人教版数学九上第21章一元二次方程全章教案（含课时答案、章末专题复习、章末小测）
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| 名称 | 人教版数学九上第21章一元二次方程全章教案（含课时答案、章末专题复习、章末小测） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 878.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-01 22:05:55 | ||
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文档简介
第二十一章 一元二次方程
1.了解一元二次方程及方程的解的概念.
2.理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.
3.会用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况.
4.了解一元二次方程的根与系数之间的关系.
5.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程,并利用一元二次方程模型解决简单的实际问题.
1.通过一元二次方程概念的学习,培养学生对概念理解的完整性和深刻性.
2.通过对一元二次方程解法的探究,培养学生数学推理的严密性及严谨性,同时培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识.
3.通过列一元二次方程解应用题,进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力,提高学生分析问题、解决问题的能力.
1.在学习一元二次方程的过程中,让学生体验知识之间的联系,激发学生爱数学、学数学的兴趣.
2.通过学习直接开平方法、因式分解法解一元二次方程,向学生渗透转化思想在研究数学问题中的应用;通过对求根公式的推导,向学生渗透分类思想.
3.体会数学来源于生活,又应用到生活,由可设未知数列方程向学生渗透方程的思想,由此培养学生应用数学的意识.
方程是初中数学中的基础内容,在初中数学中占有重要地位,一元二次方程是一元一次方程、二元一次方程(组)的后继学习,本章在初中代数中占着非常重要的地位,起着承前启后的作用,一方面对以前学过的一些内容进行综合地应用,如探究解方程的方法时开平方、一元一次方程、完全平方公式、因式分解等知识都有应用,另一方面,一元二次方程又是前边所学知识的继续和发展,是学好二次函数不可缺少的知识,是学好高中数学的奠基工程.
本章主要让学生进一步体会方程的模型思想,会解一元二次方程,解方程的基本思想是化归思想,将“二次”方程转化成两个“一次”方程是解一元二次方程的基本方法.其中配方法是初中数学中的基本方法,通过对配方法的学习,探究出一元二次方程的求根公式,然后让学生体会数学来源于生活,通过学习进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力及应用数学的意识.
【重点】
1.一元二次方程及其有关的概念.
2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.
3.建立一元二次方程模型解决实际问题.
【难点】
1.用配方法解一元二次方程.
2.用公式法解一元二次方程.
3.一元二次方程根的判别式.
4.一元二次方程根与系数之间的关系.
5.建立一元二次方程模型解决实际问题的.
1.一元二次方程是初中数学最重要的数学模型之一,通过建立一元二次方程模型解决实际问题,可以使学生更深入地体会数学与现实世界的联系,所以可从实际问题抽象出一元二次方程的有关概念及其数学符号表示,让学生用类比思想理解并掌握一元二次方程的概念及其一般形式.
2.学生已经具备了解一元二次方程的基本思想——化归,即把方程转化为两个一元一次方程,教材由实际背景引入,建立一元二次方程模型,探究将二次降为一次的方法,转化为一元一次方程求解.配方法是推导一元二次方程的求根公式的工具,引导学生用配方法导出求根公式,在推导求根公式的过程中,方程形式的不断推广,体现了数学中的从特殊到一般的过程.教材探究一元二次方程解法的过程,对于培养学生的推理能力和运算能力有很大帮助.
3.一元二次方程根与系数之间的关系的学习,不仅为了一元二次方程理论的完整性,更重要的是初高中的衔接问题,根据求根公式,探究一元二次方程两根和与积分别与系数之间的关系,在教学活动中,可以让学生通过给出的几个一元二次方程的根,探索发现根与系数的关系,最后通过求根公式去验证总结,以此培养学生学习数学的严谨性和数学思维能力.
4.数学来源于生活,并应用于生活中,数学与生活息息相关,应用一元二次方程解决实际问题,引导学生分析其中的已知量、未知量及其等量关系,建立一元二次方程模型,得出方程的解,并检验所得的结果是否符合实际,得出合乎实际的结果,让学生经历“问题情境—建立模型—求解验证”的数学活动过程,培养学生的建模思想,逐步形成应用意识.
21.1一元二次方程
2课时
21.2 解一元二次方程
21.2.1配方法(2课时)
21.2.2公式法(1课时)
21.2.3因式分解法(1课时)
21.2.4一元二次方程的根与系数之间的关系(1课时)
5课时
21.3 实际问题与一元二次方程
2课时
21.1 一元二次方程
1.理解一元二次方程的概念.
2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.
3.体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型.
4.理解一元二次方程解的概念.
1.通过一元二次方程的引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.
2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念.
3.由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想,从而进一步培养学生的数学思维能力.
1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.
2.激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养应用数学的意识.
3.体会数学知识与现实世界的联系.
【重点】
1.一元二次方程的概念及一般形式.
2.一元二次方程的解(根).
【难点】
1.正确识别一般式中的“项”及“系数”.
2.由实际问题列出一元二次方程.
第课时
1.理解一元二次方程的概念.
2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.
1.通过一元二次方程的引入,培养学生的建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.
2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念.
1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.
2.激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养应用数学的意识.
【重点】 一元二次方程的概念及其一般形式.
【难点】
1.由具体问题抽象出一元二次方程.
2.正确识别一般式中的“项”及“系数”.
【教师准备】 多媒体课件1~3.
【学生准备】 复习一元一次方程和二元一次方程的定义.
导入一:
请同学们阅读章前问题,并回答问题.
要设计一座2 m高的人体雕塑,使雕塑的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,雕塑的下部应设计为多高?
如图所示,雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下等量关系:AC∶BC=BC∶2,即BC2=2AC.
设雕塑下部高x m,
可得方程x2=2(2-x),
整理得x2+2x-4=0.
【问题】 这个方程是不是我们以前学过的方程?
[设计意图] 帮助学生初步感知上述方程与以往学过的方程形式的不同,通过学生的好奇心激发本节课的学习欲望.
导入二:
观察下列方程:
(1)3x-5=0;(2)2x2+3x-2=0;(3)12x+3y52=0;(4)12x2+(x+1)(x-1)=0.
哪些是我们学过的一元一次方程?其他方程与一元一次方程有什么不同?
【师生活动】 复习方程、一元一次方程的概念、二元一次方程的概念.
【学生活动】 小组合作交流:观察新方程,分析元和次,尝试为新方程定义.
[设计意图] 让学生体会一元二次方程是刻画某些实际问题的模型,通过复习一元一次方程和二元一次方程的概念,让学生用类比的方法从已有的知识体系自然地构建出新知识.
导入三:
数字中有许多有趣而奇妙的现象,很多秘密等待着我们去探索发现!现在,我们先来做一个数字游戏:大家先计算出10,11,12三个数字的平方和,再计算出13和14的平方和,看看两个平方和相等吗?你还能找到五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?试试看!
如果设中间的一个数为x,请根据这一问题列出方程.
[设计意图] 本问题可以使学生体会到数学中的奥秘,激发学生探究新知的欲望.学生通过设未知数,寻找等量关系,初步认识一元二次方程.
[过渡语] 数学来源于生活,生活中处处有数学.我们一起探究下面的方程是怎样的方程,看看是不是一元一次方程,或者是不是二元一次方程.
一、一元二次方程的定义
给出课本问题1、问题2的两个实际问题,设未知数,建立方程.
问题1
【课件1】 如图所示,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
教师引导学生思考并回答:
如果设切去的正方形的边长为x cm,那么盒底的长是 ,宽是 ,根据方盒的底面积为3600 cm2,得 .?
整理,得 .?
化简,得 .?
解:设切去的正方形的边长为x cm,那么盒底的长是(100-2x)cm,宽是(50-2x)cm.
根据题意,得(100-2x)(50-2x)=3600.
整理,得4x2-300x+1400=0.
化简,得x2-75x+350=0.
问题2
【课件2】 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?
思路一
教师引导学生思考并回答:
全部比赛共有 场.?
若设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他 个队各赛一场,全部比赛共有 场.?
由此,我们可以列出方程 ,?
化简得 .?
【师生活动】 设未知数、 根据题意列出方程,老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型,并整理.
解:设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他(x-1)个队各赛一场,全部比赛共有12x(x-1)场.
根据题意,得12x(x-1)=4×7.
整理,得12x2-12x=28.化简,得x2-x=56.
思路二
小组活动,共同探究,思考下列问题.
(1)分析题意,题中的已知条件是什么?
(2)分析题意,题中的等量关系是什么?
(3)如何设未知数?根据题中等量关系怎样列方程?
【师生活动】 教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示讨论结果,教师及时补充.
解:设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他(x-1)个队各赛一场,全部比赛共有12x(x-1)场.
根据题意,得12x(x-1)=4×7.
整理,得12x2-12x=28.化简,得x2-x=56.
[设计意图] 通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出方程,为引出一元二次方程的概念做铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.
(教师板书导入一和课本问题所列的三个方程)
请口答下面问题.
(1)上面三个方程整理后含有几个未知数?
(2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几?
(3)方程两边都是整式吗?
【学生活动】 小组合作交流,类比一元一次方程定义,尝试给出一元二次方程的定义.
老师点评:(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2;(3)方程两边都是整式.
像这样的方程,等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
[设计意图] 通过小组活动,学生通过类比一元一次方程的定义得到一元二次方程的定义,从而达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结能力.
[过渡语] 我们了解了一元二次方程的概念,现在同学们比一比谁理解得更透彻吧.
【课件3】 请抢答下列各式是否为一元二次方程.
(1)4x2=81; (2)2(x2-1)=3y.
【师生活动】 以抢答的形式来完成此题,并让学生找出错误理由.教师应注意对学生给出的答案进行点评和归纳.
[设计意图] 进一步强化一元二次方程的概念满足的三个条件,采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性.
[知识拓展] 判断一个方程是一元二次方程需同时满足三个条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.同时要注意二次项系数不能为0.
二、一元二次方程的一般形式
【思考】 (1)类比一元一次方程的一般形式,你能不能写出一元二次方程的一般形式?
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
(2)二次项系数为什么不能为0?
学生思考回答.
[设计意图] 让学生自己概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解,是对数学符号语言的应用能力的提升,同时通过思考强调一元二次方程概念中的易错点.
[过渡语] 我们已经知道了一元二次方程的一般形式,试试我们能不能完成以下问题.
将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
〔解析〕 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),因此,对方程3x(x-1)=5(x+2)必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项、合并同类项等.
解:去括号,得3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项,得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.
[设计意图] 通过试一试,让学生了解求一元二次方程的项或项的系数时,需先化成一元二次方程一般形式再求解,同时加深对一元二次方程一般形式的理解.
[知识拓展] 1.一元二次方程的一般形式的特点是方程的右边为0,左边是关于未知数的二次整式.
2.一元二次方程的项或系数是针对一元二次方程的一般形式而言的,所以写项或系数时,要先化成一般形式,并且项或系数都包括前边的符号.
1.一元二次方程概念需要满足三个条件:
(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.
2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),易错点是忽略强调a≠0.
3.确定一元二次方程的项与系数时,一定先化成一般形式,书写时应注意包括前边的符号.
1.在下列方程中,一元二次方程有 ( )
①3x2+7=0;②ax2+bx+c=0;③(x-2)(x+5)=x2-1;④3x2- 2=0.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:一元二次方程必须满足三个条件:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程,同时注意二次项系数不为0.①和④满足这几个条件,②中二次项系数可能为0,③化简后不含有二次项,不符合定义.故选B.
2.方程3x2-3=2x+1的二次项系数为 ,一次项系数为 ,常数项为 .?
解析:通过移项、合并同类项,化成一元二次方程的一般形式,为3x2-2x-4=0,所以二次项系数为3,一次项系数为-2,常数项为-4.
答案:3 -2 -4
3.若(m-2)xm2-2=-3是关于x的一元二次方程,则m= .?
解析:根据一元二次方程概念知未知数x的最高次数是2,且二次项系数不为0,所以m2-2=2,m-2≠0,解得m=-2.故填-2.
第1课时
一、一元二次方程的定义
只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程.
二、一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
一、教材作业
【必做题】
教材第4页习题21.1的1,2题.
【选做题】
教材第4页习题21.1的4,5,6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列方程为一元二次方程的是 ( )
A.1-x2=0
B.2(x2-1)=3y
C.1x2-1x=0
D.(x-3)2=(x+3)2
2.若ax2-5x+3=0是一元二次方程,则不等式3a+6>0的解集是 ( )
A.a>-2 B.a<-2
C.a>-2且a≠0 D.a>12
3.生物兴趣小组的同学,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x名同学,则根据题意列出的方程是( )
A.x(x+1)=182 B.x(x-1)=182
C.2x(x+1)=182 D.x(x-1)=182×2
4.方程2x2=3(x+6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ( )
A.2,3,-6 B.2,-3,-18
C.2,-3,6 D.2,3,6
5.把一元二次方程(x-2)(x+3)=1化为一般形式是 .?
6.若方程kx2+x=3x2+1是关于x的一元二次方程,则k的取值范围是 .?
7.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)(2x-1)2=6;
(2)3x2+5(2x+1)=0.
8.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.
(1)有一个面积为54 m2的长方形,将它的一边剪短5 m,另一边剪短2 m,恰好变成一个正方形,这个正方形的边长是多少?
(2)三个连续整数两两相乘,再求和,结果为242,这三个数分别是多少?
9.求方程2x2+3=22x-4的二次项系数、一次项系数及常数项的积.
【能力提升】
10.若关于x的方程(k2-4)x2+k-1x+5=0是一元二次方程,求k的取值范围.
11.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常数项为0,求m的值.
12.当m取何值时,23x2m-1+10x+m=0是关于x的一元二次方程?
13.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
【拓展探究】
14.已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.
(1)x为何值时,此方程是一元一次方程?
(2)x为何值时,此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
【答案与解析】
1.A(解析:B中含有两个未知数,C中方程不是整式方程,D中方程化简后不含有x的二次项,只有A符合一元二次方程定义.故选A.)
2.C(解析:根据一元二次方程的二次项系数不为0可得a≠0,解不等式得a>-2.故选C.)
3.B(解析:每名同学都赠出(x-1)件,所以x名同学共赠出x(x-1)件,根据题意可列方程为x(x-1)=182.故选B.)
4.B(解析:化简得2x2-3x-18=0,所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2,-3,-18.故选B.)
5.x2+x-7=0(解析:根据多项式乘法法则化简方程左边,然后移项、合并同类项,可得x2+x-7=0.)
6.k≠3(解析:根据一元二次方程的定义知一元二次方程的二次项系数不为0,所以k≠3.)
7.解:(1)4x2-4x-5=0,二次项系数为4,一次项系数为-4,常数项为-5. (2)3x2+10x+5=0,二次项系数为3,一次项系数为10,常数项为5.
8.解:(1)设这个正方形的边长是x m,根据题意得(x+5)(x+2)=54,化简得x2+7x-44=0. (2)设这三个连续整数为x-1,x,x+1,根据题意得x(x-1)+(x-1)(x+1)+x(x+1)=242,化简得3x2-243=0.
9.解:将方程化简可得2x2-22x+7=0,所以二次项系数、一次项系数及常数项分别为2,-22,7,所以2×(-22)×7=-28.
10.解析:一元二次方程满足二次项系数不为0,该题易忽略二次根式的被开方数为非负数.
解:依题意得k2-4≠0,且k-1≥0,解得k≥1且k≠2.
11.解:由题意得m2-1=0,m-1≠0,解得m=-1.
12.解:由题意得2m-1=2,解得m=32.
13.解析:要证明不论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可.
证明:m2-8m+17=(m-4)2+1,∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0,∴不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
14.解析:本题是含有字母系数的方程问题,根据一元一次方程和一元二次方程的定义,分别进行讨论求解.
解:(1)由题意得m2-1=0,m+1≠0,即m=1时,关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元一次方程. (2)由题意得m2-1≠0,即m≠±1时,关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元二次方程.此方程的二次项系数是m2-1,一次项系数是-(m+1),常数项是m.
因为学生已经学习了一元一次方程及相关概念,所以本节课主要采用启发式、类比法教学.教学中力求体现“问题情境—数学模型—概念归纳”的模式.但是由于学生将实际问题转化为数学方程的能力有限,所以通过小组讨论,共同探究,从具体的问题情境中抽象出数学问题,建立数学方程,从而突破难点.让学生在实际生活情境中,经过自主探索和合作交流的学习过程,产生积极的情感体验,进而创造性地解决问题,有利于培养学生数学思维的提升.
在教学过程中,小组合作交流还存在个别学生参与意识不强的现象,有些问题教师引导不到位,比如根据实际问题建立数学模型,通过题意不能找到等量关系时,没有很好地帮助学生提高分析问题的能力,再如问题2中排球赛问题,学生对寻找题中的等量关系遇到了困难,不能理解为什么除以2,遇到问题时给学生思考时间较短.
学生为了解决实际问题进行小组合作交流时,教师应给足够的时间进行探究,让学生更好地体会建模思想在数学中的应用,对于学生的发言,给予充分的肯定,激发学生学习数学的激情,真正让学生在课堂上动起来.同时应该注重学生能力的培养,在引导学生分析问题时设计出更有价值的问题.
练习(教材第4页)
1.解:(1)5x2-4x-1=0,二次项系数为5,一次项系数为-4,常数项为-1. (2)4x2-81=0,二次项系数为4,一次项系数为0,常数项为-81. (3)4x2+8x-25=0,二次项系数为4,一次项系数为8,常数项为-25. (4)3x2-7x+1=0,二次项系数为3,一次项系数为-7,常数项为1.
2.解:(1)4x2=25,4x2-25=0. (2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0. (3)x·1=(1-x)2,x2-3x+1=0.
(1)数学来源于生活,又应用到生活中去,所以以不同的生活情境问题导入新课,通过分析题意,构建方程模型,让学生掌握利用方程解决问题的方法,既突破了本节课的难点,又很自然地引出了本节课的重点.
(2)类比方法是数学中重要的方法,所以本节课类比以前学过的一元一次方程的有关概念,让学生通过自主学习,共同探究,很自然地突破了重难点.
(3)本节课重难点、易错点的掌握通过不同的形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养竞争意识,激发学习兴趣,同时教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐中掌握知识.
已知关于x的方程(2k+1)x2-4kx+(k-1)=0.
(1)当k为何值时,此方程是一元一次方程?求出这个一元一次方程的根.
(2)当k为何值时,此方程是一元二次方程?并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
〔解析〕 (1)一元一次方程中不含有二次项,所以二次项系数为0.(2)一元二次方程中二次项系数不为0.
〔答案〕 (1)k=-12,x=34.
(2)k≠-12;二次项系数为2k+1,一次项系数为-4k,常数项为k-1.
第课时
1.了解一元二次方程根的概念.
2.会判定一个数是否为一个一元二次方程的根,以及利用它们解决一些具体问题.
3.理解方程的解在实际问题中的意义.
1.通过观察归纳一元二次方程根的概念,培养学生归纳、分析问题及解决问题的能力.
2.应用一元二次方程根的定义计算,体会整体思想在数学中的应用,进一步培养学生数学思维能力.
1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.
2.体验数学来源于生活、又应用于生活中,理解知识与现实世界的联系.
【重点】 判定一个数是否为方程的根.
【难点】 由实际问题列出的一元二次方程解出根后,检验根是否符合实际问题.
【教师准备】 多媒体课件1和课件2.
【学生准备】 复习一元二次方程的定义.
导入一:
根据下列问题,列出关于x的方程,并将所列方程化成一般形式.
一个面积为48 m2的矩形苗圃,它的长比宽多2 m,苗圃的宽为x m.
【学生活动】 分析等量关系,列出方程x(x+2)=48,化成一般形式为x2+2x-48=0.
根据所列的方程将表格填完整.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
x2+2x-48
【师生活动】 学生独立填空,口答结果,教师点评结果.
导入二:
把x=1,2,0,23分别代入一元二次方程3x2=2x中,哪些数可以使方程左右两边相等?
【师生活动】 学生思考计算,独立回答问题,老师点评.
[设计意图] 从实际问题中抽象出一元二次方程数学模型,既复习了上节课内容,又利于对本节课新知识的接受,同时通过计算从已有的旧知识很自然地构建新知识.
[过渡语] 通过上边的计算,x的值与方程有什么样的关系呢?让我们一起走进今天的知识殿堂.
一、一元二次方程的根
思路一
问题:(1)观察导入一所填表格,x取什么值时,代数式x2+2x-48的值为0?
(2)通过表格可得方程x2+2x-48=0(x>0)的解是什么?
(3)下列数:1,2,0,23,哪些是方程3x2=2x的解?
〔答案〕 (1)x=6时,代数式x2+2x-48的值为0.
(2)方程x2+2x-48=0(x>0)的解是x=6.
(3)0,23.
【师生活动】 学生独立思考后,教师引导学生回答,并及时补充.
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
思路二
【学生活动】 思考并回答:什么是一元一次方程的解?
教师及时补充.
自主学习课本第3页,小组讨论交流,并回答以下问题:
(1)什么是一元二次方程的根?
【课件1】 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
思考:一元二次方程的根是不是唯一的?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评.
[设计意图] 通过教师的引导(思路一),或自主学习后小组讨论交流(思路二),让学生经历知识的形成过程,达到真正理解和掌握概念,同时培养学生自主学习能力和分析问题的能力.
(2)导入中的两个方程x2+2x-48=0(x>0),3x2=2x的根是什么?
〔答案〕 x=6;x=0或x=23.
二、练习巩固
[过渡语] 我们了解了什么是一元二次方程的根的概念,请回答下列问题.
(1)下面哪些数是方程x2+x-12=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
【师生活动】 学生思考计算后,以抢答形式回答问题,并说明理由.教师及时对学生给出的答案和理由做出评价.
解:把这些数分别代入方程,使方程左右两边相等的数是方程的根.-4,3是方程的根.
[设计意图] 通过该练习,进一步强化一元二次方程的根的概念,采取抢答的形式,提高学生学习的竞争意识.
(2)李明在写作业时,一不小心,把方程5x2+■x-3=0的一次项的系数用墨水覆盖住了,但知道方程的一个根是x=-2,请你帮助李明求出覆盖的系数.
解:设覆盖的系数为a.
把x=-2代入方程可得5×(-2)2+(-2)a-3=0,
即20-2a-3=0,解得a=172.
∴覆盖的系数为172.
(3)若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的一个解是x=1,求2014-a-b的值.
解:把x=1代入方程可得a+b+5=0,
∴a+b=-5,
∴2014-a-b=2014-(a+b)=2014-(-5)
=2014+5=2019.
【师生活动】 学生独立思考后,小组讨论交流,学生板书解题过程,教师进行点评后,引导学生归纳:已知方程的根时,常采用的解题思路是什么?(把方程的根代入方程,使方程左右两边相等,求出待定系数的值,注意整体思想在解题中的应用.)
[设计意图] 通过小组讨论,加深对一元二次方程的根的概念的理解,培养学生合作意识和归纳总结能力.课件展示练习(2)(3)的解答过程,强化学生书写的严谨性,培养学生整体思想在数学中的应用,同时让学生体会生活中处处有数学,数学应用于生活中.
[知识拓展] 1.判断一个数是不是一元二次方程的根的方法:将这个数代入一元二次方程,如果方程左右两边相等,那么该数是方程的根;如果方程左右两边不相等,那么该数不是方程的根.
2.已知a是一元二次方程的根,把x=a代入方程,方程左右两边相等,可以求待定系数的值.
【课件2】
1.一元二次方程的根的概念
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
2.判定一个数是不是某个一元二次方程的根时,把这个数代入方程,满足方程的数就是方程的根,不满足方程的数就不是方程的根.
3.已知一元二次方程的根,求某个待定系数的值时,将方程的根代入方程求解.
1.以-2为根的一元二次方程可能是 ( )
A.x2+2x-2=0 B.x2-x-2=0
C.x2+x+2=0 D.x2+x-2=0
解析:把x=-2分别代入各方程,使得方程x2+x-2=0 左右两边相等.故选D.
2.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值是 ( )
A.-3 B.3 C.0 D.0或3
解析:把x=2代入方程,得4+2m+2=0,解得m=-3.故选A.
3.已知m是方程x2-x-2=0的一个根,则代数式m2-m的值等于 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:把x=m代入方程可得m2-m-2=0,所以m2-m=2.故选D.
4.已知实数a,b(a≠b)满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确的是 ( )
A.x=a,x=b都不是该方程的解
B.x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解
C.x=b是该方程的解,x=a不是该方程的解
D.x=a,x=b都是该方程的解
解析:根据已知条件,当x=a,x=b时a2-3a+1=0,b2-3b+1=0成立,所以x=a,x=b都是方程x2-3x+1=0的解.故选D.
5.已知方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0),则下列代数式的值恒为常数的是 ( )
A.ab B. C.a+b D.a-b
解析:把x=-a代入方程可得(-a)2-ab+a=0,即a2-ab+a=0,所以a(a-b+1)=0,因为a≠0,所以a-b+1=0,所以a-b=-1是常数.故选D.
第2课时
一、一元二次方程的根
二、练习巩固
(1)? ?
(2)? ?
(3)? ?
一、教材作业
【必做题】
教材第4页习题21.1的3题.
【选做题】
教材第4页习题21.1的7题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.方程x(x-1)=2的两根为 ( )
A.x1=0,x2=1
B.x1=0,x2=-1
C.x1=1,x2=2
D.x1=-1,x2=2
2.已知x=1是方程x2-2mx+1=0的根,则m的值是 ( )
A.1 B.0 C.0或1 D.0或-1
3.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根,则ab+cb等于 ( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
4.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1,一个根为-1,则a+b+c= ,a-b+c= .?
5.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是 .?
6.关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4=0的一个根为0,则a的值是 .?
7.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2014(a+b+c)的值.
【能力提升】
8.已知x=2是关于x的方程32x2-2a=0的一个解,则一次函数y=ax-1的图象不经过第 象限.?
9.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数,求证-1必是该方程的一个根.
10.已知m,n都是方程x2+2013x-2014=0的根,试求代数式(m2+2013m-2013)(n2+2013n+2013)的值.
【拓展探究】
11.已知方程x2-5x+5=0的一个根为m,求m+5m的值.
【答案与解析】
1.D(解析:把x=0,x=1分别代入方程,可得左边=0,右边=2,则左边≠右边,所以A,B,C错误;把x=-1,x=2分别代入方程,可得方程左右两边相等.故选D.)
2.A(解析:把x=1代入方程可得1-2m+1=0,解得m=1.故选A.)
3.A(解析:把x=-1代入方程可得a-b+c=0,∴a+c=b,∴ab+cb=a+cb=1.故选A.)
4.0 0(解析:把x=1代入方程可得a+b+c=0,把x=-1代入方程可得a-b+c=0.)
5.1(解析:把x=1代入方程可得1+a+b=0,∴a+b=-1,∴a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1.故填1.)
6.-2(解析:把x=0代入方程可得a2-4=0,∴a2=4,∴a=±2,又a-2≠0,∴a=-2.故填-2.)
7.解:将x=1代入ax2+bx+c=0,得a+b+c=0,所以2014(a+b+c)=0.
8.二(解析:把x=2代入方程可得a=3,所以一次函数的解析式为y=3x-1,则该一次函数图象过第一、三、四象限.故填二.)
9.证明:根据题意,得a+c=b,即a-b+c=0.当x=-1时,ax2+bx+c=a(-1)2+b(-1)+c=a-b+c=0,∴-1必是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.
10.解:∵m,n都是方程x2+2013x-2014=0的根,∴m2+2013m-2014=0,n2+2013n-2014=0,∴m2+2013m=2014,n2+2013n=2014,∴(m2+2013m-2013)(n2+2013n+2013)=(2014-2013)(2014+2013)=4027.
11.解:∵方程x2-5x+5=0的一个根是m,∴m2-5m+5=0,∴m2+5=5m,∴m+5m=m2+5m=5mm=5.
本节课学习了一元二次方程的根的概念,类比一元一次方程的根的概念,通过自主学习、小组交流、共同归纳、练习检测等环节让学生在愉悦的课堂上掌握了本节课的重点,学生在课堂中发挥主体作用,让数学课堂有了生命力.在本节课,大多数学生能体验成功的快乐,激发了学生学习兴趣.在练习的设计上,由简单的判断是不是一元二次方程的根,深入到解决实际问题,学生经历由浅入深、由易到难的过程,提高了学生分析问题、解决问题的能力,同时渗透了整体思想在数学中的应用,使学生的数学思维和数学能力得到提高.
本节课内容较为简单,虽采取了学生自主学习、共同探究的方法,但是还是没有放开手脚,教师还是急于解决下边的问题,给学生思考、交流的时间还不是很充足,应该把课堂大胆交给学生,让学生亲身经历知识形成过程,加深对知识的理解和掌握.另外课堂气氛虽然很活跃,但是有部分学生面对稍有难度的题目时,没有解决问题的思路,所以在以后的教学中,应更加注重中下游学生解决问题的能力.
本章内容的难点为一元二次方程的应用,教材设计上几乎每个课时都安排了与生活息息相关的实际问题.本节课内容较为简单,在设计上注重与实际问题有关的题目,逐步培养学生的建模思想,为后面的学习做好铺垫.此外,在练习中多设计与学过的知识有联系的题目,如将完全平方公式、因式分解、代数式的化简等与一元二次方程的根结合,并重视整体思想在解决问题中的应用,使学生的发散思维得到提升.
习题21.1(教材第4页)
1.解:(1)3x2-6x+1=0,二次项系数为3,一次项系数为-6,常数项为1. (2)4x2+5x-81=0,二次项系数为4,一次项系数为5,常数项为-81. (3)x2+5x=0,二次项系数为1,一次项系数为5,常数项为0. (4)2x2-4x+2=0,二次项系数为2,一次项系数为-4,常数项为2. (5)x2+10=0,二次项系数为1,一次项系数为0,常数项为10.
(6)x2+2x-2=0,二次项系数为1,一次项系数为2,常数项为-2.
2.解:(1)设这个圆的半径为R m,由圆的面积公式得πR2=2π,∴πR2-2π=0. (2)设这个直角三角形较长的直角边长为x cm,由直角三角形的面
积公式得12x·(x-3)=9,∴x2-3x-18=0.
3.解:-4,3是方程x2+x-12=0的根.
4.解:设矩形的宽为x cm,则矩形的长为(x+1)cm,由题意得x(x+1)=132,即x2+x-132=0.
5.解:设矩形的长为x m,则矩形的宽为(0.5-x)m,由矩形的面积公式得x(0.5-x)=0.06,∴x2-0.5x+0.06=0.
6.解:设有n人参加聚会,根据题意可知(n-1)+(n-2)+…+2+1=10,即n(n-1)2=10,∴n2-n-20=0.
7.解:由题意可知22-c=0,∴c=4,∴原方程为x2-4=0,∴x=±2,∴这个方程的另一个根为-2.
1.一元二次方程是初中数学的重要模型,它与生活实际息息相关,所以以生活实际问题为背景导入新课,建立一元二次方程模型,体会数学来源于生活,又应用到生活中去,激发学生学习兴趣,降低学习难度.
2.由于前边学习了一元一次方程的根的概念,所以本节课的难点易于突破,应用数学中的类比方法,复习一元一次方程的根的概念后,通过学生自主学习、小组交流方式探究新知识,重难点基本能够解决,教师适时点拨即可让学生掌握重难点.
3.整体思想及学过的知识与本节课的重点结合成为了本节课的一个难点,在习题的设计上要难易适中,有适当的梯度,尊重学生差异,教师对思考有困难的学生多关注,培养学生综合能力的提升.
已知实数m是方程x2+x-1=0的一个根,求代数式m3+2m2+2014的值.
〔解析〕 因为m是方程x2+x-1=0的根,所以m2+m-1=0,求出m2+m=1,把m3+2m2+2014化简,利用整体代入法将m2+m=1代入求值,注意化简时拆项、部分项提公因式.
解:∵m是方程x2+x-1=0的根,
∴m2+m-1=0,∴m2+m=1,
∴m3+2m2+2014=m(m2+m)+m2+2014
=m+m2+2014=1+2014=2015.
21.2 解一元二次方程
1.能用解一元二次方程的四种方法解数字系数的一元二次方程.
2.会根据方程的不同特点,灵活选用恰当的方法解方程.
3.不解方程,会判断一元二次方程根的情况.
4.能利用一元二次方程解决实际问题,增强学生的数学应用意识和能力.
1.探究一元二次方程的解法过程中,体会转化、降次、分类等数学思想在数学中的应用.
2.使学生参与对一元二次方程解法的探索,体验数学发现的过程,培养学生观察和总结的能力,发展数学思维.
3.通过正确、熟练地解一元二次方程,提高学生的综合运算能力.
1.通过师生的共同活动,培养学生积极参与、主动探索的精神,发展学生合作意识.
2.通过对一元二次方程解法的探究,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性,同时培养学生的数学建模意识和合情推理能力.
3.由生活实际问题抽象出一元二次方程,增强学生的数学应用意识和能力,激发学生的学习兴趣.
【重点】
1.利用四种方法解一元二次方程.
2.一元二次方程根与系数的关系.
【难点】 选择灵活的方法解一元二次方程.
21.2.1 配方法
1.会用直接开平方法解一元二次方程.
2.理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程.
1.体会转化、降次等数学思想在数学中的应用,培养学生基本的运算技巧和能力.
2.培养学生的观察、比较、分析、综合等能力,会应用学过的知识去解决新的问题.
1.鼓励学生积极主动地参与知识的形成过程,激发求知的欲望,体验成功的快乐,增强学习的兴趣和自信心.
2.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,让学生进一步体会转化的思想方法,并增强他们的数学应用意识和能力,激发学生的学习兴趣.
【重点】 运用直接开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
【难点】
1.一元二次方程根的确定.
2.判断一个方程是否适合用直接开平方的方法求解.
第课时
1.使学生理解直接开平方法的定义和基本思想.
2.会用直接开平方法解一元二次方程.
3.知道形如(x+n)2=p(p≥0)的方程可以用直接开平方法求解.
1.体会转化、降次等数学思想在数学中的应用,培养学生基本的运算技巧和能力.
2.培养学生的观察、比较、分析、综合等能力,会应用学过的知识去解决新的问题.
1.培养学生积极参与、主动探索的精神,发展学生合作意识.
2.鼓励学生积极主动地参与知识的形成过程,激发求知的欲望,体验成功的快乐,增强学习的兴趣和自信心.
【重点】 运用直接开平方法解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程.
【难点】 如何识别一个一元二次方程可以用直接开平方法求解.
【教师准备】 预想学生在解方程过程中容易出现的问题.
【学生准备】 复习一元二次方程根的定义.
导入一:
有这样一首诗:一群猴子分两队,高高兴兴在游戏.八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总数共多少,两队猴子在一起?
学生列出方程,并思考怎样解这个一元二次方程,教师引出课题.
导入二:
(1)什么是一个数的平方根?平方根有哪些性质?
(2)计算: 9的平方根是 ,425的平方根是 .?
(3)如果x2=36,那么x的值是 .?
【师生活动】 共同复习平方根的概念和性质.
[设计意图] 由实际问题导入新课,让学生体会数学在实际问题中的应用,培养学生学习数学的兴趣,同时教师引导学生分析解决问题,为以后学习一元二次方程的应用打下基础.通过复习平方根的概念和性质,让学生很自然地应用旧知识解决新问题.
[过渡语] 我们复习了平方根的定义,根据平方根的定义可以解某些特殊的一元二次方程,让我们尝试解这些方程吧!
一、例题讲解
(教材问题1)一桶油漆可刷的面积为1500 dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?
【师生活动】 学生思考,教师引导回答下列问题.
(1)设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子的表面积为 dm2;?
(2)据题意可得等量关系为 ;?
(3)根据等量关系可列方程 ;?
(4)化简可得 .?
【学生活动】 小组交流讨论如何解这个方程,学生回答问题后,教师及时补充.
解:设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子的表面积为6x2 dm2.
根据题意,得10×6x2=1500,整理,得x2=25.
根据平方根的意义,得x=±5.
即x1=5,x2=-5(不合题意,舍去).
答:其中一个盒子的棱长为5 dm.
问题思考:x=±5都是方程x2=25的根,在这里为什么舍去一个根?(棱长不能为负数,所以正方体盒子的棱长为5 dm.)
二、共同探究1 直接开平方法
1.例解方程
解下列方程.
(1)x2=4; (2)x2-2=0.
【师生活动】 学生思考回答,教师规范书写.
解:(1)根据平方根的意义得x=±2,
∴x1=2,x2=-2.
(2)移项得x2=2,∴x=±2,
∴ x1=2,x2 =-2.
[设计意图] 通过简单例题,探究利用平方根的意义解一元二次方程的方法,学生做好新旧知识衔接的同时,易于理解和掌握本节课的学习重点,教师板书解答过程,达到规范学生做题习惯的目的.
2.归纳概念
通过直接将某一个数开平方解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
[过渡语] 我们知道了直接开平方法解一元二次方程方程的定义,让我们比一比看谁算得快吧!
3.即时巩固
解下列方程.(抢答)
(1)x2=9; (2)9x2-144=0.
【师生活动】 学生独立思考计算后,进行抢答,教师对学生的成果点评.
解:(1)根据平方根的意义,得x=±3,
∴x1=3,x2=-3.
(2)移项,得9x2=144,系数化为1,得x2=16,
根据平方根的意义,得x=±4,
∴x1=4,x2=-4.
[设计意图] 设计比较简单的练习,巩固直接开平方法的应用,以抢答形式回答,激发学生的学习兴趣和竞争意识.
4.总结归纳
一般地,对于方程x2=p:
(1)当p>0时,方程有两个不相等的实数根x1=p,x2=-p;
(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;
(3)当p<0时,方程没有实数根.
[设计意图] 师生共同探究,得出一般结论,达到真正理解和掌握直接开平方法解方程的目的,同时培养学生归纳总结能力.
三、共同探究2 解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程
[过渡语] 通过上边的学习,我们已经会解形如x2=p的方程,如果我们给这样的方程进行变化,同学们又该如何求出方程的解呢?
解下列方程.
(1)(x+3)2=5; (2)4(x+3)2=5.
思路一
教师引导分析方程特点,方程(1)中,把x+3看作整体,用直接开平方法,将方程化为x+3=±5,即x+3=5或x+3=-5,达到降次的目的,转化为两个一元一次方程求解.
方程(2)中,也把x+3看作整体,两边同时除以4,方程化为(x+3)2=54,仿照方程(1)的解法可直接开平方求解.
思路二
思考:方程有什么特点?是不是形如x2=p的方程?如果不是,能不能化成这种形式?
教师提出问题,学生针对问题进行小组讨论交流,共同探究,教师在巡视过程中针对学生遇到的困难给予提示,即整体思想在数学中的应用.
解:(1)直接开平方,得x+3=±5,
即x+3=5或x+3=-5,
∴方程的根为x1=-3+5,x2=-3-5.
(2)两边同时除以4,得(x+3)2=54,
即x+3=52或x+3=-52,
∴方程的根为x1=-3+52,x2=-3-52.
[设计意图] 通过给学过的方程“穿衣服”,激发学生探究数学新知识的乐趣,方程层层递进的变化,让学生在熟悉的知识中易于理解和掌握新知识,同时培养学生用整体思想思考问题的意识.
归纳总结:
(1)通过上面的探究,解一元二次方程的基本策略是什么?
【师生活动】 学生思考,教师提示:由方程(x+3)2=5,到方程x+3=5或x+3=-5,方程的次数有什么变化?将新知识化成原来学过的知识,是数学中常用的转化思想.
“降次”是解一元二次方程的基本策略,直接开平方法是根据平方根的意义,把一个一元二次方程“降次”,达到转化为两个一元一次方程的目的.
(2)能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点?方程的解是什么?
【师生活动】 学生思考,小组讨论,归纳总结.
如果一个一元二次方程具有(x+n)2=p(p≥0)的形式,那么就可以用直接开平方法求解,方程的解为x1=-n-p,x2=-n+p.
(3)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么?
【师生活动】 学生思考回答,老师指导.
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式,右边是非负数的形式,然后用平方根的概念求解.
[设计意图] 以问题的形式归纳本节课的重难点及易错点,在教师的引导下,学生独立思考或小组交流,将知识进行归纳,体会转化思想在数学中的重要应用,培养学生分析问题、解决问题的能力.
[知识拓展] 1.直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法,主要解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程,解方程的理论依据是平方根的定义.
2.利用直接开平方法解一元二次方程时,要注意开方的结果.
3.方程(x+n)2=p中,当p<0时,方程没有实数根.
直接开平方法解一元二次方程的基本策略是降次,依据是平方根的概念.
直接开平方法适合解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程.
一元二次方程(x+n)2=p根的情况:
当p≥0时,方程有实数根,当p<0时,方程没有实数根.
1.方程3x2+27=0的解是 ( )
A.x=±3 B.x=-3
C.无实数根 D.以上都不对
解析:移项,得3x2=-27,系数化为1,得x2=-9,因为-9<0,所以方程没有实数根.故选C.
2.方程(x-2)2=9的解是 ( )
A.x1=5,x2=-1
B.x1=-5,x2=1
C.x1=11,x2=-7
D.x1=-11,x2=7
解析:直接开平方得x-2=±3,即x-2=3或x-2=-3,所以方程的两个根是x1=5,x2=-1.故选A.
3.用直接开平方法解方程(x+h)2=k,方程必须满足的条件是 ( )
A.k≥0 B.h≥0
C.hk>0 D.k<0
解析:因为负数没有平方根,所以k≥0.故选A.
4.方程(x-m)2=n(n为正数)的解是 .?
解析:直接开平方得x-m=±n,所以x-m=n或 x-m=-n,所以x1=m+n,x2=m-n.故填x1=m+n,x2=m-n.
5.解下列方程.
(1)4x2=81; (2)(x-2)2=5;
(3)36x2-1=0; (4)3(x-1)2-6=0.
解:(1)系数化为1得x2=814,
直接开平方得x=±92,
所以x1=92,x2=-92.
(2)直接开平方得x-2= ±5,
所以x-2=5或x-2=-5,
所以x1=2+5,x2=2-5.
(3)移项得36x2=1,系数化为1得x2=136,
直接开平方得x=±16,
所以x1=16,x2=-16.
(4)移项得3(x-1)2=6,
方程两边同时除以3得(x-1)2=2,
直接开平方得x-1=±2,
即x-1=2或x-1=-2,
所以x1=1+2,x2=1-2.
第1课时
一、例题讲解
二、共同探究1 直接开平方法
对于方程x2=p,
(1)当p>0时,??
(2)当p=0时,??
(3)当p<0时,??
三、共同探究2 解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程
一、教材作业
【必做题】
教材第6页练习的(1)(2)(3)题.
【选做题】
教材第6页练习的(5)题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.方程x2-3=0的根是 ( )
A.x=3 B.x1=3,x2=-3
C.x=3 D.x1=3,x2=-3
2.方程(x+1)2=9的解是 ( )
A.2 B.-4
C.2或-4 D.±3
3.方程3x2+9=0的根为 ( )
A.3 B.-3
C.±3 D.无实数根
4.已知关于x的一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接开平方法求解,且有两个不相等的实数根,则m,n必须满足的条件是 ( )
A.n=0 B.m,n异号
C.n是m的整数倍 D.m,n同号
5.下列解方程的过程中,正确的是 ( )
A.x2=-2,解方程得x=±2
B.4(x-1)2=9,直接开平方得4(x-1)=±3,所以x1=74,x2=14
C.(x-2)2=4,直接开平方得x-2=2,所以x=4
D.(2x+3)2=25,直接开平方得2x+3=±5,所以x1= 1,x2=-4
6.方程x2+1=2的解是 .?
7.如果方程2(x-3)2=72,那么这个一元二次方程的两根是 .?
8.用直接开平方法解下列方程.
(1)3x2-13=0;
(2)(x+5)2=25;
(3)x2+2x+1=4;
(4)(3x+1)2=7;
(5)12(3-2x)2-3 = 0.
【能力提升】
9.已知(x2+y2-1)2=4,则x2+y2的值为 .?
10.若分式x2-4x-2的值为0,则x的值为 .?
11.一个球的表面积是100π cm2,求这个球的半径.(球的表面积S=4πR2,其中R是球的半径)
【拓展探究】
12.解方程(2x-1)2=(x-2)2.
【答案与解析】
1.D(解析:移项得x2=3,直接开平方得x=±3.故选D.)
2.C(解析:直接开平方得x+1=±3,即x+1=3或x+1=-3,∴x=2或x=-4.)
3.D(解析:移项,得3x2=-9,∵-9<0,∴方程没有实数根.)
4.B(解析:移项,得mx2=-n,∴x2=-nm,要使方程有两个不相等的实数根,则-nm>0,∴nm<0,∴m,n异号.故选B.)
5.D(解析:∵-2<0,∴x2=-2没有实数根,∴A错误;将方程4(x-1)2=9两边直接开平方,得2(x-1)=±3,∴B错误;将方程(x-2)2=4直接开平方得x-2=±2,∴C错误;D正确.故选D.)
6.x=±1(解析:移项,得x2=1,直接开平方,得x=±1.)
7.x1=9,x2=-3(解析:方程两边同时除以2,得(x-3)2=36,直接开平方,得x-3=±6,即x-3=6或x-3=-6,∴x1=9,x2=-3.)
8.解:(1)移项,得3x2=13,系数化为1,得x2=19,∴x1=13,x2=-13. (2)直接开平方,得x+5=±5,∴x+5=5或x+5=-5,∴x1=0,x2=-10. (3)化简,得(x+1)2=4,直接开平方,得x+1=±2,∴x+1=2或x+1=-2,∴x1=1,x2=-3. (4)直接开平方,得3x+1=±7,∴3x+1=7或3x+1=-7,∴x1=7-13,x2=-1-73. (5)移项,得12(3-2x)2=3,两边都除以12,得(3-2x)2=14,直接开平方,得3-2x=±12,即3-2x=12或3-2x=-12,∴x1=54,x2=74.
9.3(解析:直接开平方,得x2+y2-1=±2,∴x2+y2-1=2或x2+y2-1=-2,∴x2+y2=3或x2+y2=-1(舍).故填3.)
10.-2(解析:由题意可得x2-4=0,解得x=±2,又分母不为0,∴x-2≠0,∴x=-2.故填-2.)
11.解:设这个球的半径为R cm,根据题意,得4πR2=100π,两边同时除以4π,得R2=25,∴R=±5,∵R>0,∴R=5.∴这个球的半径是5 cm.
12.解析:如果把2x-1看成是(x-2)2的平方根,同样可以用直接开平方法求解.
解:2x-1=±(x-2)2,即2x-1=±(x-2),∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2,∴x1=-1,x2=1.
本节课采用创设生活实际问题情境导入新课,综合运用探究式、启发式、活动式等方法进行教学,遵循因材施教、循序渐进原则,以问题形式呈现,学生通过思考、交流、探究、展示、归纳等活动学习新知识,发展学生分析问题、解决问题的能力,在课堂上通过展示自我,体验成功的快乐.教学中,使学生参与到整个学习过程中,激发学生的学习兴趣,提高课堂效率.初三学生已经有了一定的计算能力,所以简单问题设计成口答形式,节约时间,提高优秀生能力.
本节课内容较为简单,学生易于掌握,所以设计了太多的问题引导学生思考、交流,归纳,有些烦琐的感觉,可以大胆放手,学生自学后小组内交流讨论,最后归纳总结,教师可以用质疑的形式检验各小组的交流结果,学生在课堂上才能成为真正的主人,这节课还是教师说得太多,限制了学生的发散思维.
本节课重点和难点都是“探究”,在教学活动中,教师尊重并相信学生的思维能力、集体智慧,把探究的主动权交给学生,教师注重培养学生发现问题、提出问题与动手解决问题的能力.教学过程中注重采用启发式教学,让学生通过分组讨论解决问题的思路,强化本节的重点,在教学中多设计层层递进的问题,学生依据问题进行思考、探究,能够节约时间,有针对性地突破难点.
练习(教材第6页)
解:(1)2x2-8=0,2x2=8,x2=4,∴x1=2,x2=-2. (2)9x2-5=3,移项,得9x2=8,x2=89,∴x1=223,x2=-223. (3)(x+6)2-9=0,移项,得(x+6)2=9,x+6=±3,∴x1=-3,x2=-9.
(4)3(x-1)2-6=0,移项,得(x-1)2=2,x-1=±2,∴x1=1-2,x2=1+2. (5)x2-4x+4=5,(x-2)2=5,x-2=±5,∴x1=2-5,x2=2+5. (6)9x2+5=1,9x2=-4,∴x2=-49<0,∴方程无实数根.
1.与一元一次方程、二元一次方程组相比,一元二次方程的解法涉及更多的知识,可以根据方程的特点选择不同的解法.这节课根据平方根的意义,得出形如x2=p(p≥0)和(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法,所以通过复习平方根的意义,直接开平方,达到降次的目的,很自然地引出了本节课的重点.
2.如何识别一个一元二次方程适合用直接开平方法求解,这是本节课的难点,所以给简单方程加上衣服,给学生充足的时间进行交流探究,教师及时提醒学生整体思想在数学中的应用,使学生在探究活动中突破难点,提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生的思维.
3.本节课重难点的巩固通过不同形式的练习来完成,让学生积极参与,激发学习兴趣,教师的引导、及时的点拨,更易于让学生把知识进行拓展.
如图所示,在ΔABC中,∠B=90°,点P从点B出发,沿BA边向点A以1 cm/s的速度移动,点Q从点B出发,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果AB=6 cm,BC=12 cm,P,Q同时从B点同时出发,几秒后ΔPBQ的面积等于8 cm2?
解:设x s后ΔPBQ的面积等于8 cm2,则PB=x cm,BQ=2x cm,依题意,得12x·2x=8.
即x2=8,根据平方根的意义,得x=±22,即x1=22,x2=-22.
可以验证,22和-22都是方程12x·2x=8的根,但是移动时间不能是负值.
所以22 s后ΔPBQ的面积等于8 cm2.
第课时
1.理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程.
2.能利用配方法解决实际问题,增强学生的数学应用意识和能力.
1.通过对比、转化,总结得出配方法的解题步骤,提高学生的推理能力.
2.通过对一元二次方程二次项系数是否为1的分类处理,锻炼学生的抽象概括能力.
3.经历探索用配方法解一元二次方程的过程,感悟转化思想在解一元二次方程中的运用.
1.通过师生的共同活动,培养学生积极参与、主动探索、敢于发表见解的精神.
2.通过配方法的探究活动,培养学生勇于探索的良好学习习惯,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
3.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,让学生进一步体会转化的思想方法,并增强他们的数学应用意识和能力,激发学生的学习兴趣.
【重点】 利用配方法解简单的一元二次方程.
【难点】 通过配方把一元二次方程转化为(x+n)2=p(p≥0)的形式.
【教师准备】 多媒体课件1~4.
【学生准备】 总结解一元二次方程的基本思路—降次.
导入一:
小明用一段长为20米的竹篱笆围成一个矩形,怎样设计才可以使得该矩形的面积为9平方米?
思考:根据题意,矩形的周长是 米,设矩形的长为x米,则矩形的宽为 米,题目中的等量关系为 ,故可列出方程为 .?
【师生活动】 教师引导,学生思考回答.
设该矩形的长为x米,依题意得x(10-x)=9,即x2-10x+9=0.
[过渡语] 我们发现所列的一元二次方程无法用直开平方法解,如何解这个方程,就是我们这节课要探究的问题.
导入二:
用直接开平方法解下列方程.
(1)2x2-8=0; (2)3(x-1)2=12.
【师生活动】 师生共同复习直接开平方法解一元二次方程的步骤.学生独立完成练习,教师做点评.
[设计意图] 从实际问题出发,让学生感受到“生活中处处有数学”,同时为后边学习一元二次方程的应用打下基础.直接开平方法是配方法的基础,通过对旧知识的复习,做好新旧知识的衔接,为配方法的学习打下基础.
一、共同探究1
【课件1】 根据完全平方公式填空.
(1)x2+8x+ =(x+ )2?
(2)x2-x+ =(x- )2?
(3)x2+mx+ =( )2?
完成填空并思考:当二次项系数为1,且二次三项式可配成完全平方式时常数项和一次项系数之间有什么关系?
【师生活动】 学生独立思考后,小组讨论交流,共同完成,教师及时点评.教师强调:当一次项系数为负数或分数时,要注意运算的准确性.
归纳总结:当二次项系数为1且二次三项式可配成完全平方式时,常数项是一次项系数一半的平方.
[过渡语] 我们学习了二次项系数为1时的二次三项式配方,请你给同桌出两道将二次三项式配方的题目,并检验我们探究的结论是否正确.
【师生活动】 学生出题、独立完成同桌的题目,共同交流答案并检验结论的正确性,教师对有困难的学生单独指导.
[设计意图] 通过复习利用完全平方知识填空,学生归纳、猜想、验证二次项系数为1时,配方时常数项与一次项系数之间的关系,为后面的学习打下基础,同时培养学生归纳、猜想能力.
二、共同探究2
【课件2】 你会解这样的方程吗?
(1)x2+6x+9=0;
(2)x2+6x+4=0.
【师生活动】 学生独立完成方程(1)的求解.教师点评:方程左边配成完全平方形式,用直接开平方法求解.
共同探究方程(2)的解法:
思路一
教师引导分析、思考下列问题并回答.
1.方程(2)与方程(1)的区别是什么?
方程(1)左边可以化简成完全平方式,方程(2)左边不是完全平方式.
2.把常数项移项,如何把方程(2)的左边化成与方程(1)的左边相同?
移项,得x2+6x=-4,根据等式的性质,方程两边同时加9可以把方程(2)的左边化成与方程(1)的左边相同.
3.试着解方程(2).
解:移项,得x2+6x=-4,
方程两边同时加9,得 x2+6x+9=-4+9,
配方,得(x+3)2=5,∴x+3=±5,
∴x+3=5或x+3=-5,
∴x1=-3+5,x2=-3-5.
思路二
通过学生合作交流,完成方程(1)的求解.
探究中思考:我们学会了用直接开平方法解一元二次方程,方程(2)能不能化成直接开平方的方程的形式,然后降次求解?
【师生活动】 给学生充足的时间,进行小组合作交流,教师引导分析两个方程之间的区别和联系,对有困难的学生加以引导.
解:移项,得x2+6x=-4,
方程两边同时加9,得 x2+6x+9=-4+9,
配方,得(x+3)2=5,∴x+3=±5,
∴x+3=5或x+3=-5,
∴x1=-3+5,x2=-3-5.
[设计意图] 引导学生通过对比两个方程,发现它们之间的联系,从而找到解决问题的突破口,依据完全平方公式进行配方,体会从特殊到一般、从具体到抽象的思维过程.通过寻找解一元二次方程的新的解法(配方法),培养学生勇于探索的精神.
思考问题:你能归纳出配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤吗?
【师生活动】 小组合作交流,共同探究,教师对学生的展示进行归纳总结.
【课件3】 配方法解一元二次方程的步骤:
(1)移项(把常数项移到方程右边);
(2)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方);
(3)开平方;
(4)解出方程的根.
[设计意图] 通过小组合作归纳结论,培养学生合作意识和归纳总结能力.
三、共同探究3
解下列方程.
(1)2x2+1=3x;
(2)3x2-6x+4=0.
教师引导分析:
(1)两个方程能不能按上边的方法先移项,然后直接配方?
观察方程移项后,二次项系数不为1,所以不能直接配方.
(2)观察两个方程和上边方程有什么区别.
二次项系数不为1.
(3)如何把二次项系数化为1?
根据等式的基本性质,方程两边同时除以二次项系数即可.
(4)根据上边的分析,尝试解方程.
【师生活动】 小组讨论交流,共同探究解方程的方法,教师对有困难的学生给予适当提示.
小组交流后学生板书解题过程,教师指导点拨.
解:(1)移项,得2x2-3x=-1,
二次项系数化为1,得x2-32x=-12,
配方,得x2-32x+342=-12+342,
即x-342=116,∴x-34=±14,
∴x1=1,x2=12.
(2)移项,得3x2-6x=-4,
二次项系数化为1,得x2-2x=-43,
配方,得x2-2x+12=-43+12,
即(x-1)2=-13,
∵实数的平方不会是负数,∴原方程无实数根.
思考并回答:用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?
【课件4】 配方法解一元二次方程的一般步骤:
(1)移项(把常数项移到方程右边);
(2)二次项系数化为1(方程两边同时除以二次项系数);
(3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方);
(4)开平方;
(5)解出方程的根.
[设计意图] 几个问题的设计是层层递进,化解了教学的难度,学生在探索、交流的过程掌握了知识,培养了数学思维和分析问题、解决问题的能力,同时再次培养学生的归纳总结能力.
[知识拓展] 1.配方法是对二次项和一次项配方,所以一般先把常数项移到方程右边,再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方(二次项系数必须为1).
2.用配方法解一元二次方程,实质就是对一元二次方程变形,转化成直接开平方法所需要的形式.配方是为了降次,利用平方根的定义把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
1.配方法:把一个一元二次方程变形为(x+h)2=k(k≥0)的形式(其中h,k都是常数),再通过直接开平方法求出方程的解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.(提示:若k<0,方程无实数根)
2.解一元二次方程的基本思路是降次,把一元二次方程化为(x+h)2=k(k≥0)的形式后两边开平方使原方程变为两个一元一次方程,
3.用配方法解一元二次方程的一般步骤:(1)移项(把常数项移到方程的右边);(2)把二次项系数化为1(方程两边同时除以二次项系数);(3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方);(4)开平方(根据平方根的意义,方程两边开平方);(5)求解(解一元一次方程).
1.将二次三项式x2-4x+1配方后得 ( )
A.(x-2)2+3 B.(x-2)2-3
C.(x+2)2+3 D.(x+2)2-3
解析:代数式加一次项系数一半的平方4,再减去4,可得x2-4x+1=x2-4x+4+1-4=(x-2)2-3.故选B.
2.已知x2-8x+15=0,要将方程左边化成含有x的完全平方形式,下列做法正确的是 ( )
A.x2-8x+(-4)2=31
B.x2-8x+(-4)2=1
C.x2+8x+42=1
D.x2-4x+4=-11
解析:移项,得x2-8x=-15,两边同时加一次项系数一半的平方,得x2-8x+(-4)2=1.故选B.
3.方程x2+4x-5=0的解是 .?
解析:移项,得x2+4x=5,两边同时加4,得x2+4x+4=9,配方得(x+2)2=9,∴x+2=3或x+2=-3,∴x1=1,x2=-5.故填x1=1,x2=-5.
4.x2+6x+ =(x+ )2,a2± +14=(a± )2.?
解析:二次项系数为1时,完全平方式展开式中常数项是一次项系数一半的平方.
答案:9 3 a 12
5.用配方法解方程.
(1)x2+ 2x - 3=0;
(2)9y2-18y-4=0.
解:(1)移项,得x2+2x=3,
两边同时加1,得x2+2x+1=4,
配方得(x+1)2=4,
∴x+1=2或x+1=-2,∴x1=1,x2=-3.
(2)移项,得9y2-18y=4,
两边同时除以9,得y2-2y=49,
两边同时加1,得y2-2y+1=49+1,
配方,得(y-1)2=139,
∴y-1=133或y-1=-133,
∴y1=1+133,y2=1-133.
第2课时
一、共同探究1
二、共同探究2
(1)x2+6x+9=0
(2)x2+6x+4=0
三、共同探究3
(1)2x2+1=3x
(2)3x2-6x+4=0
一、教材作业
【必做题】
教材第9页练习的1,2(1)(2)题.
【选做题】
教材第9页练习的2(5)(6)题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.用配方法将二次三项式a2+4a+5变形,结果是 ( )
A.(a-2)2+1 B.(a+2)2+1
C.(a+2)2-1 D.(a-2)2-1
2.用配方法解方程2x2-43x-2=0,应把它先变形为 ( )
A.x-232=89
B.x-232=0
C.x-132=89
D.x-232=109
3.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z的值是 ( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
4.将x2+2x-5=0配方后的方程为 .?
5.方程x2-4x-12=0的解是x1= ,x2= .?
6.代数式x2-x-2x2-1的值为0,则x的值为 .?
7.如果16(x-y)2+40(x-y)+25=0,那么x与y的关系是 .?
8.解下列方程.
(1)x2+ 6x-5=0;
(2)x2+3=23x;
(3)3x2+2x-1 =0.
【能力提升】
9.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值,若设x+y=z,则原方程可变为 ,所以求出z的值即为x+y的值,所以x+y的值为 .?
10.用配方法证明代数式x2+8x+17的值恒大于零.
11.求代数式2x2-7x-2的最小值.
12.解方程x(x+8)=16.
【拓展探究】
13.已知实数x满足x2+1x2+2x+1x=0,求x+1x的值.
【答案与解析】
1.B(解析:a2+4a+5= a2+4a+4+1=(a+2)2+1.故选B.)
2.D(解析:移项,得2x2-43x=2,二次项系数化为1,得x2-23x=1,两边同时加19,得x2-23x+19=1+19,配方得x-132=109.故选D.)
3.B(解析:由x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,得x2-2x+1+y2+4y+4+z2-6z+9=0,即(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=0,所以x-1=0,y+2=0,z-3=0,所以x=1,y=-2,z=3,所以x+y+z=2.故选B.)
4.(x+1)2=6(解析:移项,得x2+2x=5,两边同时加1,得x2+2x+1=6,配方得(x+1)2=6.故填(x+1)2=6.)
5.6 -2(解析:移项,得x2-4x=12,两边同时加4,得x2-4x+4=16,配方得(x-2)2=16,∴x-2=4或x-2=-4,∴x1=6,x2=-2.)
6.2(解析:由题意得x2-x-2=0,解方程得x1=-1,x2=2,又x2-1≠0,∴x=2.故填2.)
7.x-y=-54(解析:配方得4(x-y)+52=0,∴4(x-y)+5=0,∴x-y=-54.)
8.解:(1)原方程化为x2+6x=5,∴x2+6x+9=5+9,∴(x+3)2=14,∴x+3=±14,∴x1=14-3,x2=-14-3. (2)原方程化为x2-23x=-3,∴x2-23x +3=0,∴(x-3)2=0,∴x1=x2=3. (3)原方程化为3x2+2x =1,∴ x2+23x=13,∴x2+23x+19=13+19,∴x+132=49,∴x+13=±23,∴x1=13,x2=-1.
9.z2+2z-8=0 -4或2(解析:方程化为z(z+2)-8=0,即z2+2z-8=0,配方得(z+1)2=9,∴z+1=3或z+1=-3,∴z1=-4,z2=2.)
10.证明: x2+8x+17=(x+4)2+1,∵(x+4)2≥0,∴(x+4)2+1≥1,∴x2+8x+17的值恒大于0.
11.解:2x2-7x-2 =2x-742-658,当x=74时,代数式有最小值,为-658.
12.解析:首先把左边的式子展开,利用配方法配成完全平方式,再直接开平方即可.
解:x2+8x+42=16+42,(x+4)2=32,∴x+4=±42,∴x1=42-4,x2=-42-4.
13.解:由于x2+1x2+2=x+1x2,故原方程两边同时加2,得x2+1x2+2+2x+1x=2,即x+1x2+2x+1x=2.设x+1x=y,得y2+2y=2.配方,得(y+1)2=3.直接开平方,得y+1=±3,则y1=3-1,y2=-3-1.∴x+1x=3-1或x+1x=-3-1.
本节课以生活实例和复习直接开平方法解一元二次方程两种方式导入新课,让学生体会生活中处处有数学,激发学生学习兴趣,直接开平方法解一元二次方程是学习配方法的基础,通过复习降低了学习新知识的难度.本节课的亮点为题目的设计是层层递进的,由浅入深,学生易于接受和掌握,学生活动多以小组讨论、共同探究为主,学生在课堂上比较活跃,积极参与,给数学课注入了活力.本节课知识的归纳总结是学生在老师的引导下完成的,培养了学生的归纳总结能力,同时学生的数学思维得到了培养.
本节课在师生共同探究中完成,在探究活动中有些学生参与意识不强,尤其在小组内交流的知识有难度时,部分学生有无从下手的感觉,比如探究完全平方式展开式中一次项系数与常数项之间的关系,以及二次项系数不为1时,如何用配方法解方程,教师应及时引导,将问题难度降低,激发学生学习热情.另一方面,对易错点的强调还存在不足之处,应让学生自己归纳易错点,加深印象.
本节课通过实际问题的解决,培养学生数学应用的意识和能力,同时又进一步训练用配方法解题的技能.在教学中最关键的是让学生掌握配方法,对学生来说,要理解和掌握它,确实感到困难,配方法的关键在于如何配方,所以探究中不能满足于单纯表面的发现,或者是凭经验去寻找答案,而是通过理性的思维去推理,提出有价值的问题进行探究,这对提高学生的探究能力有很好的促进作用.
练习(教材第9页)
1.(1)25 5 (2)36 6 (3)254 52 (4)19 13
2.解:(1)x2+10x+9=0,x2+10x+25-25+9=0,(x+5)2=16,x+5=±4,∴x1=-1,x2=-9. (2)x2-x-74=0,x2-x+122-122-74=0,x-122=2,x-12=±2,∴x1=12-2,x2=12+2. (3)3x2+6x-4=0,3(x2+2x)-4=0,3(x2+2x+1-1)-4=0,3(x+1)2=7,(x+1)2=73,x+1=±213,∴x1=-1-213,x2=-1+213. (4)4x2-6x-3=0,4x2-32x=3,x-342=2116,x-34=±214,∴x1=34-214,x2=34+214. (5)x2+4x-9=2x-11,x2+2x+2=0,(x+1)2=-1,∴原方程无实数根. (6)x(x+4)=8x+12,x2-4x-12=0,(x-2)2=16,x-2=±4,∴x1=6,x2=-2.
1.配方法是初中数学教学中的重要内容,也是数学学习的主要思想方法.配方法虽然不是解一元二次方程的主要方法,但是通过配方法可以推导出一元二次方程的求根公式,并且是今后运用配方的方法解决一些数学问题的基础.所以本节内容在教材中起到承前启后的作用,在整个初中的数学学习都起到至关重要的作用.
2.在教学中注意找准学生的最近发展区,主要以启发学生进行探究的形式展开,在知识探究的过程中,通过设计既有联系又层层递进的问题,使学生在探究的过程中能体会到成功的喜悦,这样可以更好地突破本节课的难点.
3.本节的重点是配方法解一元二次方程的探究,让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的思维过程,然后归纳总结出配方法解一元二次方程的一般步骤,既可以培养学生归纳总结能力,又加深了学生对本节课重点知识的印象.
有n个方程:x2+2x-8=0;x2+2×2x-8×22=0;…;x2+2nx-8n2=0.
小静同学解第一个方程x2+2x-8=0的步骤为:“①x2+2x=8;②x2+2x+1=8+1;③(x+1)2=9;④x+1=±3;⑤x=1±3;⑥x1=4,x2=-2.”
(1)小静的解法是从步骤 开始出现错误的;?
(2)用配方法解第n个方程x2+2nx-8n2=0.(用含有n的式子表示方程的根)
解:(1)⑤
(2)x2+2nx-8n2=0,x2+2nx=8n2,
x2+2nx+n2=8n2+n2,(x+n)2=9n2,
x+n=±3n,x1=2n,x2=-4n.
21.2.2 公式法
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2.会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况.
3.熟练地使用求根公式解一元二次方程.
1.通过探究一元二次方程的求根公式,提高学生的观察能力、分析问题能力,同时培养学生的数学建模意识和合情推理能力.
2.通过正确、熟练地使用求根公式解一元二次方程,提高学生的综合运算能力.
3.通过探究求根公式的推导及应用过程,获得成功的数学体验,增强学好数学的信心.
1.探究公式的过程中,小组之间的交流合作,进一步发展学生合作交流的意识和能力,让学生体验数学活动充满着创造和乐趣.
2.发展学生独立思考、勇于探索的创新精神,向学生渗透转化思想,让学生感受数学中的内在美.
【重点】 根的判别式及用公式法解一元二次方程.
【难点】 一元二次方程求根公式的推导过程.
【教师准备】 多媒体课件1~3.
【学生准备】 复习用配方法解一元二次方程的步骤.
导入一:
【课件1】 韦达是16世纪法国最伟大的数学家之一,比利时数学家曾提出一个一元四十五次的方程的求解问题向各国数学家挑战,法国国王把这个问题交给了韦达,韦达当时就得出一解,回家后一鼓作气,很快又得出22个解,答案公布,震惊了数学界.像这种高次方程,有没有一个通法,也就是说,对于每个次数的一元方程能否找出一个公式来求解,这一直是各国数学家都想解决的一个问题.我们今天就来研究一下,一元二次方程是否可以找出一个公式,在我们解这类方程的时候按公式代入就行了呢?
导入二:
【课件2】 用配方法解下列方程.
(1)6x2-7x+1=0; (2)4x2-3x+16=0.
【师生活动】 学生独立完成后,小组内交流答案.
师生共同复习配方法解一元二次方程的一般步骤.
解:(1)移项,得6x2-7x=-1,
二次项系数化为1,得x2-76x=-16,
配方,得x2-76x+49144=-16+49144,
即x-7122=25144,
开平方,得x-712=±512,
∴x-712=512或x-712=-512,
∴x1=1,x2=16.
(2)移项,得4x2-3x=-16,
二次项系数化为1,得x2-34x=-4,
配方,得x2-34x+964=-4+964,
即x-382=-24764,
∵-24764<0,∴原方程无实数根.
[设计意图] 通过数学家的故事,激发学生的学习兴趣,激起探究解一元二次方程的求根公式的学习欲望;通过对旧知识的回顾,学生再次经历了用配方法解方程的全过程,由于是旧知识,学生容易做出正确答案,并获得成功的喜悦,调动了学生的学习热情,唤醒学生的思维,为后面的探索奠定了良好的基础.
[过渡语] 我们复习了配方法解一元二次方程的一般步骤,今天我们来一起完成下面的学习.
一、共同探究1
用配方法解下列一元二次方程.
(1)ax2-7x+3=0(a≠0);
(2)ax2+bx+3=0(a≠0).
【师生活动】 学生分析所解方程与上边两个方程的不同,思考如何解这两个方程,不写过程.教师引导,指出把方程中的字母a,b看作具体数字,按照配方法解方程的步骤求解.
[过渡语] 如果一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它的两根?
思路一
按照配方法解方程的一般步骤,将方程ax2+bx+c=0(a≠0)左边配成完全平方形式.
教师引导分析,把a,b,c看作常数,按照配方法的一般步骤进行推导,并板书解题过程.
解:移项,得ax2+bx=-c,
方程中的二次项系数化为1,得x2+bax=-ca,
配方,得x2+bax+b2a2=-ca+b2a2,
即x+b2a2=b2-4ac4a2.
思路二
思考:(1)配方法解方程如何化二次项系数为1?
(2)二次项系数化为1后,如何把方程左边配成完全平方式?
(3)配方后如何解方程?
学生思考后推导、并针对自己推导过程中的问题进行小组讨论,教师在巡视过程中指导有困难的学生.
用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),将方程左边配成完全平方式,过程同思路一的板书过程.
二、共同探究2
问题1
一元二次方程(x+p)2=q一定有实根吗?
【师生活动】 学生思考回答,教师及时指导和补充.
不一定,当q<0时,方程无实根.
问题2
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后的方程x+b2a2=b2-4ac4a2一定有实根吗?
【师生活动】 学生小组讨论,共同探究,规范书写过程.教师按思路一继续板书过程.
∵4a2>0,
当b2-4ac≥0时,b2-4ac4a2≥0,
∴x+b2a2=b2-4ac2a2,
直接开平方,得x+b2a=±b2-4ac2a,
即x=-b±b2-4ac2a,
∴x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.
当b2-4ac<0时,b2-4ac4a2<0,
∴原方程没有实数根.
[设计意图] 设计共同探究环节,让学生亲身经历一元二次方程求根公式的推导,有利于对公式的掌握,同时经过体验知识的形成过程,在发现问题、共同交流的过程中,培养了学生分析问题、解决问题的能力.
归纳总结:
思考:(1)如何判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况?
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?
小组交流,共同得出结论.
结论一:一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,常用希腊字母“Δ”表示,即Δ=b2-4ac.
当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
当Δ=b2-4ac<0时,方程没有实数根.
结论二:解一元二次方程时,先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x=-b±b2-4ac2a就得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
教师强调:
(1)一元二次方程的根由系数a,b,c共同决定;
(2)用公式法解一元二次方程时,先将方程化成一般形式,确定a,b,c的值.
[设计意图] 经过讨论,加深对根的判别式和求根公式的认识,可使学生在运用公式的过程中自觉地计算判别式的值,并熟练记忆求根公式,同时培养了学生归纳总结能力和学习数学的严谨性.
三、例题讲解
[过渡语] 我们学习了一元二次方程根的判别式及公式法解一元二次方程,下面就让我们检验学习效果.
【课件3】 判断下列方程根的情况,试着求解方程.
(1)x2-4x-7=0;
(2)2x2-22x+1=0;
(3)5x2-3x=x+1;
(4)x2+17=8x.
【学生活动】 学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况,看谁做得既快又准确.
然后用公式法解上边的方程.
【师生活动】 学生思考后,课件展示解题过程,教师规范答题格式.
解:(1)a=1,b=-4,c=-7,
b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0,
∴x=-b±b2-4ac2a=-(-4)±442×1=4±2112,
即x1=2+11,x2=2-11.
(2)a=2,b=-22,c=1,
b2-4ac=(-22)2-4×2×1=0,
方程有两个相等的实数根,
∴x1=x2=-b2a=--222×2=22.
(3)将原方程化为5x2-4x-1=0,
a=5,b=-4,c=-1,
b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0,
∴x=-b±b2-4ac2a=-(-4)±362×5=4±610.
即x1=1,x2=-15.
(4)原方程即为x2-8x+17=0.
a=1,b=-8,c=17,
b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0,
∴方程无实数根.
[设计意图] 通过练习让学生熟练掌握本节课的重点,看谁判断的速度快,激发学生的竞争意识,培养学习兴趣;演示解方程的过程,规范答题格式,培养学生严谨的学习态度和逻辑思维能力.
[知识拓展] 公式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让a>0;
(2)找出系数a,b,c,注意各项系数的符号;
(3)计算b2-4ac,若结果为负数,方程无解;
(4)若结果为非负数,代入求根公式,算出结果.
1.方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,式子x=-b±b2-4ac2a叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
2.式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,常用“Δ”表示.
当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
当Δ=b2-4ac<0时,方程没有实数根.
3.用公式法解方程应注意的问题:
先将方程化为一般形式,确定a,b,c的值时注意符号,当Δ=b2-4ac≥0时,将a,b,c的值代入求根公式.
4.公式法解一元二次方程的步骤.
1.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列叙述正确的是 ( )
A.方程总有两个实数根
B.只有当b2-4ac≥0时,方程才有两个实数根
C.当b2-4ac<0时,方程只有一个实数根
D.当b2-4ac=0时,方程无实数根
解析:一元二次方程根的情况由根的判别式b2-4ac决定,当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程无实数根.故选B.
2.方程2x2+5x+3=0的根的判别式的值是 ( )
A.1 B.-1 C.13 D.19
解析:方程中a=2,b=5,c=3,代入根的判别式计算得b2-4ac=52-4×2×3=1.故选A.
3.若m为不等于零的实数,则方程x2+mx-m2=0的根的情况是 ( )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个实数根
D.没有实数根
解析:方程中a=1,b=m,c=-m2,代入根的判别式计算得b2-4ac=m2-4×1×(-m2)=5m2,因为m≠0,所以5m2>0,所以方程有两个不相等的实数根.故选B.
4.若关于x的一元二次方程-x2+(2m+1)x+1-m2=0无实数根,则m的取值范围是 .?
解析:由方程无实数根得b2-4ac<0,即(2m+1)2-4×(-1)×(1-m2)<0,∴4m+5<0,∴m<-54.故填m<-54.
21.2.2 公式法
一、共同探究1
二、共同探究2
当Δ=b2-4ac>0时,??
当Δ=b2-4ac=0时,??
当Δ=b2-4ac<0时,??
方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,式子x=-b±b2-4ac2a叫求根公式.
三、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第12页练习的1题.
【选做题】
教材第17页习题21.2的13题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列方程中没有实数根的是 ( )
A.x2+x-1=0 B.x2+x+2=0
C.x2+8x+1=0 D.x2-22x+2=0
2.用公式法解方程4x2-12x=3,得到 ( )
A.x=-3±62 B.x=3±62
C.x=-3±232 D.x=3±232
3.方程x2+x-1=0的一个根是 ( )
A.1-5 B.1-52
C.1+5 D.-1+52
4.关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为 ( )
A.m>94 B.m<94
C.m=94 D.m<-94
5.关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+(2+k2)=0有实根,则k的取值范围是 .?
6.当x= 时,代数式x2-8x+12的值是-4.?
7.求证:关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根.
8.已知关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0:
(1)当m取何值时,方程有实数解?
(2)当m取何值时,方程没有实数解?
9.用公式法解下列方程.
(1)2x2-4x-1=0;
(2)5x+2=3x2;
(3)(x-2)(3x-5)=1;
(4)4x2-3x+1=0.
【能力提升】
10.设方程x2-2x-2=0的较小根为x1,下面对x1的估计正确的是 ( )
A.-2C.011.已知关于x的方程x2+(1-m)x+m24=0有两个不相等的实数根,则m的最大整数值是 .?
12.用公式法解关于x的方程x2-2ax-b2+a2=0.
【拓展探究】
13.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2-4ac>0的情况,她是这样做的:
由于a≠0,所以可将方程ax2+bx+c=0变形为:
x2+bax=-ca,…第一步
∴x2+bax+b2a2=-ca+b2a2,…第二步
∴x+b2a2=b2-4ac4a2,…第三步
∴x+b2a=±b2-4ac4a(b2-4ac>0),…第四步
∴x=-2b±b2-4ac4a.…第五步
嘉淇的解法从第 步开始出现错误.事实上,当b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是 .?
用公式法解方程x2-2x-24=0.
【答案与解析】
1.B(解析:分别求各方程的根的判别式b2-4ac,满足b2-4ac<0的方程是x2+x+2=0.故选B.)
2.D(解析:移项,得4x2-12x-3=0,则a=4,b=-12,c=-3,代入求根公式得x=-b±b2-4ac2a=3±232.故选D.)
3.D(解析:方程中a=1,b=1,c=-1,代入求根公式可得x=-b±b2-4ac2a=-1±52.故选D.)
4.B(解析:根据题意得Δ=(-3)2-4m>0,解得m<94.故选B.)
5.k≥74(解析:根据题意得Δ=(2k+1)2-4×(2+k2)≥0,解得k≥74.故填k≥74.)
6.4(解析:根据题意列方程得x2-8x+12=-4,解方程可得x1=x2=4.故填4.)
7.证明:∵Δ=b2-4ac=(2k+1)2-4×1×(k-1)=4k2+5>0恒成立,∴方程有两个不相等的实数根.
8.解:已知关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0,Δ=4m2+9+12m-4m2=12m+9.(1)当Δ≥0时方程有实数解,∴12m+9≥0,解得m≥-34,∴当m≥-34时方程有实数解. (2)当Δ<0时方程没有实数解,∴12m+9<0,解得m<-34,∴当m<-34时方程没有实数解.
9.解:(1)a=2,b=-4,c=-1,b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0,∴x= 4±242×2=2±62,∴x1=2+62,x2=2-62. (2)将方程化为一般形式为3x2-5x-2=0,a=3,b=-5,c=-2,∴b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0,∴x= 5±492×3=5±76,∴x1=2,x2=-13. (3)将方程化为一般形式为3x2-11x+9=0,a=3,b=-11,c=9,∴b2-4ac=(-11)2-4×3×9=13>0,∴x= 11±132×3=11±136,∴x1=11+136,x2=11-136. (4)a=4,b=-3,c=1,∴b2-4ac=(-3)2-4×4×1=-7<0,∴方程无实数根.
10.B(解析::x2-2x-2=0,即(x-1)2=3,所以x-1=±3,所以x1=1-3,x2=1+3,即较小根为x1=1-3,所以-111.0(解析:根据题意得Δ=(1-m)2-4×m24>0,解得m<12,所以m的最大整数值为0.故填0.)
12.解:由题意得Δ=4a2+4b2-4a2=4b2,∴x=2a±4b22=2a±2b2=a±b,∴x1=a+b,x2=a-b.
13.四 x=-b±b2-4ac2a
解:a=1,b=-2,c=-24,b2-4ac=(-2)2-4×1×(-24)=100>0,∴x=2±1002×1=2±102.∴x1=6,x2=-4.
本节课的重点是通过配方法探究一元二次方程的求根公式,最突出的特点是探究活动中设计了一个个小问题,在整个过程中始终做到给学生留下了很大的思维空间,始终围绕问题动手操作、小组合作交流,让学生积极参与、自主探究,学生是课堂的主体,无论是公式的推导,还是公式的应用,都是在教师的引导下,学生自己完成的,注重了知识的形成过程,锻炼了学生的发散思维.在课堂检测中编排的习题既注重本节课基础知识的训练,又注重学生能力的培养,整节课学生在愉悦的课堂气氛中掌握了知识,培养了能力.
本节课有一元二次方程根的判别式和求根公式两个重点内容,在探究公式的过程中有部分学生对含字母系数的方程不够熟悉,造成推导公式的困难,所以在时间安排上,学生思考时间过短,如一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系,没给学生留充分的思考时间.另外过高地估计了学生的能力,学生对求根公式是陌生的,造成课堂训练中计算出错较多的情况.
这节课不是让学生背公式、套公式解方程,而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的意识,由学生亲身体会公式推导的全过程,提高学生推理能力和逻辑思维能力,同时进一步发展学生合作交流的意识,帮助学生形成积极主动的求知态度.
练习(教材第12页)
1.解:(1)x2+x-6=0,∵a=1,b=1,c=-6,∴b2-4ac=1+24=25,∴x=-1±252,∴x1=-1-252=-1-52=-3,x2=-1+52=2. (2)x2-3x-14=0,∵a=1,b=-3,c=-14,∴b2-4ac=3-4×-14=4,∴x=3±22,∴x1=3-22,x2=3+22. (3)3x2-6x-2=0,∵a=3,b=-6,c=-2,∴b2-4ac=36-4×3×(-2)=60,∴x=6±602×3=6±2156=3±153,∴x1=3-153,x2=3+153. (4)4x2-6x=0,∵a=4,b=-6,c=0,∴b2-4ac=36,∴x=6±62×4,∴x1=0,x2=32. (5)x2+4x+8=4x+11,x2=3,∴x1=3,x2=-3. (6)x(2x-4)=5-8x,2x2-4x-5+8x=0,2x2+4x-5=0,∵a=2,b=4,c=-5,∴b2-4ac=16-4×2×(-5)=56,∴x=-4±562×2=-4±2144=-2±142,∴x1=-2-142,x2=-2+142.
2.解:x2-75x+350=0,∵a=1,b=-75,c=350,∴b2-4ac=(-75)2-4×1×350=4225,∴x=75±42252×1=75±652,∴x1=5,x2=70(舍).
1.用公式法解一元二次方程是求解一元二次方程的通法,是配方法的延续,主要体现降次的思想,具有突出的地位,是数学公理化和公式化的表现,同时也为后面学习二次函数打下基础.掌握求根公式的关键是掌握公式的推导过程,而推导过程的基础是配方法,所以在教学中,应该引导学生自主探索一元二次方程的求根公式,然后在师生共同的讨论中,得到求根公式,这样比较容易突破重难点内容.
2.本节课重点是探求一元二次方程的求根公式,需要通过配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0,在解决这个问题的过程中,让学生经历从特殊到一般(从数字系数方程到字母系数方程)的过程,降低学生学习新知识的难度,让学生体会解决数学问题常用的转化思想.
3.解一元二次方程是建立在解一元一次方程的基础之上的,在学习这节课时学生已经有了解一元一次方程的基础,同时用直接开平方法和配方法,对降次解一元二次方程有了初步的认识,为此本节课的探究活动可由学生自己完成,教师作指导即可,切忌越俎代庖.
已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.
(1)求证方程有两个不相等的实数根;
(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求出以此两根为两边长的直角三角形的周长.
解:(1)Δ=(m+2)2-4×1×(2m-1)
=m2+4m+4-8m+4
=m2-4m+8
=(m-2)2+4,
∵(m-2)2≥0,∴(m-2)2+4≥4,
∴无论m取何值都有Δ>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)把x=1代入方程可得1-(m+2)+2m-1=0,解得m=2,
∴原方程为x2-4x+3=0,
解方程可得x1=1,x2= 3,
∴方程的另一个根是x=3.
当1,3分别为直角三角形的两条直角边长时,由勾股定理得斜边长为1+9=10,此时周长为4+10;
当3为直角三角形的斜边长时,另一直角边长为9-1=22,此时周长为4+22.
21.2.3 因式分解法
1.了解因式分解法的概念.
2.会用因式分解法解一元二次方程.
3.能根据一元二次方程的特征,选择适当的解一元二次方程的方法.
1.经历探索用因式分解法解一元二次方程的过程,发展合情推理的能力,体会“降次”化归的思想方法.
2.通过灵活选择解方程的方法,体会解决问题的灵活性和多样性.
1.通过探究因式分解法解一元二次方程,学会与他人合作,能与他人交流思维的过程和
1.了解一元二次方程及方程的解的概念.
2.理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.
3.会用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况.
4.了解一元二次方程的根与系数之间的关系.
5.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程,并利用一元二次方程模型解决简单的实际问题.
1.通过一元二次方程概念的学习,培养学生对概念理解的完整性和深刻性.
2.通过对一元二次方程解法的探究,培养学生数学推理的严密性及严谨性,同时培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识.
3.通过列一元二次方程解应用题,进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力,提高学生分析问题、解决问题的能力.
1.在学习一元二次方程的过程中,让学生体验知识之间的联系,激发学生爱数学、学数学的兴趣.
2.通过学习直接开平方法、因式分解法解一元二次方程,向学生渗透转化思想在研究数学问题中的应用;通过对求根公式的推导,向学生渗透分类思想.
3.体会数学来源于生活,又应用到生活,由可设未知数列方程向学生渗透方程的思想,由此培养学生应用数学的意识.
方程是初中数学中的基础内容,在初中数学中占有重要地位,一元二次方程是一元一次方程、二元一次方程(组)的后继学习,本章在初中代数中占着非常重要的地位,起着承前启后的作用,一方面对以前学过的一些内容进行综合地应用,如探究解方程的方法时开平方、一元一次方程、完全平方公式、因式分解等知识都有应用,另一方面,一元二次方程又是前边所学知识的继续和发展,是学好二次函数不可缺少的知识,是学好高中数学的奠基工程.
本章主要让学生进一步体会方程的模型思想,会解一元二次方程,解方程的基本思想是化归思想,将“二次”方程转化成两个“一次”方程是解一元二次方程的基本方法.其中配方法是初中数学中的基本方法,通过对配方法的学习,探究出一元二次方程的求根公式,然后让学生体会数学来源于生活,通过学习进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力及应用数学的意识.
【重点】
1.一元二次方程及其有关的概念.
2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.
3.建立一元二次方程模型解决实际问题.
【难点】
1.用配方法解一元二次方程.
2.用公式法解一元二次方程.
3.一元二次方程根的判别式.
4.一元二次方程根与系数之间的关系.
5.建立一元二次方程模型解决实际问题的.
1.一元二次方程是初中数学最重要的数学模型之一,通过建立一元二次方程模型解决实际问题,可以使学生更深入地体会数学与现实世界的联系,所以可从实际问题抽象出一元二次方程的有关概念及其数学符号表示,让学生用类比思想理解并掌握一元二次方程的概念及其一般形式.
2.学生已经具备了解一元二次方程的基本思想——化归,即把方程转化为两个一元一次方程,教材由实际背景引入,建立一元二次方程模型,探究将二次降为一次的方法,转化为一元一次方程求解.配方法是推导一元二次方程的求根公式的工具,引导学生用配方法导出求根公式,在推导求根公式的过程中,方程形式的不断推广,体现了数学中的从特殊到一般的过程.教材探究一元二次方程解法的过程,对于培养学生的推理能力和运算能力有很大帮助.
3.一元二次方程根与系数之间的关系的学习,不仅为了一元二次方程理论的完整性,更重要的是初高中的衔接问题,根据求根公式,探究一元二次方程两根和与积分别与系数之间的关系,在教学活动中,可以让学生通过给出的几个一元二次方程的根,探索发现根与系数的关系,最后通过求根公式去验证总结,以此培养学生学习数学的严谨性和数学思维能力.
4.数学来源于生活,并应用于生活中,数学与生活息息相关,应用一元二次方程解决实际问题,引导学生分析其中的已知量、未知量及其等量关系,建立一元二次方程模型,得出方程的解,并检验所得的结果是否符合实际,得出合乎实际的结果,让学生经历“问题情境—建立模型—求解验证”的数学活动过程,培养学生的建模思想,逐步形成应用意识.
21.1一元二次方程
2课时
21.2 解一元二次方程
21.2.1配方法(2课时)
21.2.2公式法(1课时)
21.2.3因式分解法(1课时)
21.2.4一元二次方程的根与系数之间的关系(1课时)
5课时
21.3 实际问题与一元二次方程
2课时
21.1 一元二次方程
1.理解一元二次方程的概念.
2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.
3.体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型.
4.理解一元二次方程解的概念.
1.通过一元二次方程的引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.
2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念.
3.由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想,从而进一步培养学生的数学思维能力.
1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.
2.激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养应用数学的意识.
3.体会数学知识与现实世界的联系.
【重点】
1.一元二次方程的概念及一般形式.
2.一元二次方程的解(根).
【难点】
1.正确识别一般式中的“项”及“系数”.
2.由实际问题列出一元二次方程.
第课时
1.理解一元二次方程的概念.
2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.
1.通过一元二次方程的引入,培养学生的建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.
2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念.
1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.
2.激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养应用数学的意识.
【重点】 一元二次方程的概念及其一般形式.
【难点】
1.由具体问题抽象出一元二次方程.
2.正确识别一般式中的“项”及“系数”.
【教师准备】 多媒体课件1~3.
【学生准备】 复习一元一次方程和二元一次方程的定义.
导入一:
请同学们阅读章前问题,并回答问题.
要设计一座2 m高的人体雕塑,使雕塑的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,雕塑的下部应设计为多高?
如图所示,雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下等量关系:AC∶BC=BC∶2,即BC2=2AC.
设雕塑下部高x m,
可得方程x2=2(2-x),
整理得x2+2x-4=0.
【问题】 这个方程是不是我们以前学过的方程?
[设计意图] 帮助学生初步感知上述方程与以往学过的方程形式的不同,通过学生的好奇心激发本节课的学习欲望.
导入二:
观察下列方程:
(1)3x-5=0;(2)2x2+3x-2=0;(3)12x+3y52=0;(4)12x2+(x+1)(x-1)=0.
哪些是我们学过的一元一次方程?其他方程与一元一次方程有什么不同?
【师生活动】 复习方程、一元一次方程的概念、二元一次方程的概念.
【学生活动】 小组合作交流:观察新方程,分析元和次,尝试为新方程定义.
[设计意图] 让学生体会一元二次方程是刻画某些实际问题的模型,通过复习一元一次方程和二元一次方程的概念,让学生用类比的方法从已有的知识体系自然地构建出新知识.
导入三:
数字中有许多有趣而奇妙的现象,很多秘密等待着我们去探索发现!现在,我们先来做一个数字游戏:大家先计算出10,11,12三个数字的平方和,再计算出13和14的平方和,看看两个平方和相等吗?你还能找到五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?试试看!
如果设中间的一个数为x,请根据这一问题列出方程.
[设计意图] 本问题可以使学生体会到数学中的奥秘,激发学生探究新知的欲望.学生通过设未知数,寻找等量关系,初步认识一元二次方程.
[过渡语] 数学来源于生活,生活中处处有数学.我们一起探究下面的方程是怎样的方程,看看是不是一元一次方程,或者是不是二元一次方程.
一、一元二次方程的定义
给出课本问题1、问题2的两个实际问题,设未知数,建立方程.
问题1
【课件1】 如图所示,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
教师引导学生思考并回答:
如果设切去的正方形的边长为x cm,那么盒底的长是 ,宽是 ,根据方盒的底面积为3600 cm2,得 .?
整理,得 .?
化简,得 .?
解:设切去的正方形的边长为x cm,那么盒底的长是(100-2x)cm,宽是(50-2x)cm.
根据题意,得(100-2x)(50-2x)=3600.
整理,得4x2-300x+1400=0.
化简,得x2-75x+350=0.
问题2
【课件2】 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?
思路一
教师引导学生思考并回答:
全部比赛共有 场.?
若设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他 个队各赛一场,全部比赛共有 场.?
由此,我们可以列出方程 ,?
化简得 .?
【师生活动】 设未知数、 根据题意列出方程,老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型,并整理.
解:设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他(x-1)个队各赛一场,全部比赛共有12x(x-1)场.
根据题意,得12x(x-1)=4×7.
整理,得12x2-12x=28.化简,得x2-x=56.
思路二
小组活动,共同探究,思考下列问题.
(1)分析题意,题中的已知条件是什么?
(2)分析题意,题中的等量关系是什么?
(3)如何设未知数?根据题中等量关系怎样列方程?
【师生活动】 教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示讨论结果,教师及时补充.
解:设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他(x-1)个队各赛一场,全部比赛共有12x(x-1)场.
根据题意,得12x(x-1)=4×7.
整理,得12x2-12x=28.化简,得x2-x=56.
[设计意图] 通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出方程,为引出一元二次方程的概念做铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.
(教师板书导入一和课本问题所列的三个方程)
请口答下面问题.
(1)上面三个方程整理后含有几个未知数?
(2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几?
(3)方程两边都是整式吗?
【学生活动】 小组合作交流,类比一元一次方程定义,尝试给出一元二次方程的定义.
老师点评:(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2;(3)方程两边都是整式.
像这样的方程,等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
[设计意图] 通过小组活动,学生通过类比一元一次方程的定义得到一元二次方程的定义,从而达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结能力.
[过渡语] 我们了解了一元二次方程的概念,现在同学们比一比谁理解得更透彻吧.
【课件3】 请抢答下列各式是否为一元二次方程.
(1)4x2=81; (2)2(x2-1)=3y.
【师生活动】 以抢答的形式来完成此题,并让学生找出错误理由.教师应注意对学生给出的答案进行点评和归纳.
[设计意图] 进一步强化一元二次方程的概念满足的三个条件,采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性.
[知识拓展] 判断一个方程是一元二次方程需同时满足三个条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.同时要注意二次项系数不能为0.
二、一元二次方程的一般形式
【思考】 (1)类比一元一次方程的一般形式,你能不能写出一元二次方程的一般形式?
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
(2)二次项系数为什么不能为0?
学生思考回答.
[设计意图] 让学生自己概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解,是对数学符号语言的应用能力的提升,同时通过思考强调一元二次方程概念中的易错点.
[过渡语] 我们已经知道了一元二次方程的一般形式,试试我们能不能完成以下问题.
将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
〔解析〕 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),因此,对方程3x(x-1)=5(x+2)必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项、合并同类项等.
解:去括号,得3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项,得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.
[设计意图] 通过试一试,让学生了解求一元二次方程的项或项的系数时,需先化成一元二次方程一般形式再求解,同时加深对一元二次方程一般形式的理解.
[知识拓展] 1.一元二次方程的一般形式的特点是方程的右边为0,左边是关于未知数的二次整式.
2.一元二次方程的项或系数是针对一元二次方程的一般形式而言的,所以写项或系数时,要先化成一般形式,并且项或系数都包括前边的符号.
1.一元二次方程概念需要满足三个条件:
(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.
2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),易错点是忽略强调a≠0.
3.确定一元二次方程的项与系数时,一定先化成一般形式,书写时应注意包括前边的符号.
1.在下列方程中,一元二次方程有 ( )
①3x2+7=0;②ax2+bx+c=0;③(x-2)(x+5)=x2-1;④3x2- 2=0.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:一元二次方程必须满足三个条件:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程,同时注意二次项系数不为0.①和④满足这几个条件,②中二次项系数可能为0,③化简后不含有二次项,不符合定义.故选B.
2.方程3x2-3=2x+1的二次项系数为 ,一次项系数为 ,常数项为 .?
解析:通过移项、合并同类项,化成一元二次方程的一般形式,为3x2-2x-4=0,所以二次项系数为3,一次项系数为-2,常数项为-4.
答案:3 -2 -4
3.若(m-2)xm2-2=-3是关于x的一元二次方程,则m= .?
解析:根据一元二次方程概念知未知数x的最高次数是2,且二次项系数不为0,所以m2-2=2,m-2≠0,解得m=-2.故填-2.
第1课时
一、一元二次方程的定义
只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程.
二、一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
一、教材作业
【必做题】
教材第4页习题21.1的1,2题.
【选做题】
教材第4页习题21.1的4,5,6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列方程为一元二次方程的是 ( )
A.1-x2=0
B.2(x2-1)=3y
C.1x2-1x=0
D.(x-3)2=(x+3)2
2.若ax2-5x+3=0是一元二次方程,则不等式3a+6>0的解集是 ( )
A.a>-2 B.a<-2
C.a>-2且a≠0 D.a>12
3.生物兴趣小组的同学,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x名同学,则根据题意列出的方程是( )
A.x(x+1)=182 B.x(x-1)=182
C.2x(x+1)=182 D.x(x-1)=182×2
4.方程2x2=3(x+6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ( )
A.2,3,-6 B.2,-3,-18
C.2,-3,6 D.2,3,6
5.把一元二次方程(x-2)(x+3)=1化为一般形式是 .?
6.若方程kx2+x=3x2+1是关于x的一元二次方程,则k的取值范围是 .?
7.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)(2x-1)2=6;
(2)3x2+5(2x+1)=0.
8.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.
(1)有一个面积为54 m2的长方形,将它的一边剪短5 m,另一边剪短2 m,恰好变成一个正方形,这个正方形的边长是多少?
(2)三个连续整数两两相乘,再求和,结果为242,这三个数分别是多少?
9.求方程2x2+3=22x-4的二次项系数、一次项系数及常数项的积.
【能力提升】
10.若关于x的方程(k2-4)x2+k-1x+5=0是一元二次方程,求k的取值范围.
11.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常数项为0,求m的值.
12.当m取何值时,23x2m-1+10x+m=0是关于x的一元二次方程?
13.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
【拓展探究】
14.已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.
(1)x为何值时,此方程是一元一次方程?
(2)x为何值时,此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
【答案与解析】
1.A(解析:B中含有两个未知数,C中方程不是整式方程,D中方程化简后不含有x的二次项,只有A符合一元二次方程定义.故选A.)
2.C(解析:根据一元二次方程的二次项系数不为0可得a≠0,解不等式得a>-2.故选C.)
3.B(解析:每名同学都赠出(x-1)件,所以x名同学共赠出x(x-1)件,根据题意可列方程为x(x-1)=182.故选B.)
4.B(解析:化简得2x2-3x-18=0,所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2,-3,-18.故选B.)
5.x2+x-7=0(解析:根据多项式乘法法则化简方程左边,然后移项、合并同类项,可得x2+x-7=0.)
6.k≠3(解析:根据一元二次方程的定义知一元二次方程的二次项系数不为0,所以k≠3.)
7.解:(1)4x2-4x-5=0,二次项系数为4,一次项系数为-4,常数项为-5. (2)3x2+10x+5=0,二次项系数为3,一次项系数为10,常数项为5.
8.解:(1)设这个正方形的边长是x m,根据题意得(x+5)(x+2)=54,化简得x2+7x-44=0. (2)设这三个连续整数为x-1,x,x+1,根据题意得x(x-1)+(x-1)(x+1)+x(x+1)=242,化简得3x2-243=0.
9.解:将方程化简可得2x2-22x+7=0,所以二次项系数、一次项系数及常数项分别为2,-22,7,所以2×(-22)×7=-28.
10.解析:一元二次方程满足二次项系数不为0,该题易忽略二次根式的被开方数为非负数.
解:依题意得k2-4≠0,且k-1≥0,解得k≥1且k≠2.
11.解:由题意得m2-1=0,m-1≠0,解得m=-1.
12.解:由题意得2m-1=2,解得m=32.
13.解析:要证明不论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可.
证明:m2-8m+17=(m-4)2+1,∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0,∴不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
14.解析:本题是含有字母系数的方程问题,根据一元一次方程和一元二次方程的定义,分别进行讨论求解.
解:(1)由题意得m2-1=0,m+1≠0,即m=1时,关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元一次方程. (2)由题意得m2-1≠0,即m≠±1时,关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元二次方程.此方程的二次项系数是m2-1,一次项系数是-(m+1),常数项是m.
因为学生已经学习了一元一次方程及相关概念,所以本节课主要采用启发式、类比法教学.教学中力求体现“问题情境—数学模型—概念归纳”的模式.但是由于学生将实际问题转化为数学方程的能力有限,所以通过小组讨论,共同探究,从具体的问题情境中抽象出数学问题,建立数学方程,从而突破难点.让学生在实际生活情境中,经过自主探索和合作交流的学习过程,产生积极的情感体验,进而创造性地解决问题,有利于培养学生数学思维的提升.
在教学过程中,小组合作交流还存在个别学生参与意识不强的现象,有些问题教师引导不到位,比如根据实际问题建立数学模型,通过题意不能找到等量关系时,没有很好地帮助学生提高分析问题的能力,再如问题2中排球赛问题,学生对寻找题中的等量关系遇到了困难,不能理解为什么除以2,遇到问题时给学生思考时间较短.
学生为了解决实际问题进行小组合作交流时,教师应给足够的时间进行探究,让学生更好地体会建模思想在数学中的应用,对于学生的发言,给予充分的肯定,激发学生学习数学的激情,真正让学生在课堂上动起来.同时应该注重学生能力的培养,在引导学生分析问题时设计出更有价值的问题.
练习(教材第4页)
1.解:(1)5x2-4x-1=0,二次项系数为5,一次项系数为-4,常数项为-1. (2)4x2-81=0,二次项系数为4,一次项系数为0,常数项为-81. (3)4x2+8x-25=0,二次项系数为4,一次项系数为8,常数项为-25. (4)3x2-7x+1=0,二次项系数为3,一次项系数为-7,常数项为1.
2.解:(1)4x2=25,4x2-25=0. (2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0. (3)x·1=(1-x)2,x2-3x+1=0.
(1)数学来源于生活,又应用到生活中去,所以以不同的生活情境问题导入新课,通过分析题意,构建方程模型,让学生掌握利用方程解决问题的方法,既突破了本节课的难点,又很自然地引出了本节课的重点.
(2)类比方法是数学中重要的方法,所以本节课类比以前学过的一元一次方程的有关概念,让学生通过自主学习,共同探究,很自然地突破了重难点.
(3)本节课重难点、易错点的掌握通过不同的形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养竞争意识,激发学习兴趣,同时教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐中掌握知识.
已知关于x的方程(2k+1)x2-4kx+(k-1)=0.
(1)当k为何值时,此方程是一元一次方程?求出这个一元一次方程的根.
(2)当k为何值时,此方程是一元二次方程?并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
〔解析〕 (1)一元一次方程中不含有二次项,所以二次项系数为0.(2)一元二次方程中二次项系数不为0.
〔答案〕 (1)k=-12,x=34.
(2)k≠-12;二次项系数为2k+1,一次项系数为-4k,常数项为k-1.
第课时
1.了解一元二次方程根的概念.
2.会判定一个数是否为一个一元二次方程的根,以及利用它们解决一些具体问题.
3.理解方程的解在实际问题中的意义.
1.通过观察归纳一元二次方程根的概念,培养学生归纳、分析问题及解决问题的能力.
2.应用一元二次方程根的定义计算,体会整体思想在数学中的应用,进一步培养学生数学思维能力.
1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.
2.体验数学来源于生活、又应用于生活中,理解知识与现实世界的联系.
【重点】 判定一个数是否为方程的根.
【难点】 由实际问题列出的一元二次方程解出根后,检验根是否符合实际问题.
【教师准备】 多媒体课件1和课件2.
【学生准备】 复习一元二次方程的定义.
导入一:
根据下列问题,列出关于x的方程,并将所列方程化成一般形式.
一个面积为48 m2的矩形苗圃,它的长比宽多2 m,苗圃的宽为x m.
【学生活动】 分析等量关系,列出方程x(x+2)=48,化成一般形式为x2+2x-48=0.
根据所列的方程将表格填完整.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
x2+2x-48
【师生活动】 学生独立填空,口答结果,教师点评结果.
导入二:
把x=1,2,0,23分别代入一元二次方程3x2=2x中,哪些数可以使方程左右两边相等?
【师生活动】 学生思考计算,独立回答问题,老师点评.
[设计意图] 从实际问题中抽象出一元二次方程数学模型,既复习了上节课内容,又利于对本节课新知识的接受,同时通过计算从已有的旧知识很自然地构建新知识.
[过渡语] 通过上边的计算,x的值与方程有什么样的关系呢?让我们一起走进今天的知识殿堂.
一、一元二次方程的根
思路一
问题:(1)观察导入一所填表格,x取什么值时,代数式x2+2x-48的值为0?
(2)通过表格可得方程x2+2x-48=0(x>0)的解是什么?
(3)下列数:1,2,0,23,哪些是方程3x2=2x的解?
〔答案〕 (1)x=6时,代数式x2+2x-48的值为0.
(2)方程x2+2x-48=0(x>0)的解是x=6.
(3)0,23.
【师生活动】 学生独立思考后,教师引导学生回答,并及时补充.
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
思路二
【学生活动】 思考并回答:什么是一元一次方程的解?
教师及时补充.
自主学习课本第3页,小组讨论交流,并回答以下问题:
(1)什么是一元二次方程的根?
【课件1】 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
思考:一元二次方程的根是不是唯一的?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评.
[设计意图] 通过教师的引导(思路一),或自主学习后小组讨论交流(思路二),让学生经历知识的形成过程,达到真正理解和掌握概念,同时培养学生自主学习能力和分析问题的能力.
(2)导入中的两个方程x2+2x-48=0(x>0),3x2=2x的根是什么?
〔答案〕 x=6;x=0或x=23.
二、练习巩固
[过渡语] 我们了解了什么是一元二次方程的根的概念,请回答下列问题.
(1)下面哪些数是方程x2+x-12=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
【师生活动】 学生思考计算后,以抢答形式回答问题,并说明理由.教师及时对学生给出的答案和理由做出评价.
解:把这些数分别代入方程,使方程左右两边相等的数是方程的根.-4,3是方程的根.
[设计意图] 通过该练习,进一步强化一元二次方程的根的概念,采取抢答的形式,提高学生学习的竞争意识.
(2)李明在写作业时,一不小心,把方程5x2+■x-3=0的一次项的系数用墨水覆盖住了,但知道方程的一个根是x=-2,请你帮助李明求出覆盖的系数.
解:设覆盖的系数为a.
把x=-2代入方程可得5×(-2)2+(-2)a-3=0,
即20-2a-3=0,解得a=172.
∴覆盖的系数为172.
(3)若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的一个解是x=1,求2014-a-b的值.
解:把x=1代入方程可得a+b+5=0,
∴a+b=-5,
∴2014-a-b=2014-(a+b)=2014-(-5)
=2014+5=2019.
【师生活动】 学生独立思考后,小组讨论交流,学生板书解题过程,教师进行点评后,引导学生归纳:已知方程的根时,常采用的解题思路是什么?(把方程的根代入方程,使方程左右两边相等,求出待定系数的值,注意整体思想在解题中的应用.)
[设计意图] 通过小组讨论,加深对一元二次方程的根的概念的理解,培养学生合作意识和归纳总结能力.课件展示练习(2)(3)的解答过程,强化学生书写的严谨性,培养学生整体思想在数学中的应用,同时让学生体会生活中处处有数学,数学应用于生活中.
[知识拓展] 1.判断一个数是不是一元二次方程的根的方法:将这个数代入一元二次方程,如果方程左右两边相等,那么该数是方程的根;如果方程左右两边不相等,那么该数不是方程的根.
2.已知a是一元二次方程的根,把x=a代入方程,方程左右两边相等,可以求待定系数的值.
【课件2】
1.一元二次方程的根的概念
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
2.判定一个数是不是某个一元二次方程的根时,把这个数代入方程,满足方程的数就是方程的根,不满足方程的数就不是方程的根.
3.已知一元二次方程的根,求某个待定系数的值时,将方程的根代入方程求解.
1.以-2为根的一元二次方程可能是 ( )
A.x2+2x-2=0 B.x2-x-2=0
C.x2+x+2=0 D.x2+x-2=0
解析:把x=-2分别代入各方程,使得方程x2+x-2=0 左右两边相等.故选D.
2.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值是 ( )
A.-3 B.3 C.0 D.0或3
解析:把x=2代入方程,得4+2m+2=0,解得m=-3.故选A.
3.已知m是方程x2-x-2=0的一个根,则代数式m2-m的值等于 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:把x=m代入方程可得m2-m-2=0,所以m2-m=2.故选D.
4.已知实数a,b(a≠b)满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确的是 ( )
A.x=a,x=b都不是该方程的解
B.x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解
C.x=b是该方程的解,x=a不是该方程的解
D.x=a,x=b都是该方程的解
解析:根据已知条件,当x=a,x=b时a2-3a+1=0,b2-3b+1=0成立,所以x=a,x=b都是方程x2-3x+1=0的解.故选D.
5.已知方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0),则下列代数式的值恒为常数的是 ( )
A.ab B. C.a+b D.a-b
解析:把x=-a代入方程可得(-a)2-ab+a=0,即a2-ab+a=0,所以a(a-b+1)=0,因为a≠0,所以a-b+1=0,所以a-b=-1是常数.故选D.
第2课时
一、一元二次方程的根
二、练习巩固
(1)? ?
(2)? ?
(3)? ?
一、教材作业
【必做题】
教材第4页习题21.1的3题.
【选做题】
教材第4页习题21.1的7题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.方程x(x-1)=2的两根为 ( )
A.x1=0,x2=1
B.x1=0,x2=-1
C.x1=1,x2=2
D.x1=-1,x2=2
2.已知x=1是方程x2-2mx+1=0的根,则m的值是 ( )
A.1 B.0 C.0或1 D.0或-1
3.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根,则ab+cb等于 ( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
4.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1,一个根为-1,则a+b+c= ,a-b+c= .?
5.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是 .?
6.关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4=0的一个根为0,则a的值是 .?
7.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2014(a+b+c)的值.
【能力提升】
8.已知x=2是关于x的方程32x2-2a=0的一个解,则一次函数y=ax-1的图象不经过第 象限.?
9.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数,求证-1必是该方程的一个根.
10.已知m,n都是方程x2+2013x-2014=0的根,试求代数式(m2+2013m-2013)(n2+2013n+2013)的值.
【拓展探究】
11.已知方程x2-5x+5=0的一个根为m,求m+5m的值.
【答案与解析】
1.D(解析:把x=0,x=1分别代入方程,可得左边=0,右边=2,则左边≠右边,所以A,B,C错误;把x=-1,x=2分别代入方程,可得方程左右两边相等.故选D.)
2.A(解析:把x=1代入方程可得1-2m+1=0,解得m=1.故选A.)
3.A(解析:把x=-1代入方程可得a-b+c=0,∴a+c=b,∴ab+cb=a+cb=1.故选A.)
4.0 0(解析:把x=1代入方程可得a+b+c=0,把x=-1代入方程可得a-b+c=0.)
5.1(解析:把x=1代入方程可得1+a+b=0,∴a+b=-1,∴a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1.故填1.)
6.-2(解析:把x=0代入方程可得a2-4=0,∴a2=4,∴a=±2,又a-2≠0,∴a=-2.故填-2.)
7.解:将x=1代入ax2+bx+c=0,得a+b+c=0,所以2014(a+b+c)=0.
8.二(解析:把x=2代入方程可得a=3,所以一次函数的解析式为y=3x-1,则该一次函数图象过第一、三、四象限.故填二.)
9.证明:根据题意,得a+c=b,即a-b+c=0.当x=-1时,ax2+bx+c=a(-1)2+b(-1)+c=a-b+c=0,∴-1必是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.
10.解:∵m,n都是方程x2+2013x-2014=0的根,∴m2+2013m-2014=0,n2+2013n-2014=0,∴m2+2013m=2014,n2+2013n=2014,∴(m2+2013m-2013)(n2+2013n+2013)=(2014-2013)(2014+2013)=4027.
11.解:∵方程x2-5x+5=0的一个根是m,∴m2-5m+5=0,∴m2+5=5m,∴m+5m=m2+5m=5mm=5.
本节课学习了一元二次方程的根的概念,类比一元一次方程的根的概念,通过自主学习、小组交流、共同归纳、练习检测等环节让学生在愉悦的课堂上掌握了本节课的重点,学生在课堂中发挥主体作用,让数学课堂有了生命力.在本节课,大多数学生能体验成功的快乐,激发了学生学习兴趣.在练习的设计上,由简单的判断是不是一元二次方程的根,深入到解决实际问题,学生经历由浅入深、由易到难的过程,提高了学生分析问题、解决问题的能力,同时渗透了整体思想在数学中的应用,使学生的数学思维和数学能力得到提高.
本节课内容较为简单,虽采取了学生自主学习、共同探究的方法,但是还是没有放开手脚,教师还是急于解决下边的问题,给学生思考、交流的时间还不是很充足,应该把课堂大胆交给学生,让学生亲身经历知识形成过程,加深对知识的理解和掌握.另外课堂气氛虽然很活跃,但是有部分学生面对稍有难度的题目时,没有解决问题的思路,所以在以后的教学中,应更加注重中下游学生解决问题的能力.
本章内容的难点为一元二次方程的应用,教材设计上几乎每个课时都安排了与生活息息相关的实际问题.本节课内容较为简单,在设计上注重与实际问题有关的题目,逐步培养学生的建模思想,为后面的学习做好铺垫.此外,在练习中多设计与学过的知识有联系的题目,如将完全平方公式、因式分解、代数式的化简等与一元二次方程的根结合,并重视整体思想在解决问题中的应用,使学生的发散思维得到提升.
习题21.1(教材第4页)
1.解:(1)3x2-6x+1=0,二次项系数为3,一次项系数为-6,常数项为1. (2)4x2+5x-81=0,二次项系数为4,一次项系数为5,常数项为-81. (3)x2+5x=0,二次项系数为1,一次项系数为5,常数项为0. (4)2x2-4x+2=0,二次项系数为2,一次项系数为-4,常数项为2. (5)x2+10=0,二次项系数为1,一次项系数为0,常数项为10.
(6)x2+2x-2=0,二次项系数为1,一次项系数为2,常数项为-2.
2.解:(1)设这个圆的半径为R m,由圆的面积公式得πR2=2π,∴πR2-2π=0. (2)设这个直角三角形较长的直角边长为x cm,由直角三角形的面
积公式得12x·(x-3)=9,∴x2-3x-18=0.
3.解:-4,3是方程x2+x-12=0的根.
4.解:设矩形的宽为x cm,则矩形的长为(x+1)cm,由题意得x(x+1)=132,即x2+x-132=0.
5.解:设矩形的长为x m,则矩形的宽为(0.5-x)m,由矩形的面积公式得x(0.5-x)=0.06,∴x2-0.5x+0.06=0.
6.解:设有n人参加聚会,根据题意可知(n-1)+(n-2)+…+2+1=10,即n(n-1)2=10,∴n2-n-20=0.
7.解:由题意可知22-c=0,∴c=4,∴原方程为x2-4=0,∴x=±2,∴这个方程的另一个根为-2.
1.一元二次方程是初中数学的重要模型,它与生活实际息息相关,所以以生活实际问题为背景导入新课,建立一元二次方程模型,体会数学来源于生活,又应用到生活中去,激发学生学习兴趣,降低学习难度.
2.由于前边学习了一元一次方程的根的概念,所以本节课的难点易于突破,应用数学中的类比方法,复习一元一次方程的根的概念后,通过学生自主学习、小组交流方式探究新知识,重难点基本能够解决,教师适时点拨即可让学生掌握重难点.
3.整体思想及学过的知识与本节课的重点结合成为了本节课的一个难点,在习题的设计上要难易适中,有适当的梯度,尊重学生差异,教师对思考有困难的学生多关注,培养学生综合能力的提升.
已知实数m是方程x2+x-1=0的一个根,求代数式m3+2m2+2014的值.
〔解析〕 因为m是方程x2+x-1=0的根,所以m2+m-1=0,求出m2+m=1,把m3+2m2+2014化简,利用整体代入法将m2+m=1代入求值,注意化简时拆项、部分项提公因式.
解:∵m是方程x2+x-1=0的根,
∴m2+m-1=0,∴m2+m=1,
∴m3+2m2+2014=m(m2+m)+m2+2014
=m+m2+2014=1+2014=2015.
21.2 解一元二次方程
1.能用解一元二次方程的四种方法解数字系数的一元二次方程.
2.会根据方程的不同特点,灵活选用恰当的方法解方程.
3.不解方程,会判断一元二次方程根的情况.
4.能利用一元二次方程解决实际问题,增强学生的数学应用意识和能力.
1.探究一元二次方程的解法过程中,体会转化、降次、分类等数学思想在数学中的应用.
2.使学生参与对一元二次方程解法的探索,体验数学发现的过程,培养学生观察和总结的能力,发展数学思维.
3.通过正确、熟练地解一元二次方程,提高学生的综合运算能力.
1.通过师生的共同活动,培养学生积极参与、主动探索的精神,发展学生合作意识.
2.通过对一元二次方程解法的探究,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性,同时培养学生的数学建模意识和合情推理能力.
3.由生活实际问题抽象出一元二次方程,增强学生的数学应用意识和能力,激发学生的学习兴趣.
【重点】
1.利用四种方法解一元二次方程.
2.一元二次方程根与系数的关系.
【难点】 选择灵活的方法解一元二次方程.
21.2.1 配方法
1.会用直接开平方法解一元二次方程.
2.理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程.
1.体会转化、降次等数学思想在数学中的应用,培养学生基本的运算技巧和能力.
2.培养学生的观察、比较、分析、综合等能力,会应用学过的知识去解决新的问题.
1.鼓励学生积极主动地参与知识的形成过程,激发求知的欲望,体验成功的快乐,增强学习的兴趣和自信心.
2.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,让学生进一步体会转化的思想方法,并增强他们的数学应用意识和能力,激发学生的学习兴趣.
【重点】 运用直接开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
【难点】
1.一元二次方程根的确定.
2.判断一个方程是否适合用直接开平方的方法求解.
第课时
1.使学生理解直接开平方法的定义和基本思想.
2.会用直接开平方法解一元二次方程.
3.知道形如(x+n)2=p(p≥0)的方程可以用直接开平方法求解.
1.体会转化、降次等数学思想在数学中的应用,培养学生基本的运算技巧和能力.
2.培养学生的观察、比较、分析、综合等能力,会应用学过的知识去解决新的问题.
1.培养学生积极参与、主动探索的精神,发展学生合作意识.
2.鼓励学生积极主动地参与知识的形成过程,激发求知的欲望,体验成功的快乐,增强学习的兴趣和自信心.
【重点】 运用直接开平方法解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程.
【难点】 如何识别一个一元二次方程可以用直接开平方法求解.
【教师准备】 预想学生在解方程过程中容易出现的问题.
【学生准备】 复习一元二次方程根的定义.
导入一:
有这样一首诗:一群猴子分两队,高高兴兴在游戏.八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总数共多少,两队猴子在一起?
学生列出方程,并思考怎样解这个一元二次方程,教师引出课题.
导入二:
(1)什么是一个数的平方根?平方根有哪些性质?
(2)计算: 9的平方根是 ,425的平方根是 .?
(3)如果x2=36,那么x的值是 .?
【师生活动】 共同复习平方根的概念和性质.
[设计意图] 由实际问题导入新课,让学生体会数学在实际问题中的应用,培养学生学习数学的兴趣,同时教师引导学生分析解决问题,为以后学习一元二次方程的应用打下基础.通过复习平方根的概念和性质,让学生很自然地应用旧知识解决新问题.
[过渡语] 我们复习了平方根的定义,根据平方根的定义可以解某些特殊的一元二次方程,让我们尝试解这些方程吧!
一、例题讲解
(教材问题1)一桶油漆可刷的面积为1500 dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?
【师生活动】 学生思考,教师引导回答下列问题.
(1)设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子的表面积为 dm2;?
(2)据题意可得等量关系为 ;?
(3)根据等量关系可列方程 ;?
(4)化简可得 .?
【学生活动】 小组交流讨论如何解这个方程,学生回答问题后,教师及时补充.
解:设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子的表面积为6x2 dm2.
根据题意,得10×6x2=1500,整理,得x2=25.
根据平方根的意义,得x=±5.
即x1=5,x2=-5(不合题意,舍去).
答:其中一个盒子的棱长为5 dm.
问题思考:x=±5都是方程x2=25的根,在这里为什么舍去一个根?(棱长不能为负数,所以正方体盒子的棱长为5 dm.)
二、共同探究1 直接开平方法
1.例解方程
解下列方程.
(1)x2=4; (2)x2-2=0.
【师生活动】 学生思考回答,教师规范书写.
解:(1)根据平方根的意义得x=±2,
∴x1=2,x2=-2.
(2)移项得x2=2,∴x=±2,
∴ x1=2,x2 =-2.
[设计意图] 通过简单例题,探究利用平方根的意义解一元二次方程的方法,学生做好新旧知识衔接的同时,易于理解和掌握本节课的学习重点,教师板书解答过程,达到规范学生做题习惯的目的.
2.归纳概念
通过直接将某一个数开平方解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
[过渡语] 我们知道了直接开平方法解一元二次方程方程的定义,让我们比一比看谁算得快吧!
3.即时巩固
解下列方程.(抢答)
(1)x2=9; (2)9x2-144=0.
【师生活动】 学生独立思考计算后,进行抢答,教师对学生的成果点评.
解:(1)根据平方根的意义,得x=±3,
∴x1=3,x2=-3.
(2)移项,得9x2=144,系数化为1,得x2=16,
根据平方根的意义,得x=±4,
∴x1=4,x2=-4.
[设计意图] 设计比较简单的练习,巩固直接开平方法的应用,以抢答形式回答,激发学生的学习兴趣和竞争意识.
4.总结归纳
一般地,对于方程x2=p:
(1)当p>0时,方程有两个不相等的实数根x1=p,x2=-p;
(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;
(3)当p<0时,方程没有实数根.
[设计意图] 师生共同探究,得出一般结论,达到真正理解和掌握直接开平方法解方程的目的,同时培养学生归纳总结能力.
三、共同探究2 解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程
[过渡语] 通过上边的学习,我们已经会解形如x2=p的方程,如果我们给这样的方程进行变化,同学们又该如何求出方程的解呢?
解下列方程.
(1)(x+3)2=5; (2)4(x+3)2=5.
思路一
教师引导分析方程特点,方程(1)中,把x+3看作整体,用直接开平方法,将方程化为x+3=±5,即x+3=5或x+3=-5,达到降次的目的,转化为两个一元一次方程求解.
方程(2)中,也把x+3看作整体,两边同时除以4,方程化为(x+3)2=54,仿照方程(1)的解法可直接开平方求解.
思路二
思考:方程有什么特点?是不是形如x2=p的方程?如果不是,能不能化成这种形式?
教师提出问题,学生针对问题进行小组讨论交流,共同探究,教师在巡视过程中针对学生遇到的困难给予提示,即整体思想在数学中的应用.
解:(1)直接开平方,得x+3=±5,
即x+3=5或x+3=-5,
∴方程的根为x1=-3+5,x2=-3-5.
(2)两边同时除以4,得(x+3)2=54,
即x+3=52或x+3=-52,
∴方程的根为x1=-3+52,x2=-3-52.
[设计意图] 通过给学过的方程“穿衣服”,激发学生探究数学新知识的乐趣,方程层层递进的变化,让学生在熟悉的知识中易于理解和掌握新知识,同时培养学生用整体思想思考问题的意识.
归纳总结:
(1)通过上面的探究,解一元二次方程的基本策略是什么?
【师生活动】 学生思考,教师提示:由方程(x+3)2=5,到方程x+3=5或x+3=-5,方程的次数有什么变化?将新知识化成原来学过的知识,是数学中常用的转化思想.
“降次”是解一元二次方程的基本策略,直接开平方法是根据平方根的意义,把一个一元二次方程“降次”,达到转化为两个一元一次方程的目的.
(2)能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点?方程的解是什么?
【师生活动】 学生思考,小组讨论,归纳总结.
如果一个一元二次方程具有(x+n)2=p(p≥0)的形式,那么就可以用直接开平方法求解,方程的解为x1=-n-p,x2=-n+p.
(3)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么?
【师生活动】 学生思考回答,老师指导.
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式,右边是非负数的形式,然后用平方根的概念求解.
[设计意图] 以问题的形式归纳本节课的重难点及易错点,在教师的引导下,学生独立思考或小组交流,将知识进行归纳,体会转化思想在数学中的重要应用,培养学生分析问题、解决问题的能力.
[知识拓展] 1.直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法,主要解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程,解方程的理论依据是平方根的定义.
2.利用直接开平方法解一元二次方程时,要注意开方的结果.
3.方程(x+n)2=p中,当p<0时,方程没有实数根.
直接开平方法解一元二次方程的基本策略是降次,依据是平方根的概念.
直接开平方法适合解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程.
一元二次方程(x+n)2=p根的情况:
当p≥0时,方程有实数根,当p<0时,方程没有实数根.
1.方程3x2+27=0的解是 ( )
A.x=±3 B.x=-3
C.无实数根 D.以上都不对
解析:移项,得3x2=-27,系数化为1,得x2=-9,因为-9<0,所以方程没有实数根.故选C.
2.方程(x-2)2=9的解是 ( )
A.x1=5,x2=-1
B.x1=-5,x2=1
C.x1=11,x2=-7
D.x1=-11,x2=7
解析:直接开平方得x-2=±3,即x-2=3或x-2=-3,所以方程的两个根是x1=5,x2=-1.故选A.
3.用直接开平方法解方程(x+h)2=k,方程必须满足的条件是 ( )
A.k≥0 B.h≥0
C.hk>0 D.k<0
解析:因为负数没有平方根,所以k≥0.故选A.
4.方程(x-m)2=n(n为正数)的解是 .?
解析:直接开平方得x-m=±n,所以x-m=n或 x-m=-n,所以x1=m+n,x2=m-n.故填x1=m+n,x2=m-n.
5.解下列方程.
(1)4x2=81; (2)(x-2)2=5;
(3)36x2-1=0; (4)3(x-1)2-6=0.
解:(1)系数化为1得x2=814,
直接开平方得x=±92,
所以x1=92,x2=-92.
(2)直接开平方得x-2= ±5,
所以x-2=5或x-2=-5,
所以x1=2+5,x2=2-5.
(3)移项得36x2=1,系数化为1得x2=136,
直接开平方得x=±16,
所以x1=16,x2=-16.
(4)移项得3(x-1)2=6,
方程两边同时除以3得(x-1)2=2,
直接开平方得x-1=±2,
即x-1=2或x-1=-2,
所以x1=1+2,x2=1-2.
第1课时
一、例题讲解
二、共同探究1 直接开平方法
对于方程x2=p,
(1)当p>0时,??
(2)当p=0时,??
(3)当p<0时,??
三、共同探究2 解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程
一、教材作业
【必做题】
教材第6页练习的(1)(2)(3)题.
【选做题】
教材第6页练习的(5)题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.方程x2-3=0的根是 ( )
A.x=3 B.x1=3,x2=-3
C.x=3 D.x1=3,x2=-3
2.方程(x+1)2=9的解是 ( )
A.2 B.-4
C.2或-4 D.±3
3.方程3x2+9=0的根为 ( )
A.3 B.-3
C.±3 D.无实数根
4.已知关于x的一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接开平方法求解,且有两个不相等的实数根,则m,n必须满足的条件是 ( )
A.n=0 B.m,n异号
C.n是m的整数倍 D.m,n同号
5.下列解方程的过程中,正确的是 ( )
A.x2=-2,解方程得x=±2
B.4(x-1)2=9,直接开平方得4(x-1)=±3,所以x1=74,x2=14
C.(x-2)2=4,直接开平方得x-2=2,所以x=4
D.(2x+3)2=25,直接开平方得2x+3=±5,所以x1= 1,x2=-4
6.方程x2+1=2的解是 .?
7.如果方程2(x-3)2=72,那么这个一元二次方程的两根是 .?
8.用直接开平方法解下列方程.
(1)3x2-13=0;
(2)(x+5)2=25;
(3)x2+2x+1=4;
(4)(3x+1)2=7;
(5)12(3-2x)2-3 = 0.
【能力提升】
9.已知(x2+y2-1)2=4,则x2+y2的值为 .?
10.若分式x2-4x-2的值为0,则x的值为 .?
11.一个球的表面积是100π cm2,求这个球的半径.(球的表面积S=4πR2,其中R是球的半径)
【拓展探究】
12.解方程(2x-1)2=(x-2)2.
【答案与解析】
1.D(解析:移项得x2=3,直接开平方得x=±3.故选D.)
2.C(解析:直接开平方得x+1=±3,即x+1=3或x+1=-3,∴x=2或x=-4.)
3.D(解析:移项,得3x2=-9,∵-9<0,∴方程没有实数根.)
4.B(解析:移项,得mx2=-n,∴x2=-nm,要使方程有两个不相等的实数根,则-nm>0,∴nm<0,∴m,n异号.故选B.)
5.D(解析:∵-2<0,∴x2=-2没有实数根,∴A错误;将方程4(x-1)2=9两边直接开平方,得2(x-1)=±3,∴B错误;将方程(x-2)2=4直接开平方得x-2=±2,∴C错误;D正确.故选D.)
6.x=±1(解析:移项,得x2=1,直接开平方,得x=±1.)
7.x1=9,x2=-3(解析:方程两边同时除以2,得(x-3)2=36,直接开平方,得x-3=±6,即x-3=6或x-3=-6,∴x1=9,x2=-3.)
8.解:(1)移项,得3x2=13,系数化为1,得x2=19,∴x1=13,x2=-13. (2)直接开平方,得x+5=±5,∴x+5=5或x+5=-5,∴x1=0,x2=-10. (3)化简,得(x+1)2=4,直接开平方,得x+1=±2,∴x+1=2或x+1=-2,∴x1=1,x2=-3. (4)直接开平方,得3x+1=±7,∴3x+1=7或3x+1=-7,∴x1=7-13,x2=-1-73. (5)移项,得12(3-2x)2=3,两边都除以12,得(3-2x)2=14,直接开平方,得3-2x=±12,即3-2x=12或3-2x=-12,∴x1=54,x2=74.
9.3(解析:直接开平方,得x2+y2-1=±2,∴x2+y2-1=2或x2+y2-1=-2,∴x2+y2=3或x2+y2=-1(舍).故填3.)
10.-2(解析:由题意可得x2-4=0,解得x=±2,又分母不为0,∴x-2≠0,∴x=-2.故填-2.)
11.解:设这个球的半径为R cm,根据题意,得4πR2=100π,两边同时除以4π,得R2=25,∴R=±5,∵R>0,∴R=5.∴这个球的半径是5 cm.
12.解析:如果把2x-1看成是(x-2)2的平方根,同样可以用直接开平方法求解.
解:2x-1=±(x-2)2,即2x-1=±(x-2),∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2,∴x1=-1,x2=1.
本节课采用创设生活实际问题情境导入新课,综合运用探究式、启发式、活动式等方法进行教学,遵循因材施教、循序渐进原则,以问题形式呈现,学生通过思考、交流、探究、展示、归纳等活动学习新知识,发展学生分析问题、解决问题的能力,在课堂上通过展示自我,体验成功的快乐.教学中,使学生参与到整个学习过程中,激发学生的学习兴趣,提高课堂效率.初三学生已经有了一定的计算能力,所以简单问题设计成口答形式,节约时间,提高优秀生能力.
本节课内容较为简单,学生易于掌握,所以设计了太多的问题引导学生思考、交流,归纳,有些烦琐的感觉,可以大胆放手,学生自学后小组内交流讨论,最后归纳总结,教师可以用质疑的形式检验各小组的交流结果,学生在课堂上才能成为真正的主人,这节课还是教师说得太多,限制了学生的发散思维.
本节课重点和难点都是“探究”,在教学活动中,教师尊重并相信学生的思维能力、集体智慧,把探究的主动权交给学生,教师注重培养学生发现问题、提出问题与动手解决问题的能力.教学过程中注重采用启发式教学,让学生通过分组讨论解决问题的思路,强化本节的重点,在教学中多设计层层递进的问题,学生依据问题进行思考、探究,能够节约时间,有针对性地突破难点.
练习(教材第6页)
解:(1)2x2-8=0,2x2=8,x2=4,∴x1=2,x2=-2. (2)9x2-5=3,移项,得9x2=8,x2=89,∴x1=223,x2=-223. (3)(x+6)2-9=0,移项,得(x+6)2=9,x+6=±3,∴x1=-3,x2=-9.
(4)3(x-1)2-6=0,移项,得(x-1)2=2,x-1=±2,∴x1=1-2,x2=1+2. (5)x2-4x+4=5,(x-2)2=5,x-2=±5,∴x1=2-5,x2=2+5. (6)9x2+5=1,9x2=-4,∴x2=-49<0,∴方程无实数根.
1.与一元一次方程、二元一次方程组相比,一元二次方程的解法涉及更多的知识,可以根据方程的特点选择不同的解法.这节课根据平方根的意义,得出形如x2=p(p≥0)和(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法,所以通过复习平方根的意义,直接开平方,达到降次的目的,很自然地引出了本节课的重点.
2.如何识别一个一元二次方程适合用直接开平方法求解,这是本节课的难点,所以给简单方程加上衣服,给学生充足的时间进行交流探究,教师及时提醒学生整体思想在数学中的应用,使学生在探究活动中突破难点,提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生的思维.
3.本节课重难点的巩固通过不同形式的练习来完成,让学生积极参与,激发学习兴趣,教师的引导、及时的点拨,更易于让学生把知识进行拓展.
如图所示,在ΔABC中,∠B=90°,点P从点B出发,沿BA边向点A以1 cm/s的速度移动,点Q从点B出发,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果AB=6 cm,BC=12 cm,P,Q同时从B点同时出发,几秒后ΔPBQ的面积等于8 cm2?
解:设x s后ΔPBQ的面积等于8 cm2,则PB=x cm,BQ=2x cm,依题意,得12x·2x=8.
即x2=8,根据平方根的意义,得x=±22,即x1=22,x2=-22.
可以验证,22和-22都是方程12x·2x=8的根,但是移动时间不能是负值.
所以22 s后ΔPBQ的面积等于8 cm2.
第课时
1.理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程.
2.能利用配方法解决实际问题,增强学生的数学应用意识和能力.
1.通过对比、转化,总结得出配方法的解题步骤,提高学生的推理能力.
2.通过对一元二次方程二次项系数是否为1的分类处理,锻炼学生的抽象概括能力.
3.经历探索用配方法解一元二次方程的过程,感悟转化思想在解一元二次方程中的运用.
1.通过师生的共同活动,培养学生积极参与、主动探索、敢于发表见解的精神.
2.通过配方法的探究活动,培养学生勇于探索的良好学习习惯,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
3.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,让学生进一步体会转化的思想方法,并增强他们的数学应用意识和能力,激发学生的学习兴趣.
【重点】 利用配方法解简单的一元二次方程.
【难点】 通过配方把一元二次方程转化为(x+n)2=p(p≥0)的形式.
【教师准备】 多媒体课件1~4.
【学生准备】 总结解一元二次方程的基本思路—降次.
导入一:
小明用一段长为20米的竹篱笆围成一个矩形,怎样设计才可以使得该矩形的面积为9平方米?
思考:根据题意,矩形的周长是 米,设矩形的长为x米,则矩形的宽为 米,题目中的等量关系为 ,故可列出方程为 .?
【师生活动】 教师引导,学生思考回答.
设该矩形的长为x米,依题意得x(10-x)=9,即x2-10x+9=0.
[过渡语] 我们发现所列的一元二次方程无法用直开平方法解,如何解这个方程,就是我们这节课要探究的问题.
导入二:
用直接开平方法解下列方程.
(1)2x2-8=0; (2)3(x-1)2=12.
【师生活动】 师生共同复习直接开平方法解一元二次方程的步骤.学生独立完成练习,教师做点评.
[设计意图] 从实际问题出发,让学生感受到“生活中处处有数学”,同时为后边学习一元二次方程的应用打下基础.直接开平方法是配方法的基础,通过对旧知识的复习,做好新旧知识的衔接,为配方法的学习打下基础.
一、共同探究1
【课件1】 根据完全平方公式填空.
(1)x2+8x+ =(x+ )2?
(2)x2-x+ =(x- )2?
(3)x2+mx+ =( )2?
完成填空并思考:当二次项系数为1,且二次三项式可配成完全平方式时常数项和一次项系数之间有什么关系?
【师生活动】 学生独立思考后,小组讨论交流,共同完成,教师及时点评.教师强调:当一次项系数为负数或分数时,要注意运算的准确性.
归纳总结:当二次项系数为1且二次三项式可配成完全平方式时,常数项是一次项系数一半的平方.
[过渡语] 我们学习了二次项系数为1时的二次三项式配方,请你给同桌出两道将二次三项式配方的题目,并检验我们探究的结论是否正确.
【师生活动】 学生出题、独立完成同桌的题目,共同交流答案并检验结论的正确性,教师对有困难的学生单独指导.
[设计意图] 通过复习利用完全平方知识填空,学生归纳、猜想、验证二次项系数为1时,配方时常数项与一次项系数之间的关系,为后面的学习打下基础,同时培养学生归纳、猜想能力.
二、共同探究2
【课件2】 你会解这样的方程吗?
(1)x2+6x+9=0;
(2)x2+6x+4=0.
【师生活动】 学生独立完成方程(1)的求解.教师点评:方程左边配成完全平方形式,用直接开平方法求解.
共同探究方程(2)的解法:
思路一
教师引导分析、思考下列问题并回答.
1.方程(2)与方程(1)的区别是什么?
方程(1)左边可以化简成完全平方式,方程(2)左边不是完全平方式.
2.把常数项移项,如何把方程(2)的左边化成与方程(1)的左边相同?
移项,得x2+6x=-4,根据等式的性质,方程两边同时加9可以把方程(2)的左边化成与方程(1)的左边相同.
3.试着解方程(2).
解:移项,得x2+6x=-4,
方程两边同时加9,得 x2+6x+9=-4+9,
配方,得(x+3)2=5,∴x+3=±5,
∴x+3=5或x+3=-5,
∴x1=-3+5,x2=-3-5.
思路二
通过学生合作交流,完成方程(1)的求解.
探究中思考:我们学会了用直接开平方法解一元二次方程,方程(2)能不能化成直接开平方的方程的形式,然后降次求解?
【师生活动】 给学生充足的时间,进行小组合作交流,教师引导分析两个方程之间的区别和联系,对有困难的学生加以引导.
解:移项,得x2+6x=-4,
方程两边同时加9,得 x2+6x+9=-4+9,
配方,得(x+3)2=5,∴x+3=±5,
∴x+3=5或x+3=-5,
∴x1=-3+5,x2=-3-5.
[设计意图] 引导学生通过对比两个方程,发现它们之间的联系,从而找到解决问题的突破口,依据完全平方公式进行配方,体会从特殊到一般、从具体到抽象的思维过程.通过寻找解一元二次方程的新的解法(配方法),培养学生勇于探索的精神.
思考问题:你能归纳出配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤吗?
【师生活动】 小组合作交流,共同探究,教师对学生的展示进行归纳总结.
【课件3】 配方法解一元二次方程的步骤:
(1)移项(把常数项移到方程右边);
(2)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方);
(3)开平方;
(4)解出方程的根.
[设计意图] 通过小组合作归纳结论,培养学生合作意识和归纳总结能力.
三、共同探究3
解下列方程.
(1)2x2+1=3x;
(2)3x2-6x+4=0.
教师引导分析:
(1)两个方程能不能按上边的方法先移项,然后直接配方?
观察方程移项后,二次项系数不为1,所以不能直接配方.
(2)观察两个方程和上边方程有什么区别.
二次项系数不为1.
(3)如何把二次项系数化为1?
根据等式的基本性质,方程两边同时除以二次项系数即可.
(4)根据上边的分析,尝试解方程.
【师生活动】 小组讨论交流,共同探究解方程的方法,教师对有困难的学生给予适当提示.
小组交流后学生板书解题过程,教师指导点拨.
解:(1)移项,得2x2-3x=-1,
二次项系数化为1,得x2-32x=-12,
配方,得x2-32x+342=-12+342,
即x-342=116,∴x-34=±14,
∴x1=1,x2=12.
(2)移项,得3x2-6x=-4,
二次项系数化为1,得x2-2x=-43,
配方,得x2-2x+12=-43+12,
即(x-1)2=-13,
∵实数的平方不会是负数,∴原方程无实数根.
思考并回答:用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?
【课件4】 配方法解一元二次方程的一般步骤:
(1)移项(把常数项移到方程右边);
(2)二次项系数化为1(方程两边同时除以二次项系数);
(3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方);
(4)开平方;
(5)解出方程的根.
[设计意图] 几个问题的设计是层层递进,化解了教学的难度,学生在探索、交流的过程掌握了知识,培养了数学思维和分析问题、解决问题的能力,同时再次培养学生的归纳总结能力.
[知识拓展] 1.配方法是对二次项和一次项配方,所以一般先把常数项移到方程右边,再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方(二次项系数必须为1).
2.用配方法解一元二次方程,实质就是对一元二次方程变形,转化成直接开平方法所需要的形式.配方是为了降次,利用平方根的定义把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
1.配方法:把一个一元二次方程变形为(x+h)2=k(k≥0)的形式(其中h,k都是常数),再通过直接开平方法求出方程的解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.(提示:若k<0,方程无实数根)
2.解一元二次方程的基本思路是降次,把一元二次方程化为(x+h)2=k(k≥0)的形式后两边开平方使原方程变为两个一元一次方程,
3.用配方法解一元二次方程的一般步骤:(1)移项(把常数项移到方程的右边);(2)把二次项系数化为1(方程两边同时除以二次项系数);(3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方);(4)开平方(根据平方根的意义,方程两边开平方);(5)求解(解一元一次方程).
1.将二次三项式x2-4x+1配方后得 ( )
A.(x-2)2+3 B.(x-2)2-3
C.(x+2)2+3 D.(x+2)2-3
解析:代数式加一次项系数一半的平方4,再减去4,可得x2-4x+1=x2-4x+4+1-4=(x-2)2-3.故选B.
2.已知x2-8x+15=0,要将方程左边化成含有x的完全平方形式,下列做法正确的是 ( )
A.x2-8x+(-4)2=31
B.x2-8x+(-4)2=1
C.x2+8x+42=1
D.x2-4x+4=-11
解析:移项,得x2-8x=-15,两边同时加一次项系数一半的平方,得x2-8x+(-4)2=1.故选B.
3.方程x2+4x-5=0的解是 .?
解析:移项,得x2+4x=5,两边同时加4,得x2+4x+4=9,配方得(x+2)2=9,∴x+2=3或x+2=-3,∴x1=1,x2=-5.故填x1=1,x2=-5.
4.x2+6x+ =(x+ )2,a2± +14=(a± )2.?
解析:二次项系数为1时,完全平方式展开式中常数项是一次项系数一半的平方.
答案:9 3 a 12
5.用配方法解方程.
(1)x2+ 2x - 3=0;
(2)9y2-18y-4=0.
解:(1)移项,得x2+2x=3,
两边同时加1,得x2+2x+1=4,
配方得(x+1)2=4,
∴x+1=2或x+1=-2,∴x1=1,x2=-3.
(2)移项,得9y2-18y=4,
两边同时除以9,得y2-2y=49,
两边同时加1,得y2-2y+1=49+1,
配方,得(y-1)2=139,
∴y-1=133或y-1=-133,
∴y1=1+133,y2=1-133.
第2课时
一、共同探究1
二、共同探究2
(1)x2+6x+9=0
(2)x2+6x+4=0
三、共同探究3
(1)2x2+1=3x
(2)3x2-6x+4=0
一、教材作业
【必做题】
教材第9页练习的1,2(1)(2)题.
【选做题】
教材第9页练习的2(5)(6)题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.用配方法将二次三项式a2+4a+5变形,结果是 ( )
A.(a-2)2+1 B.(a+2)2+1
C.(a+2)2-1 D.(a-2)2-1
2.用配方法解方程2x2-43x-2=0,应把它先变形为 ( )
A.x-232=89
B.x-232=0
C.x-132=89
D.x-232=109
3.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z的值是 ( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
4.将x2+2x-5=0配方后的方程为 .?
5.方程x2-4x-12=0的解是x1= ,x2= .?
6.代数式x2-x-2x2-1的值为0,则x的值为 .?
7.如果16(x-y)2+40(x-y)+25=0,那么x与y的关系是 .?
8.解下列方程.
(1)x2+ 6x-5=0;
(2)x2+3=23x;
(3)3x2+2x-1 =0.
【能力提升】
9.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值,若设x+y=z,则原方程可变为 ,所以求出z的值即为x+y的值,所以x+y的值为 .?
10.用配方法证明代数式x2+8x+17的值恒大于零.
11.求代数式2x2-7x-2的最小值.
12.解方程x(x+8)=16.
【拓展探究】
13.已知实数x满足x2+1x2+2x+1x=0,求x+1x的值.
【答案与解析】
1.B(解析:a2+4a+5= a2+4a+4+1=(a+2)2+1.故选B.)
2.D(解析:移项,得2x2-43x=2,二次项系数化为1,得x2-23x=1,两边同时加19,得x2-23x+19=1+19,配方得x-132=109.故选D.)
3.B(解析:由x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,得x2-2x+1+y2+4y+4+z2-6z+9=0,即(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=0,所以x-1=0,y+2=0,z-3=0,所以x=1,y=-2,z=3,所以x+y+z=2.故选B.)
4.(x+1)2=6(解析:移项,得x2+2x=5,两边同时加1,得x2+2x+1=6,配方得(x+1)2=6.故填(x+1)2=6.)
5.6 -2(解析:移项,得x2-4x=12,两边同时加4,得x2-4x+4=16,配方得(x-2)2=16,∴x-2=4或x-2=-4,∴x1=6,x2=-2.)
6.2(解析:由题意得x2-x-2=0,解方程得x1=-1,x2=2,又x2-1≠0,∴x=2.故填2.)
7.x-y=-54(解析:配方得4(x-y)+52=0,∴4(x-y)+5=0,∴x-y=-54.)
8.解:(1)原方程化为x2+6x=5,∴x2+6x+9=5+9,∴(x+3)2=14,∴x+3=±14,∴x1=14-3,x2=-14-3. (2)原方程化为x2-23x=-3,∴x2-23x +3=0,∴(x-3)2=0,∴x1=x2=3. (3)原方程化为3x2+2x =1,∴ x2+23x=13,∴x2+23x+19=13+19,∴x+132=49,∴x+13=±23,∴x1=13,x2=-1.
9.z2+2z-8=0 -4或2(解析:方程化为z(z+2)-8=0,即z2+2z-8=0,配方得(z+1)2=9,∴z+1=3或z+1=-3,∴z1=-4,z2=2.)
10.证明: x2+8x+17=(x+4)2+1,∵(x+4)2≥0,∴(x+4)2+1≥1,∴x2+8x+17的值恒大于0.
11.解:2x2-7x-2 =2x-742-658,当x=74时,代数式有最小值,为-658.
12.解析:首先把左边的式子展开,利用配方法配成完全平方式,再直接开平方即可.
解:x2+8x+42=16+42,(x+4)2=32,∴x+4=±42,∴x1=42-4,x2=-42-4.
13.解:由于x2+1x2+2=x+1x2,故原方程两边同时加2,得x2+1x2+2+2x+1x=2,即x+1x2+2x+1x=2.设x+1x=y,得y2+2y=2.配方,得(y+1)2=3.直接开平方,得y+1=±3,则y1=3-1,y2=-3-1.∴x+1x=3-1或x+1x=-3-1.
本节课以生活实例和复习直接开平方法解一元二次方程两种方式导入新课,让学生体会生活中处处有数学,激发学生学习兴趣,直接开平方法解一元二次方程是学习配方法的基础,通过复习降低了学习新知识的难度.本节课的亮点为题目的设计是层层递进的,由浅入深,学生易于接受和掌握,学生活动多以小组讨论、共同探究为主,学生在课堂上比较活跃,积极参与,给数学课注入了活力.本节课知识的归纳总结是学生在老师的引导下完成的,培养了学生的归纳总结能力,同时学生的数学思维得到了培养.
本节课在师生共同探究中完成,在探究活动中有些学生参与意识不强,尤其在小组内交流的知识有难度时,部分学生有无从下手的感觉,比如探究完全平方式展开式中一次项系数与常数项之间的关系,以及二次项系数不为1时,如何用配方法解方程,教师应及时引导,将问题难度降低,激发学生学习热情.另一方面,对易错点的强调还存在不足之处,应让学生自己归纳易错点,加深印象.
本节课通过实际问题的解决,培养学生数学应用的意识和能力,同时又进一步训练用配方法解题的技能.在教学中最关键的是让学生掌握配方法,对学生来说,要理解和掌握它,确实感到困难,配方法的关键在于如何配方,所以探究中不能满足于单纯表面的发现,或者是凭经验去寻找答案,而是通过理性的思维去推理,提出有价值的问题进行探究,这对提高学生的探究能力有很好的促进作用.
练习(教材第9页)
1.(1)25 5 (2)36 6 (3)254 52 (4)19 13
2.解:(1)x2+10x+9=0,x2+10x+25-25+9=0,(x+5)2=16,x+5=±4,∴x1=-1,x2=-9. (2)x2-x-74=0,x2-x+122-122-74=0,x-122=2,x-12=±2,∴x1=12-2,x2=12+2. (3)3x2+6x-4=0,3(x2+2x)-4=0,3(x2+2x+1-1)-4=0,3(x+1)2=7,(x+1)2=73,x+1=±213,∴x1=-1-213,x2=-1+213. (4)4x2-6x-3=0,4x2-32x=3,x-342=2116,x-34=±214,∴x1=34-214,x2=34+214. (5)x2+4x-9=2x-11,x2+2x+2=0,(x+1)2=-1,∴原方程无实数根. (6)x(x+4)=8x+12,x2-4x-12=0,(x-2)2=16,x-2=±4,∴x1=6,x2=-2.
1.配方法是初中数学教学中的重要内容,也是数学学习的主要思想方法.配方法虽然不是解一元二次方程的主要方法,但是通过配方法可以推导出一元二次方程的求根公式,并且是今后运用配方的方法解决一些数学问题的基础.所以本节内容在教材中起到承前启后的作用,在整个初中的数学学习都起到至关重要的作用.
2.在教学中注意找准学生的最近发展区,主要以启发学生进行探究的形式展开,在知识探究的过程中,通过设计既有联系又层层递进的问题,使学生在探究的过程中能体会到成功的喜悦,这样可以更好地突破本节课的难点.
3.本节的重点是配方法解一元二次方程的探究,让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的思维过程,然后归纳总结出配方法解一元二次方程的一般步骤,既可以培养学生归纳总结能力,又加深了学生对本节课重点知识的印象.
有n个方程:x2+2x-8=0;x2+2×2x-8×22=0;…;x2+2nx-8n2=0.
小静同学解第一个方程x2+2x-8=0的步骤为:“①x2+2x=8;②x2+2x+1=8+1;③(x+1)2=9;④x+1=±3;⑤x=1±3;⑥x1=4,x2=-2.”
(1)小静的解法是从步骤 开始出现错误的;?
(2)用配方法解第n个方程x2+2nx-8n2=0.(用含有n的式子表示方程的根)
解:(1)⑤
(2)x2+2nx-8n2=0,x2+2nx=8n2,
x2+2nx+n2=8n2+n2,(x+n)2=9n2,
x+n=±3n,x1=2n,x2=-4n.
21.2.2 公式法
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2.会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况.
3.熟练地使用求根公式解一元二次方程.
1.通过探究一元二次方程的求根公式,提高学生的观察能力、分析问题能力,同时培养学生的数学建模意识和合情推理能力.
2.通过正确、熟练地使用求根公式解一元二次方程,提高学生的综合运算能力.
3.通过探究求根公式的推导及应用过程,获得成功的数学体验,增强学好数学的信心.
1.探究公式的过程中,小组之间的交流合作,进一步发展学生合作交流的意识和能力,让学生体验数学活动充满着创造和乐趣.
2.发展学生独立思考、勇于探索的创新精神,向学生渗透转化思想,让学生感受数学中的内在美.
【重点】 根的判别式及用公式法解一元二次方程.
【难点】 一元二次方程求根公式的推导过程.
【教师准备】 多媒体课件1~3.
【学生准备】 复习用配方法解一元二次方程的步骤.
导入一:
【课件1】 韦达是16世纪法国最伟大的数学家之一,比利时数学家曾提出一个一元四十五次的方程的求解问题向各国数学家挑战,法国国王把这个问题交给了韦达,韦达当时就得出一解,回家后一鼓作气,很快又得出22个解,答案公布,震惊了数学界.像这种高次方程,有没有一个通法,也就是说,对于每个次数的一元方程能否找出一个公式来求解,这一直是各国数学家都想解决的一个问题.我们今天就来研究一下,一元二次方程是否可以找出一个公式,在我们解这类方程的时候按公式代入就行了呢?
导入二:
【课件2】 用配方法解下列方程.
(1)6x2-7x+1=0; (2)4x2-3x+16=0.
【师生活动】 学生独立完成后,小组内交流答案.
师生共同复习配方法解一元二次方程的一般步骤.
解:(1)移项,得6x2-7x=-1,
二次项系数化为1,得x2-76x=-16,
配方,得x2-76x+49144=-16+49144,
即x-7122=25144,
开平方,得x-712=±512,
∴x-712=512或x-712=-512,
∴x1=1,x2=16.
(2)移项,得4x2-3x=-16,
二次项系数化为1,得x2-34x=-4,
配方,得x2-34x+964=-4+964,
即x-382=-24764,
∵-24764<0,∴原方程无实数根.
[设计意图] 通过数学家的故事,激发学生的学习兴趣,激起探究解一元二次方程的求根公式的学习欲望;通过对旧知识的回顾,学生再次经历了用配方法解方程的全过程,由于是旧知识,学生容易做出正确答案,并获得成功的喜悦,调动了学生的学习热情,唤醒学生的思维,为后面的探索奠定了良好的基础.
[过渡语] 我们复习了配方法解一元二次方程的一般步骤,今天我们来一起完成下面的学习.
一、共同探究1
用配方法解下列一元二次方程.
(1)ax2-7x+3=0(a≠0);
(2)ax2+bx+3=0(a≠0).
【师生活动】 学生分析所解方程与上边两个方程的不同,思考如何解这两个方程,不写过程.教师引导,指出把方程中的字母a,b看作具体数字,按照配方法解方程的步骤求解.
[过渡语] 如果一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它的两根?
思路一
按照配方法解方程的一般步骤,将方程ax2+bx+c=0(a≠0)左边配成完全平方形式.
教师引导分析,把a,b,c看作常数,按照配方法的一般步骤进行推导,并板书解题过程.
解:移项,得ax2+bx=-c,
方程中的二次项系数化为1,得x2+bax=-ca,
配方,得x2+bax+b2a2=-ca+b2a2,
即x+b2a2=b2-4ac4a2.
思路二
思考:(1)配方法解方程如何化二次项系数为1?
(2)二次项系数化为1后,如何把方程左边配成完全平方式?
(3)配方后如何解方程?
学生思考后推导、并针对自己推导过程中的问题进行小组讨论,教师在巡视过程中指导有困难的学生.
用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),将方程左边配成完全平方式,过程同思路一的板书过程.
二、共同探究2
问题1
一元二次方程(x+p)2=q一定有实根吗?
【师生活动】 学生思考回答,教师及时指导和补充.
不一定,当q<0时,方程无实根.
问题2
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后的方程x+b2a2=b2-4ac4a2一定有实根吗?
【师生活动】 学生小组讨论,共同探究,规范书写过程.教师按思路一继续板书过程.
∵4a2>0,
当b2-4ac≥0时,b2-4ac4a2≥0,
∴x+b2a2=b2-4ac2a2,
直接开平方,得x+b2a=±b2-4ac2a,
即x=-b±b2-4ac2a,
∴x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.
当b2-4ac<0时,b2-4ac4a2<0,
∴原方程没有实数根.
[设计意图] 设计共同探究环节,让学生亲身经历一元二次方程求根公式的推导,有利于对公式的掌握,同时经过体验知识的形成过程,在发现问题、共同交流的过程中,培养了学生分析问题、解决问题的能力.
归纳总结:
思考:(1)如何判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况?
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?
小组交流,共同得出结论.
结论一:一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,常用希腊字母“Δ”表示,即Δ=b2-4ac.
当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
当Δ=b2-4ac<0时,方程没有实数根.
结论二:解一元二次方程时,先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x=-b±b2-4ac2a就得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
教师强调:
(1)一元二次方程的根由系数a,b,c共同决定;
(2)用公式法解一元二次方程时,先将方程化成一般形式,确定a,b,c的值.
[设计意图] 经过讨论,加深对根的判别式和求根公式的认识,可使学生在运用公式的过程中自觉地计算判别式的值,并熟练记忆求根公式,同时培养了学生归纳总结能力和学习数学的严谨性.
三、例题讲解
[过渡语] 我们学习了一元二次方程根的判别式及公式法解一元二次方程,下面就让我们检验学习效果.
【课件3】 判断下列方程根的情况,试着求解方程.
(1)x2-4x-7=0;
(2)2x2-22x+1=0;
(3)5x2-3x=x+1;
(4)x2+17=8x.
【学生活动】 学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况,看谁做得既快又准确.
然后用公式法解上边的方程.
【师生活动】 学生思考后,课件展示解题过程,教师规范答题格式.
解:(1)a=1,b=-4,c=-7,
b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0,
∴x=-b±b2-4ac2a=-(-4)±442×1=4±2112,
即x1=2+11,x2=2-11.
(2)a=2,b=-22,c=1,
b2-4ac=(-22)2-4×2×1=0,
方程有两个相等的实数根,
∴x1=x2=-b2a=--222×2=22.
(3)将原方程化为5x2-4x-1=0,
a=5,b=-4,c=-1,
b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0,
∴x=-b±b2-4ac2a=-(-4)±362×5=4±610.
即x1=1,x2=-15.
(4)原方程即为x2-8x+17=0.
a=1,b=-8,c=17,
b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0,
∴方程无实数根.
[设计意图] 通过练习让学生熟练掌握本节课的重点,看谁判断的速度快,激发学生的竞争意识,培养学习兴趣;演示解方程的过程,规范答题格式,培养学生严谨的学习态度和逻辑思维能力.
[知识拓展] 公式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让a>0;
(2)找出系数a,b,c,注意各项系数的符号;
(3)计算b2-4ac,若结果为负数,方程无解;
(4)若结果为非负数,代入求根公式,算出结果.
1.方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,式子x=-b±b2-4ac2a叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
2.式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,常用“Δ”表示.
当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
当Δ=b2-4ac<0时,方程没有实数根.
3.用公式法解方程应注意的问题:
先将方程化为一般形式,确定a,b,c的值时注意符号,当Δ=b2-4ac≥0时,将a,b,c的值代入求根公式.
4.公式法解一元二次方程的步骤.
1.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列叙述正确的是 ( )
A.方程总有两个实数根
B.只有当b2-4ac≥0时,方程才有两个实数根
C.当b2-4ac<0时,方程只有一个实数根
D.当b2-4ac=0时,方程无实数根
解析:一元二次方程根的情况由根的判别式b2-4ac决定,当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程无实数根.故选B.
2.方程2x2+5x+3=0的根的判别式的值是 ( )
A.1 B.-1 C.13 D.19
解析:方程中a=2,b=5,c=3,代入根的判别式计算得b2-4ac=52-4×2×3=1.故选A.
3.若m为不等于零的实数,则方程x2+mx-m2=0的根的情况是 ( )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个实数根
D.没有实数根
解析:方程中a=1,b=m,c=-m2,代入根的判别式计算得b2-4ac=m2-4×1×(-m2)=5m2,因为m≠0,所以5m2>0,所以方程有两个不相等的实数根.故选B.
4.若关于x的一元二次方程-x2+(2m+1)x+1-m2=0无实数根,则m的取值范围是 .?
解析:由方程无实数根得b2-4ac<0,即(2m+1)2-4×(-1)×(1-m2)<0,∴4m+5<0,∴m<-54.故填m<-54.
21.2.2 公式法
一、共同探究1
二、共同探究2
当Δ=b2-4ac>0时,??
当Δ=b2-4ac=0时,??
当Δ=b2-4ac<0时,??
方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,式子x=-b±b2-4ac2a叫求根公式.
三、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第12页练习的1题.
【选做题】
教材第17页习题21.2的13题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列方程中没有实数根的是 ( )
A.x2+x-1=0 B.x2+x+2=0
C.x2+8x+1=0 D.x2-22x+2=0
2.用公式法解方程4x2-12x=3,得到 ( )
A.x=-3±62 B.x=3±62
C.x=-3±232 D.x=3±232
3.方程x2+x-1=0的一个根是 ( )
A.1-5 B.1-52
C.1+5 D.-1+52
4.关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为 ( )
A.m>94 B.m<94
C.m=94 D.m<-94
5.关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+(2+k2)=0有实根,则k的取值范围是 .?
6.当x= 时,代数式x2-8x+12的值是-4.?
7.求证:关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根.
8.已知关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0:
(1)当m取何值时,方程有实数解?
(2)当m取何值时,方程没有实数解?
9.用公式法解下列方程.
(1)2x2-4x-1=0;
(2)5x+2=3x2;
(3)(x-2)(3x-5)=1;
(4)4x2-3x+1=0.
【能力提升】
10.设方程x2-2x-2=0的较小根为x1,下面对x1的估计正确的是 ( )
A.-2
12.用公式法解关于x的方程x2-2ax-b2+a2=0.
【拓展探究】
13.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2-4ac>0的情况,她是这样做的:
由于a≠0,所以可将方程ax2+bx+c=0变形为:
x2+bax=-ca,…第一步
∴x2+bax+b2a2=-ca+b2a2,…第二步
∴x+b2a2=b2-4ac4a2,…第三步
∴x+b2a=±b2-4ac4a(b2-4ac>0),…第四步
∴x=-2b±b2-4ac4a.…第五步
嘉淇的解法从第 步开始出现错误.事实上,当b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是 .?
用公式法解方程x2-2x-24=0.
【答案与解析】
1.B(解析:分别求各方程的根的判别式b2-4ac,满足b2-4ac<0的方程是x2+x+2=0.故选B.)
2.D(解析:移项,得4x2-12x-3=0,则a=4,b=-12,c=-3,代入求根公式得x=-b±b2-4ac2a=3±232.故选D.)
3.D(解析:方程中a=1,b=1,c=-1,代入求根公式可得x=-b±b2-4ac2a=-1±52.故选D.)
4.B(解析:根据题意得Δ=(-3)2-4m>0,解得m<94.故选B.)
5.k≥74(解析:根据题意得Δ=(2k+1)2-4×(2+k2)≥0,解得k≥74.故填k≥74.)
6.4(解析:根据题意列方程得x2-8x+12=-4,解方程可得x1=x2=4.故填4.)
7.证明:∵Δ=b2-4ac=(2k+1)2-4×1×(k-1)=4k2+5>0恒成立,∴方程有两个不相等的实数根.
8.解:已知关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0,Δ=4m2+9+12m-4m2=12m+9.(1)当Δ≥0时方程有实数解,∴12m+9≥0,解得m≥-34,∴当m≥-34时方程有实数解. (2)当Δ<0时方程没有实数解,∴12m+9<0,解得m<-34,∴当m<-34时方程没有实数解.
9.解:(1)a=2,b=-4,c=-1,b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0,∴x= 4±242×2=2±62,∴x1=2+62,x2=2-62. (2)将方程化为一般形式为3x2-5x-2=0,a=3,b=-5,c=-2,∴b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0,∴x= 5±492×3=5±76,∴x1=2,x2=-13. (3)将方程化为一般形式为3x2-11x+9=0,a=3,b=-11,c=9,∴b2-4ac=(-11)2-4×3×9=13>0,∴x= 11±132×3=11±136,∴x1=11+136,x2=11-136. (4)a=4,b=-3,c=1,∴b2-4ac=(-3)2-4×4×1=-7<0,∴方程无实数根.
10.B(解析::x2-2x-2=0,即(x-1)2=3,所以x-1=±3,所以x1=1-3,x2=1+3,即较小根为x1=1-3,所以-1
12.解:由题意得Δ=4a2+4b2-4a2=4b2,∴x=2a±4b22=2a±2b2=a±b,∴x1=a+b,x2=a-b.
13.四 x=-b±b2-4ac2a
解:a=1,b=-2,c=-24,b2-4ac=(-2)2-4×1×(-24)=100>0,∴x=2±1002×1=2±102.∴x1=6,x2=-4.
本节课的重点是通过配方法探究一元二次方程的求根公式,最突出的特点是探究活动中设计了一个个小问题,在整个过程中始终做到给学生留下了很大的思维空间,始终围绕问题动手操作、小组合作交流,让学生积极参与、自主探究,学生是课堂的主体,无论是公式的推导,还是公式的应用,都是在教师的引导下,学生自己完成的,注重了知识的形成过程,锻炼了学生的发散思维.在课堂检测中编排的习题既注重本节课基础知识的训练,又注重学生能力的培养,整节课学生在愉悦的课堂气氛中掌握了知识,培养了能力.
本节课有一元二次方程根的判别式和求根公式两个重点内容,在探究公式的过程中有部分学生对含字母系数的方程不够熟悉,造成推导公式的困难,所以在时间安排上,学生思考时间过短,如一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系,没给学生留充分的思考时间.另外过高地估计了学生的能力,学生对求根公式是陌生的,造成课堂训练中计算出错较多的情况.
这节课不是让学生背公式、套公式解方程,而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的意识,由学生亲身体会公式推导的全过程,提高学生推理能力和逻辑思维能力,同时进一步发展学生合作交流的意识,帮助学生形成积极主动的求知态度.
练习(教材第12页)
1.解:(1)x2+x-6=0,∵a=1,b=1,c=-6,∴b2-4ac=1+24=25,∴x=-1±252,∴x1=-1-252=-1-52=-3,x2=-1+52=2. (2)x2-3x-14=0,∵a=1,b=-3,c=-14,∴b2-4ac=3-4×-14=4,∴x=3±22,∴x1=3-22,x2=3+22. (3)3x2-6x-2=0,∵a=3,b=-6,c=-2,∴b2-4ac=36-4×3×(-2)=60,∴x=6±602×3=6±2156=3±153,∴x1=3-153,x2=3+153. (4)4x2-6x=0,∵a=4,b=-6,c=0,∴b2-4ac=36,∴x=6±62×4,∴x1=0,x2=32. (5)x2+4x+8=4x+11,x2=3,∴x1=3,x2=-3. (6)x(2x-4)=5-8x,2x2-4x-5+8x=0,2x2+4x-5=0,∵a=2,b=4,c=-5,∴b2-4ac=16-4×2×(-5)=56,∴x=-4±562×2=-4±2144=-2±142,∴x1=-2-142,x2=-2+142.
2.解:x2-75x+350=0,∵a=1,b=-75,c=350,∴b2-4ac=(-75)2-4×1×350=4225,∴x=75±42252×1=75±652,∴x1=5,x2=70(舍).
1.用公式法解一元二次方程是求解一元二次方程的通法,是配方法的延续,主要体现降次的思想,具有突出的地位,是数学公理化和公式化的表现,同时也为后面学习二次函数打下基础.掌握求根公式的关键是掌握公式的推导过程,而推导过程的基础是配方法,所以在教学中,应该引导学生自主探索一元二次方程的求根公式,然后在师生共同的讨论中,得到求根公式,这样比较容易突破重难点内容.
2.本节课重点是探求一元二次方程的求根公式,需要通过配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0,在解决这个问题的过程中,让学生经历从特殊到一般(从数字系数方程到字母系数方程)的过程,降低学生学习新知识的难度,让学生体会解决数学问题常用的转化思想.
3.解一元二次方程是建立在解一元一次方程的基础之上的,在学习这节课时学生已经有了解一元一次方程的基础,同时用直接开平方法和配方法,对降次解一元二次方程有了初步的认识,为此本节课的探究活动可由学生自己完成,教师作指导即可,切忌越俎代庖.
已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.
(1)求证方程有两个不相等的实数根;
(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求出以此两根为两边长的直角三角形的周长.
解:(1)Δ=(m+2)2-4×1×(2m-1)
=m2+4m+4-8m+4
=m2-4m+8
=(m-2)2+4,
∵(m-2)2≥0,∴(m-2)2+4≥4,
∴无论m取何值都有Δ>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)把x=1代入方程可得1-(m+2)+2m-1=0,解得m=2,
∴原方程为x2-4x+3=0,
解方程可得x1=1,x2= 3,
∴方程的另一个根是x=3.
当1,3分别为直角三角形的两条直角边长时,由勾股定理得斜边长为1+9=10,此时周长为4+10;
当3为直角三角形的斜边长时,另一直角边长为9-1=22,此时周长为4+22.
21.2.3 因式分解法
1.了解因式分解法的概念.
2.会用因式分解法解一元二次方程.
3.能根据一元二次方程的特征,选择适当的解一元二次方程的方法.
1.经历探索用因式分解法解一元二次方程的过程,发展合情推理的能力,体会“降次”化归的思想方法.
2.通过灵活选择解方程的方法,体会解决问题的灵活性和多样性.
1.通过探究因式分解法解一元二次方程,学会与他人合作,能与他人交流思维的过程和
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