2018-2019学年北京四中九年级（下）开学数学试卷含答案

2018-2019学年北京四中九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长度为（　　）
A．2 B．8 C． D．
2．如图，D，E为△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，若AD：DB＝1：3，DE＝2，则BC的长是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
3．将二次函数y＝x2﹣6x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（　　）
A．y＝（x﹣6）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣9
4．将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（　　）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
5．若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y＝2x2+4x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
6．若一个扇形的半径是18cm，面积是54πcm2，则扇形的圆心角为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
7．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A＝30°，AB＝2，则AC等于（　　）
A．4 B．6 C． D．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
3
…
y
…
﹣1
3
5
3
…
下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．若二次函数y＝x2+2x+2k﹣4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为　 　．
10．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝　 　．
11．请写出一个开口向下，且经过点（﹣1，0）的二次函数的解析式　 　．
12．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，PO与AB交于点C．若∠APB＝60°，OC＝1，则△PAB的周长为　 　．
13．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC＝30°，∠CBD＝80°，则∠BCD的度数为　 　．
14．如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD＝4m，EM＝6m，则⊙O的半径为　 　m．
15．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．
（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1等于　 　；
（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，那么第2个正方形DGHI的边长记为a2；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，……则第n个内接正方形的边长an＝　 　．（n为正整数）
16．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为　 　．
三、解答题
17．（5分）在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
已知：△ABC是⊙O的内接三角形．求作：△ABC中∠BAC的平分线．
小明的作法如下：
（1）作BC边的垂直平分线DE，交BC于点D，交弧BC于点E；
（2）连接AE，交BC边于点F；则线段AF为所求△ABC中∠BAC的平分线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）在图中补全图形（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵OB＝OC，DE是线段BC的垂直平分线
∴圆心O在直线DE上（　 　）．
∵DE⊥BC，
∴＝（　 　）．
∴∠BAE＝∠CAE（　 　），
∴线段AF为所求△ABC中∠BAC的平分线．
18．（5分）计算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cos30°．
19．（5分）如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2），D（6，4）．
（1）在第一象限内，以原点O为位似中心，画出四边形ABCD的位似图形A1B1C1D1，使对应边长变为原来的；
（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A2B，画出线段A2B，并计算点A所经过的路径长．
20．（5分）已知抛物线y＝x2﹣4x+2．
（1）此抛物线与y轴的交点坐标是　 　，顶点坐标是　 　；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x
…
…
y
…
…
（3）结合图象回答：
①垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣4x+2相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝　 　；
②若点A（5，t）和点B（m，n）都在抛物线y＝x2﹣4x+2上，且n＜t，则m的取值范围是　 　．
21．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC与BD交于点O，点E在BC边上，DE与AC交于点F，∠CDE＝∠CBD．
求：（1）CE的长；
（2）EF的长．
22．（5分）已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
23．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于E，过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF．
（1）求证：四边形BDCF为菱形；
（2）若CE＝4，AC＝6，求四边形BDCF的面积．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
（1）求证：∠CBF＝∠CAB；
（2）连接BD，AE交于点H，若AB＝5，tan∠CBF＝，求BH的值．
25．（6分）如图，半圆O的直径AB＝5cm，点M在AB上且AM＝1cm，点P是半圆O上的动点，过点B作BQ⊥PM交PM（或PM的延长线）于点Q．设PM＝xcm，BQ＝ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）
小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
y/cm
0
3.7
　 　
3.8
3.3
2.5
　 　
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
当BQ与直径AB所夹的锐角为60°时，PM的长度约为　 　cm．
26．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3）和B（4，3）．
（1）直接写出a，b之间的数量关系式：　 　；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求a的值；
（3）若M（﹣1，0），N（3，0），且抛物线与线段MN只有一个公共点，求a的取值范围．
27．（7分）如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是射线CB上一动点（与点C，B不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点作QH⊥AP于点H，交直线AB于点M．
①在图1中补全图形
②若∠PAC＝α，用含α的式子表示∠AMQ的大小为∠AMQ＝　 　；
③探究线段MB与PQ之间的数量关系，并给出证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′＝2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．
特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0．
（1）当⊙O的半径为1时．
①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；
②点P在直线y＝﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．

2018-2019学年北京四中九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，
∴tanA＝＝＝，
∴BC＝2．
故选：A．
2．【解答】解：∵AD∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
即＝，
∴BC＝8．
故选：B．
3．【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝x2﹣6x+9﹣4＝（x﹣3）2﹣4，
故选：C．
4．【解答】解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），
∴将抛物线y＝﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2．
故选：D．
5．【解答】解：对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∵a＝2＞0，
∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣2，y1）的对称点为（0，y1），
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
6．【解答】解：设扇形的圆心角为n，
则＝54π，
解得，n＝60°，
故选：B．
7．【解答】解：连接OB．
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，
在直角△OAB中，OB＝AB?tanA＝2×＝2，
则OA＝2OB＝4，
∴AC＝4+2＝6．
故选：B．
8．【解答】解：（1）由图表中数据可得出：x＝1时，y＝5，所以二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x＝0时，y＝3，所以c＝3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；
（2）∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝1.5，∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；
（3）∵x＝3时，y＝3，∴9a+3b+c＝3，∵c＝3，∴9a+3b+3＝3，∴9a+3b＝0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故（3）正确；
（4）∵x＝﹣1时，ax2+bx+c＝﹣1，∴x＝﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，∵x＝3时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．
故选：C．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．【解答】解：根据题意知，△＝22﹣4×1×（2k﹣4）＞0，
解得：k＜；
故答案为：k＜．
10．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：S△ABF＝4：25，
∴＝，
∵AB＝CD，
∴DE：EC＝2：3．
故答案为：2：3．
11．【解答】解：二次函数y＝﹣x2+1开口向下，且经过（﹣1，0）．
故答案为：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
12．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA＝PB，
∵∠APB＝60°，
∴△PAB是等边三角形，AB＝2AC，PO⊥AB，
∴∠PAB＝60°，
∴∠OAC＝∠PAO﹣∠PAB＝90°﹣60°＝30°，
∴AO＝2OC，
∵OC＝1，
∴AO＝2，
∴AC＝，
∴AB＝2AC＝2，
∴△PAB的周长＝6．
故答案为：6．
13．【解答】解：∵∠CBD＝80°，
∴∠CAD＝∠CBD＝80°．
∵∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝30°+80°＝110°．
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70°．
14．【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD＝4则有：CM＝CD＝2，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是．
故答案为：．
15．【解答】解：（1）四边形CDEF是正方形，
∴EF＝FC，EF∥FC，
∴△BFE∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴a1＝2，
故答案是：2；
（2）如图（2）四边形DGHI是正方形，
∴IH＝ID，IH∥AD，
∴△EIH∽△EDA，
∴＝，
∴＝，
∴a2＝，
如图3中，由以上同样的方法可以求得正方形PGQS的边长为：＝，
第4的个正方形的边长为：＝，
…
第n个内接正方形的边长an＝，
故答案为：＝．
16．【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故答案为2．
三、解答题
17．【解答】解：（1）如图，
（2）证明：∵OB＝OC，DE是线段BC的垂直平分线
∴圆心O在直线DE上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）．
∵DE⊥BC，
∴＝（垂径定理）．
∴∠BAE＝∠CAE（圆周角定理），
∴线段AF为所求△ABC中∠BAC的平分线．
故答案为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；垂径定理；圆周角定理．
18．【解答】解：原式＝﹣（）2+1﹣2×
＝﹣+1﹣
＝．
19．【解答】解：（1）如图所示，四边形A1B1C1D1即为所求．
（2）如图所示，线段A2B即为所求，
∵A2B＝＝2，∠ABA2＝90°，
∴点A所经过的路径长为＝π．
20．【解答】解：（1）对于抛物线y＝x2﹣4x+2令x＝0得到y＝2，
∴与y轴交点的坐标为（0，2）；
∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴顶点坐标（2，﹣2），
故答案为：（0，2），（2，﹣2）；
（2）利用描点法画出图象如图所示：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
2
﹣1
﹣2
﹣1
2
…
．
（3）结合图象：
①垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣4x+2相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝4；
②若点A（5，t）和点B（m，n）都在抛物线y＝x2﹣4x+2上，且n＜t，则m的取值范围是﹣1＜m＜5；
故答案为4；﹣1＜m＜5．
21．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，
∴AD∥BC，CD＝AB＝2，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠EDC＝∠ADB，
∴∠EDC＝∠CBD，
∵∠ECD＝∠DCB，
∴△CDE∽△CBD，
∴CE：CD＝CD：CB，
∴CE：2＝2：4，
解得：CE＝1；
（2）∵AD∥BC，
∴△ADF∽△CEF，
∴DF：EF＝AD：CE＝4：1，
∴EF：DE＝1：5，
∵∠DCB＝90°，
∴DE＝＝，
∴EF＝．
22．【解答】解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴＝，
设AH＝5km，则PH＝12km，
由勾股定理，得AP＝13km．
∴13k＝26m． 解得k＝2．
∴AH＝10m．
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．
（2）延长BC交PQ于点D．
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ．
∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH．
∵∠BPD＝45°，
∴PD＝BD．
设BC＝x，则x+10＝24+DH．∴AC＝DH＝x﹣14．
在Rt△ABC中，tan76°＝，即≈4.0，
解得x＝，即x≈19，
答：古塔BC的高度约为19米．
23．【解答】证明：（1）∵DE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴∠BED＝∠ACB，
∴DF∥AC，
∵CF∥AB，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴AD＝CF，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，
∵BD∥CF，
∴四边形BDCF是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴DC＝BD，
∴四边形BDCF是菱形；
（2）∵四边形BDCF是菱形
∴BC＝2CE＝8，BC⊥DF
∵四边形ADFC是平行四边形，
∴DF＝AC＝6
∴S菱形BDCF＝×BC×DF＝24
24．【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是圆的直径，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠CAB，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴∠CBF＝∠CAB．
（2）解：∵tan∠CBF＝tan∠EAB＝，
∴＝，
∵AB＝5，AB2＝BE2+AE2，
∴25＝BE2+4BE2，
∴BE＝，
∵∠BAE＝∠CAE，∠EBD＝∠CAE，
∴∠EBD＝∠EAB，
∴tan∠EBD＝＝，
∴EH＝，
∴BH＝＝．
25．【解答】解：（1）当x＝2时，PM⊥AB，此时Q与M重合，BQ＝BM＝4，
当x＝4时，点P与B重合，此时BQ＝0．
故答案为4，0．
（2）函数图象如图所示：
（3）如图，
在Rt△BQM中，∵∠Q＝90°，∠MBQ＝60°，
∴∠BMQ＝30°，
∴BQ＝BM＝2，
观察图象可知y＝2时，对应的x的值为1.1或3.7．
故答案为1.1或3.7．
26．【解答】解：（1）将A（0，3）和B（4，3）代入y＝ax2+bx+c中得：
，
∴4a+b＝0，
故答案为：4a+b＝0；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3）和B（4，3），
∴对称轴为直线x＝2，
∵x＝2时，y＝4a+2b+c＝b+3，
∴顶点坐标为（2，b+3），
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴b+3＝0，
∴b＝﹣3，
∴a＝；
（3）y＝ax2﹣4ax+3，
当抛物线恰好经过点M时，将M（﹣1，0）代入得：a+4a+3＝0，
解得a＝﹣，
当抛物线恰好经过点N时，将N（3，0）代入得：9a﹣12a+3＝0，
解得a＝1，
∴抛物线与线段MN只有一个公共点时，a的取值范围是﹣≤a≤1．
27．【解答】解：①如图所示：
②∠AMQ＝45°+α；理由如下：
∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°﹣α，
∵QH⊥AP，
∴∠AHM＝90°，
∴∠AMQ＝180°﹣∠AHM﹣∠PAB＝45°+α；
故答案为：45°+α；
③PQ＝MB；理由如下：
连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：
∵AC⊥QP，CQ＝CP，
∴∠QAC＝∠PAC＝α，
∴∠QAM＝45°+α＝∠AMQ，
∴AP＝AQ＝QM，
在△APC和△QME中，
，
∴△APC≌△QME（AAS），
∴PC＝ME，
∵△MEB是等腰直角三角形，
∴PQ＝MB，
∴PQ＝MB．
28．【解答】解：（1）当⊙O的半径为1时．
①点M（2，1）关于⊙O的反称点不存在；
N（，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（，0）；
T（1，）关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）；
②∵OP≤2r＝2，OP2≤4，设P（x，﹣x+2），
∴OP2＝x2+（﹣x+2）2＝2x2﹣4x+4≤4，
∴2x2﹣4x≤0，
x（x﹣2）≤0，
∴0≤x≤2．
当x＝2时，P（2，0），P′（0，0）不符合题意；
当x＝0时，P（0，2），P′（0，0）不符合题意；
∴0＜x＜2；
（2）∵直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴A（6，0），B（0，2），
∴＝，
∴∠OBA＝60°，∠OAB＝30°．
设C（x，0）．
①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，则CH≤CP≤2r＝2，
所以AC≤4，
C点横坐标x≥2（当x＝2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；
②当C在A点右侧时，AC最大值为2，
所以C点横坐标x≤8．
综上所述，圆心C的横坐标的取值范围是2≤x≤8．