2018-2019学年浙江省杭州市萧山区城厢片九年级（下）期初数学试卷解析版

2018-2019学年浙江省杭州市萧山区城厢片九年级（下）期初数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．
1．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．旭日东升 B．守株待兔 C．大海捞针 D．明天放假
2．二次函数y＝（x+1）2与x轴交点坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）
3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝m，那么AB的长为（　　）
A．msinα B．mcosα C． D．
4．点P是半径为10的圆O所在平面上的一点，且点P到点O的距离为8．则过点P的直线l与圆O的位置关系为（　　）
A．相交
B．相切
C．相离
D．相交、相切、相离都有可能
5．如果一个扇形的半径是3，弧长是π，那么此扇形的圆心角的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．如图，AB是半圆O的直径，D为半圆上的点，在BA延长线上取点C，使得DC＝DO，连结CD并延长交圆O于点E，连结AE，若∠C＝18°，则∠EAB的度数为（　　）
A．18° B．21° C．27° D．36°
7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC和BD交于点O，记S△AOD为S1，S△AOB为S2，S△BOC为S3，则下列关于比例中项的描述正确的是（　　）
A．S2是S1和S3的比例中项 B．S1是S2和S3的比例中项
C．S3是S1和S2的比例中项 D．不存在比例中项
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），过（1，y1）、（2，y2）．下列结论：
①若y1＞0时，则a+b+c＞0； ②若a＝2b时，则y1＜y2；
③若y1＜0，y2＞0，且a+b＜0，则a＞0．其中正确的结论个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，矩形ABCD，AD＝1，CD＝2，点P为边CD上的动点（P不与C重合），作点P关于BC的对称点Q，连结AP，BP和BQ，现有两个结论：①若DP≥1，当△APB为等腰三角形时，△APB和△PBQ一定相似；②记经过P，Q，A三点的圆面积为S，则4π≤S＜．
下列说法正确的是（　　）
A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）比较大小：cos30°　 　．
12．（4分）一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了　 　个黑球．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0无实数解，则抛物线y＝﹣x2﹣bx+c经过　 　象限．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最小值是　 　．
15．（4分）将抛物线y1＝x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线y2＝ax2+bx+c重合，现有一直线y3＝2x+3与抛物线y2＝ax2+bx+c相交．当y2≤y3时自变量x的取值范围是　 　．
16．（4分）如图所示，在△ABD中，BC为AD边上的高线，tan∠BAD＝1，在BC上截取CG＝CD，连结AG，将△ACG绕点C旋转，使点G落在BD边上的F处，A落在E处，连结BE，若AD＝4，tanD＝3，则△CFD和△ECF的面积比为　 　；BE长为　 　．
三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）Jack同学寒假去野生动物园游玩，从Baidu地图查找线路发现，几条线路均要换乘，乘车方案如下：在出发站点可选择空调车A，空调车B，普通车a；换乘点可选择空调车C，普通车b，普通车c，所有车辆均在同一站点换乘．
（1）求Jack同学在出发点乘坐空调车的概率；
（2）已知空调车票价2元，普通车票价1元，请用树状图或列表法求Jack同学到达动物园恰好花费3元公交费的概率．
18．（8分）Jack同学从点A出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了650米到达点B，且sinα＝，然后又沿着坡比i＝1：3的斜坡向上走了500米到达点C．
（1）Jack从点A到点B上升的高度是多少米？
（2）Jack从点A到点C上升的高度CD是多少米？
19．（8分）如图1所示，点P是线段AB的中点，且AB＝12，现分别以AP，BP为边，在AB的同侧作等边△MAP和△NBP，连结MN．
（1）请只用不含刻度的直尺在图1中找到△MNP外接圆的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若将“点P是线段AB的中点”改成“点P是线段AB上异于端点的任意一点”，其余条件不变（如图2），请用文字写出△MNP外接圆圆心O的位置，并求出该圆半径的最小值．
20．（10分）如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现在制作一个窗户边框的材料总长度为6米．（ π取3）
（1）若设扇形半径为x，请用含x的代数式表示出AB．并求出x的取值范围．
（2）当x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑）
21．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．
22．（12分）现有一次函数y＝mx+n和二次函数y＝mx2+nx+1，其中m≠0，
（1）若二次函数y＝mx2+nx+1经过点（2，0），（3，1），试分别求出两个函数的解析式．
（2）若一次函数y＝mx+n经过点（2，0），且图象经过第一、三象限．二次函数y＝mx2+nx+1经过点（a，y1）和（a+1，y2），且y1＞y2，请求出a的取值范围．
（3）若二次函数y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k）（h≠0），同时二次函数y＝x2+x+1也经过A点，已知﹣1＜h＜1，请求出m的取值范围．
23．（12分）如图所示，△ABC为Rt△，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E为边AC上的点，连结DE，过点E作EF⊥ED交BC于F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，已知AC＝8．
（1）如图1所示，当BC＝6，点G在边AB上时，求DE的长．
（2）如图2所示，若，点G在边BC上时，求BC的长．
（3）①若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求BC的长．
②若（n为正整数），且点G恰好落在Rt△ABC的边上，请直接写出BC的长．

2018-2019学年浙江省杭州市萧山区城厢片九年级（下）期初数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．
1．【解答】解：A、旭日东升是必然事件，正确；
B、守株待兔是随机事件，不符合题意；
C、大海捞针是不可能事件，不符合题意；
D、明天放假是随机事件，不符合题意；
故选：A．
2．【解答】解：二次函数y＝（x+1）2图象与x轴交点横坐标就是（x+1）2＝0的根，
解方程（x+1）2＝0，
得：x1＝x2＝﹣1，
∴二次函数y＝（x+1）2图象与x轴交点坐标为（﹣1，0）；
故选：A．
3．【解答】
解：在Rt△ACB中，BC＝m，∠A＝α，
∴sinA＝，
∴AB＝＝，
故选：C．
4．【解答】解：∵点P到点O的距离为8，圆O的半径为10，
∴8＜10，
∴点P在圆内，
∴过点P的直线l与圆O的位置关系为相交，
故选：A．
5．【解答】解：设圆心角为n°．
由题意：＝π，
∴n＝60，
故选：C．
6．【解答】解：如图，连接OE，
∵DC＝DO，
∴∠DOC＝∠C＝18°，
∴∠ODE＝∠DOC+∠C＝36°，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE＝36°，
∴∠EOB＝∠C+∠OED＝18°+36°＝54°，
∴∠EAB＝∠EOB＝27°，
故选：C．
7．【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴＝（）2，
∵＝，
∴＝（）2，
∴S22＝S1?S3，
即S2是S1和S3的比例中项．
故选：A．
8．【解答】解：①将点（1，y1）代入二次函数y＝ax2+bx+c，
得到y1＝a+b+c，
∵y1＞0，
∴a+b+c＞0．
故①正确．
②若a＝2b时，函数对称轴x＝﹣＝﹣，
当a＞0时，y1＜y2，
当a＜0时，y1＞y2．
故②错误．
③∵a+b＜0，
∴a＜﹣b
当a＜0时，﹣＜，此时只能y1＞0，y2＜0；
当a＞0时，﹣＞，此时只能y1＜0，y2＞0；
所以y1＜0，y2＞0，且a+b＜0时，a＞0．
故③正确．
故选：C．
9．【解答】解：A、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴二次函数的图象开口应该向下，故A选项不合题意；
B、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，，∴二次函数的图象开口向下，且对称轴在x轴的正半轴，故B选项不合题意；
C、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y＝﹣4k＞0，故C选项符合题意；
D、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y＝﹣4k＞0，故D选项不合题意；
故选：C．
10．【解答】解：①如图1中，
∵DP≥1，当△APB为等腰三角形，
∴只有AP＝AB，
在Rt△ADP中，∵∠D＝90°，AP＝2，AD＝1，
∴PA＝2AD，
∴∠APD＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠CPB＝∠ABP，
∵AP＝AB，
∴∠ABP＝∠APB，
∴∠APB＝∠CPB＝75°，
∵P，Q关于BC对称，
∴BP＝BQ，
∴∠BPC＝∠BQC＝75°，
∴△APB∽△BPQ，故①正确．
②如图2中，作△APQ的外接圆⊙O．
当点O与B重合时，⊙O的半径最小，此时⊙O的面积为4π，
当点P与C重合时，设OA＝OP＝x，
在Rt△AOB中，则有x2＝22+（x﹣1）2，
∴x＝，
此时⊙O的面积＝π，
观察图象可知：4π≤S＜．故②正确，
故选：A．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．【解答】解：∵cos30°＝，
∴cos30°＞．
故答案为：＞．
12．【解答】解：设取走x个黑球，则放入x个黄球，
由题意，得≥，
解得：x≥，
∵x为整数，
∴x的最小正整数解是x＝9．
答：至少取走了9个黑球．
故答案为：9．
13．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0无实数解，
∴△＝b2+4c＜0，
∵抛物线y＝﹣x2﹣bx+c中，二次项系数﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，
∵判别式＝（﹣b）2﹣4×（﹣1）×c＝b2+4c＜0，
∴抛物线与x轴无交点，
∴抛物线在x轴的下方，
∴抛物线y＝﹣x2﹣bx+c经过第三、四象限；
故答案为：三、四．
14．【解答】解：
当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD，如图，
∵AC为圆的切线，
∴OD⊥AC，
∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴OD∥BC，且O为AB中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD＝BC＝3，
同理可得PO＝AC＝4，
∴PQ＝OP﹣OQ＝4﹣3＝1，
故答案为：1．
15．【解答】解：y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
把y1＝（x﹣1）2﹣4先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后所得抛物线解析式为y＝x2，
解方程组得或，
所以直线y3＝2x+3与抛物线y2＝ax2+bx+c交点坐标为（﹣1，1），（3，9），
当﹣1≤x≤3时，y2≤y3．
故答案为﹣1≤x≤3．
16．【解答】解：作CM⊥DF于M，如图所示：
则∠CMD＝90°，
∵在△ABD中，BC为AD边上的高线，tan∠BAD＝1，
∴∠BCD＝∠ACB＝90°，AC＝BC，
在Rt△BCD中，∵tanD＝3＝，
∴BC＝3CD，
∵AD＝AC+CD＝BC+CD＝4，
∴CD＝1，AC＝BC＝3，
∵∠CMD＝∠BCD，∠D＝∠D，
∴△CDM∽△BDC，＝＝，
∴＝，
在△AGC和△BDC中，，
∴△AGC≌△BDC（SAS），
∴∠CAG＝∠CBD，△AGC的面积＝△BDC的面积，∠CAG＝∠CBD，
由旋转的性质得：CF＝CD，EC＝AC＝BC，∠CEF＝∠CAG，∠BCF＝∠ACN，
∴△CDF的面积＝2△CDM的面积，
∴△CFD的面积：△ECF的面积＝1：5；
∵CG＝CD，
∴CG＝CF，
在△ACN和△BCF中，，
∴△ACN≌△BCF（ASA），
∴AN＝BF，CN＝CF＝CD＝CG＝1，
∴GN＝DF，BC：CG＝CE：CN，
∵∠GCN＝∠BCE，
∴△CGN∽△CBE，
∴＝，
在Rt△DCM中，tanD＝3，CD＝1，
∴DM＝，
∵CD＝CF，CM⊥DF，
∴DF＝2DM＝，
∴GN＝，
∴＝，
解得：BE＝；
故答案为：1：5，．
三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解答】解：（1）∵在出发站点可选择空调车A、空调车B、普通车a，
∴Jack在出发站点乘坐空调车的概率为：；
（2）如图所示：
，
一共有9种组合，只有Ab，Ac，Bb，Bc，aC组合恰好花费3元，
故Jack到达动物园恰好花费3元公交费的概率为：．
18．【解答】解：（1）作BF⊥AD
在Rt△ABF中，BF＝AB×sinα＝650×＝200（米），
答：Jack从点A到点B上升的高度是200米；
（2）作BE⊥CD
在Rt△CBE中，CE：BE＝1：3，
可得CE：BC＝1：，
可得CE＝，
得CD＝（200+50）m，
答：Jack从点A到点C上升的高度CD是（200+50）米．
19．【解答】解：（1）如图，连接AN，BM交于点O，点O即为所求．
（2）O点为∠MAB角平分线和∠NBA角平分线的交点．
当OP⊥AB时，半径最短，
可得r＝．
20．【解答】解：（1）根据题意得：2AB+7x+πx＝2AB+10x＝6，
整理得：AB＝3﹣5x；
根据3﹣5x＞0，
所以x的取值范围是：0＜x＜；
（2）设面积为S，则S＝2x（3﹣5x）+x2＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，S最大＝．
21．【解答】（1）证明：连接OE．
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA＝∠C，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OEA＝90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，
由题意可知四边形OECH为矩形，
∴OH＝CE，
∵BF＝6，
∴BH＝3，
在Rt△BHO中，OB＝5，
∴OH＝＝4，
∴CE＝4．
22．【解答】解：（1）将点（2，0），（3，1），代入一次函数y＝mx+n中，
，
解得，
∴一次函数的解析式是y＝x﹣2，
再将点（2，0），（3，1），代入二次函数y＝mx2+nx+1，
，
解得，
∴二次函数的解析式是y═x2++1．
（2）∵一次函数y＝mx+n经过点（2，0），
∴n＝﹣2m，
∵二次函数y＝mx2+nx+1的对称轴是x＝﹣，
∴对称轴为x＝1，
又∵一次函数y＝mx+n图象经过第一、三象限，
∴m＞0，
∵y1＞y2，
∴1﹣a＞1+a﹣1，
∴a＜．
（3）∵y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k），
∴k＝mh2+nh+1，且h＝﹣，
又∵二次函数y＝x2+x+1也经过A点，
∴k＝h2+h+1，
∴mh2+nh+1＝h2+h+1，
∴，
又∵﹣1＜h＜1，
∴m＜﹣2或m＞0．
23．【解答】解：（1）如图1中，
在Rt△ABC中，∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵D是AB中点，
∴AD＝DB＝5，
∵∠A＝∠A，
∴tan∠A＝＝，
∴＝，
∴DE＝．
（2）如图2中，设DE＝x，则EF＝EC＝2x．
∵DE∥BC，AD＝DB，
∴AE＝EC＝2x，
∴4x＝8，
∴x＝2，
∴DE＝BC，
∴BC＝2DE＝4．
（3）①当点G落在BC边上时，如图2中，设DE＝x，则EF＝EC＝4x，
可得：AE＝EC＝4x，8x＝8，
∴x＝1，
∴BC＝2DE＝2．
当点G落在AB边上时，
作DH⊥AC于H，设DH＝x，则CE＝4x，BC＝2x，EH＝4﹣4x，
利用△HDE∽△CAB，可得，解得x＝，则BC＝．
②若（n为正整数）时，同法可知：BC＝或．