课件39张PPT。3.1.3 导数的几何意义第三章 导数及其应用3.1 导数1.理解函数y＝f(x)在点(x0，y0)处的导数与函数y＝f(x)图象在点(x0，y0)处的切线的斜率间的关系，掌握导数的几何意义．
2.已知函数解析式，会求函数在点(x0，y0)处切线的斜率，能求过点(x0，y0)的切线的方程.学习目标1.根据导数的几何意义，求函数在点(x0，y0)处的切线的方程．(重点)
2.准确理解在某点处与过某点处的切线方程．(易混点)特别提醒1．平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线的呢？启动思维
2．如图，直线l1是曲线C的切线吗？l2呢？3.设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，当点B沿曲线趋近于A时，割线AB的斜率kAB与曲线在点A处的切线的斜率k之间有什么关系？与f′(x0)有什么关系？1．导数的几何意义
(1)割线斜率与切线斜率走进教材切线 f′(x0)
(2)导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为
．斜率f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
【答案】B预习检测2．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为( )
A．4 B．16
C．8 D．2【答案】C 3．曲线y＝2x2＋1在点P(－1,3)处的切线方程为________．
【答案】 4x＋y＋1＝0 4．已知曲线y＝3x2，求在点A(1,3)处的曲线的切线方程．[策略点睛] 典例剖析题目类型一、求定点处的切线方程[题后感悟] (1)已知曲线的切点P(x0，y0)，怎样求曲线的切线方程？
①求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)，得切线的斜率k＝f′(x0)；
②根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)注意事项
①求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．过点P的切线，点P不一定是切点，也不一定在曲线上；在点P处的切线，点P必为切点，且在曲线上；
②若曲线y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)不存在，则切线与y轴平行或不存在；若f′(x0)＝0，则切线与x轴平行．1.求曲线y＝f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程．
解：易证得点P(1,2)在曲线上，
由y＝x3＋2x－1得
Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1
＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2＋(Δx)3.变式练习例2.求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．思路分析[题后感悟] (1)求曲线的切线方程的类型：
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的步骤：2.已知曲线y＝3x2，求过点B(1，－9)的曲线的切线方程．变式练习例3.在曲线y＝x2上哪一点处的切线，满足下列条件：
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角．
分别求出该点的坐标．题目类型三、求切点坐标思路分析[题后感悟] 解决此类问题，关键是利用导数的几何意义求出过切点的切线的斜率，结合题意列方程，求出切点的坐标．求解过程应认真领会数学的转化思想、待定系数法．3.已知抛物线y＝2x2＋1，求
(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？
(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?变式练习利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为
y－y0＝f′(x0)(x－x0)．疑难突破[特别提醒] (1)若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，就是切线与y轴平行．f′(x0)＞0，切线与x轴正向夹角为锐角，f′(x0)＜0，切线与x轴正向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行．
(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而可求出切线方程． ◎试求过点P(3,5)且与y＝x2相切的直线方程．误区警示【错因】 求曲线上的点P处的切线与求过点P的切线有区别，在点P处的切线，点P必为切点；求过点P的切线，点P未必是切点，应注意概念不同，其求法也有所不同．
【正解】 f′(x)＝2x(解法同上)，设所求切线的切点为
A(x0，y0)，
因为点A在曲线y＝x2上，所以y0＝x，
又因为A是切点，所以过点A的切线的斜率为f′(x0)＝2x0，
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)，
当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，
当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，
因此所求的切线有两条，
方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0. 课件38张PPT。3.1.3 导数的几何意义第三章 导数及其应用3.1 导数学习目标重点难点要点点拨预习提示典例剖析变式训练变式训练变式训练达标训练[答案] B [答案] D
