江苏省东台市创新学校2018-2019学年高二5月检测数学（文）试题 word版

东台创新高级中学2018-2019学年度第二学期
2017级数学5月份检测试卷（文科）
（考试时间：120分钟 满分：160分）
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分.请把答案填写在答题纸的指定位置上．）
1. 已知，，则 =
2．函数的定义域是__________．
3.已知角510°的终边经过点，则实数a的值是 ▲ .
4.已知函数为偶函数，则实数a的值是 ▲ .
5．已知单位向量的夹角为120°，则的值是 ▲ ．
6.已知集合U＝{x|1＜x＜6，x∈N }，A＝{2，3}，那么?A＝ ▲ ．
7.若实数x，y满足，则x＋3y的最小值为 ▲ ．
8.在平面直角坐标系中，圆被直线所截得
的弦长为 ▲ ．
9.设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．
10.若函数f(x)＝，则f(log23)＝ ▲ ．
11.函数f(x)＝2sin(ωx＋)，其中ω＞0．若x1，x2是方程f(x)＝2的两个不同的实数根，
且|x1－x2|的最小值为π．则当x∈[0，]时，f(x)的最小值为 ▲ ．
12. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知5a＝8b，A＝2B，
则sin＝________．
13.已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是夹角为60°的两个单位向量．若向量c满足c·(a＋2b)＝－5，则|c|的最小值为 ▲ ．
14.已知正数满足，则的最小值是 ▲ ．
二、解答题：(本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15.（本题14分）
中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，
.
（1）求的值； （2）若，求的面积.




[来源:学*科*网]
16. （本题14分）
设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．





17. （本题14分）
某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为
1万元，每生产（百套）的销售额（单位：万元）
（1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？
（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润．
（注：利润销售额成本，其中成本设计费生产成本）
.


18. （本题16分）
已知a，b，c分别是△ABC三个角A，B，C所对的边，且满足acos B＋bcos A＝ ．
（1）求证：A＝C；
（2）若b＝2，·＝1，求sin B的值．





19.（本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且
过点．设为椭圆在第一象限上的点，，分别为椭圆的左顶点和
下顶点，且交轴于点，交轴于点．
（1）求的值；
（2）若为椭圆的右焦点，求点的坐标；
（3）求证：四边形的面积为定值．






20.（本小题满分16分）
已知函数f(x)＝lnx＋＋1，a∈R．
（1）若函数f(x)在x＝1处的切线为y＝2x＋b，求a，b的值；
（2）记g(x)＝f(x)＋ax，若函数g(x)在区间(0，)上有最小值，求实数a的取值范围；
（3）当a＝0时，关于x的方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．






高二数学5月份月考答案(文科)
1、填空题
1. ． 2. 3. 1 4． 0
5. 6. {4，5} 7． －5 8. 9. 必要不充分
10. 11. 12. eq \f(5,7) 13.
14． 2【解析】设，，则．
因为
（当且仅当时取“”），所以，解得，所以的最小值是2．

2、解答题
15．：解：（1）由，且得……2分
因为A+B+C=，所以
又因为
所以 ………………………………4分
得
若，则不符合上式，所以
所以 ……………………………………………………………………………7分
（2）由，且
得，……………………………………………………………9分

由得 ……………………………………………………………12分
……………………………………………………………14分

16.解：解　(1)∵f(1)＝2，
∴loga4＝2(a>0，a≠1)，
∴a＝2.∴f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)．
由得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.

17.
解：（1）考虑时，利润．
令得，，从而，即．
（2）当时，由（1）知，
所以当时，（万元）．
当时，利润．
因为（当且仅当即时，取“=”），
所以（万元）．
综上，当时，（万元）．
答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；
（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为万元．
18
（1）由正弦定理＝＝＝2R ，得a＝2RsinA ，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
代入acosB＋bcosA＝，得 (sinAcosB＋sinBcosA) cosC＝sinCcosA， 2分
即sin(A＋B)cosC＝sinCcosA．
因为A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sinC，
所以sinCcosC＝sinCcosA， 4分
因为C是△ABC的内角，所以sinC≠0，所以cosC＝cosA．
又因为A，C是△ABC的内角，所以A＝C． 6分
（2）由（1）知，因为A＝C，所以a＝c，所以cosB＝＝． 8分
因为·＝1，所以a2cosB＝a2－2＝1，所以a2＝3． 10分
所以cosB＝． 12分
因为B∈(0，π)，所以sinB＝＝． 14分

19.解：（1）依题意，，，其中，
解得．
因为，所以．
（2）由（1）知，椭圆的右焦点为，椭圆的方程为，①
所以．从而直线的方程为：． ②
由①②得，．从而直线的方程为：．
令，得，所以点的坐标为．
（3）设（），且，即．
则直线的方程为：，令，得．
直线的方程为：，令，得．
所以四边形的面积
．

20 解：（1）f′(x)＝?－，则f′(1)＝1－a＝2，解得a＝－1，则f(x)＝lnx－＋1，
此时f (1)＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为(1， 0)，
代入切线方程，得b＝－2，
所以a＝－1，b＝－2． 2分
（2）g(x)＝f(x)＋ax＝lnx＋＋ax＋1，g′(x)＝?－＋a＝．
①当a＝0时，g′(x)＝?＞0，则g(x)在区间(0，)上为增函数，
则g(x)在区间(0，)上无最小值． …………………………………………4分
②当a≠0时，方程ax2＋x－a＝0的判别式Δ＝1＋4a2＞0，
则方程有两个不相等的实数根，设为x1，x2，
由韦达定理得x1x2＝－1，则两根一正一负，不妨设x1＜0＜x2.
设函数m(x)＝ax2＋x－a(x＞0)，
（i）若a＞0，
若x2∈(0，) ，则m(0)＝－a＜0 ，m()＝＋－a＞0 ，解得0＜a＜．
此时x∈(0，x2)时，m(x)＜0，则g(x)递减；
x∈(x2，)时，m(x)＞0，则g(x)递增，
当x＝x2时，g(x)取极小值，即为最小值．
若x2≥，则x∈(0，)，m(x)＜0，g(x)在(0，)单调减，无最小值．
6分
（ii）若a＜0，
x∈(0，x2)时，m(x)＞0，则g(x)递增；
x∈(x2，＋∞)时，m(x)＜0，则g(x)递减，
在区间(0，)上，g(x)不会有最小值．
所以a＜0不满足条件．
综上，当0＜a＜时，g(x)在区间(0，)上有最小值．…………………………8分
（3）当a＝0时，由方程f(x)＝bx2，得lnx＋1－bx2＝0，
记h(x)＝lnx＋1－bx2，x＞0，则h′(x)＝－2bx＝．
①当b≤0时，h′(x)＞0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上为增函数，
则函数h(x)至多只有一个零点，即方程f(x)＝bx2至多只有一个实数根，
所以b≤0不符合题意．………………………………………………………10分
②当b＞0时，
当x∈(0，)时，h′(x)＞0，所以函数h(x)递增；
当x∈(，＋∞)时，h′(x)＜0，所以函数h(x)递减，
则h(x)max＝h()＝ln＋．
要使方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根，
则h()＝ln＋＞0，解得0＜b＜．………………………………12分
（i）当0＜b＜时，h()＝－＜0．
又()2－()2＝＜0，则＜，
所以存在唯一的x1∈(，)，使得h(x1)＝0．…………………………14分
（ii）h()＝ln＋1－＝－lnb＋1－， 记k(b)＝－lnb＋1－，0＜b＜，
因为k′(b)＝－＋＝，则k(b)在(0，1)上为增函数，在(1，)上为减函数，
则k(b)max＝k(1)＝0，则h()≤0．
又()2－()2＝＞0，即＞，
所以存在唯一的x2∈(，]，使得h(x2)＝0，
综上，当0＜b＜时，方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根．………………16分

O

x

A

B

P

y

E

F

（第19题）

O

x

y

A

B

P

E

F

（第18题）






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