，四边形A1B2C2D2即为所求．
14．解：(1)∵∠BAC＝40°，∴∠BAD＝140°，∴△ABC旋转了140°.
(2)由旋转的性质可知，AC＝AE，∴△AEC是等腰三角形．
(3)由旋转的性质可知，∠CAE＝∠BAD＝140°.
又∵AC＝AE，
∴∠AEC＝(180°－140°)÷2＝20°.
15．[解析] (1)利用α＝∠CAD－∠CAB，求得α＝45°－30°＝15°；
(2)利用平行线的性质及旋转不变量求得旋转角即可．
解：(1)α＝∠CAD－∠CAB＝45°－30°＝15°.
(2)答案不唯一，如图③中当α＝60°时，BC∥DA；
图④中当α＝105°时，BC∥EA.
