课件32张PPT。3.3.2 利用导数研究函数的极值（二）第三章 导数及其应用3.3 导数的应用学习目标知识梳理名师点睛典例剖析方法技巧课件24张PPT。3.3.2 利用导数研究函数的极值（二）第三章 导数及其应用3.3 导数的应用学习目标1.函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值
如果在区间[a,b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取得_______和________,若函数在(a,b)是可导的,该函数的最值必在_______或________处取得.
最大值最小值极值点区间端点知识梳理想一想
1.在区间[a,b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线,想一想,在[a,b]上一定存在最值和极值吗?
提示:一定有最值,但不一定有极值.如果函数f(x)在[a,b]上是单调的,此时f(x)在[a,b]上无极值;如果f(x)在[a,b]上不是单调函数,则f(x)在[a,b]上有极值.
2.求可导函数y＝f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤
(1)求f(x)在开区间(a,b)内所有极值点.
(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值,其中最大的一个为______,最小的一个为______.最大值最小值做一做
2.求函数f(x)＝x3－3x2＋6x－2,x∈[－1,1]上的最值.
解:f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3,
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0,∴f(x)在[－1,1]上为增函数.
故x＝－1时,f(x)最小值＝－12;x＝1时,f(x)最大值＝2.
即f(x)的最小值为－12,最大值为2.
典例剖析【名师点评】 求解函数在固定区间上的最值,应注意以下几点:
(1)对函数进行准确求导;
(2)研究函数的单调性,确定极值和端点函数
值;
(3)比较极值与端点函数值大小时,有时需作差或作商,甚至要分类讨论.
变式训练
1.已知函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋3.
(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在[－3,3]上的最值.
解:(1)f′(x)＝6(x＋2)(x－1),由f′(x)>0,得x<－2或x>1,由f′(x)<0得－2所以f(x)的单调递增区间为(－∞,－2),(1,＋∞),
单调递减区间为(－2,1).
(2)令f′(x)＝0,得x＝－2或x＝1.
f(－2)＝23,f(1)＝－4,f(－3)＝12,f(3)＝48,
所以f(x)的最大值为48,最小值为－4.题型二 已知函数的最值求参数
若f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0),x∈[－1,2]的最大值为3,最小值为－29,求a、b的值.
解：f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x).
令f′(x)＝0,得x＝0或x＝4,∵x∈[－1,2],∴x＝0.
∵a>0,∴f(x),f′(x)随x变化情况如下表:
∴当x＝0时,f(x)取最大值,∴b＝3.
又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3,
f(－1)＝－7a＋3>f(2),
∴当x＝2时,f(x)取最小值,－16a＋3＝－29,
∴a＝2,∴a＝2,b＝3.【名师点评】 已知函数的最大值或最小值,也可利用导数,采用待定系数法,列出字母系数的方程或方程组,解出字母系数,从而求出函数的解析式,进而可以研究函数的其他性质.【答案】4变式训练
【名师点评】 解答恒成立问题的一种基本思路是“分离参数,最值转化”,即f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a;f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a,从而把恒成立问题转化为求函数的最值问题.变式训练
3.已知a为实数,f(x)＝(x2－4)(x－a).
(1)若f′(－1)＝0,求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值;
(2)若f(x)在(－∞,－2)和(2,＋∞)上都是单调递增的,求a的取值范围.方法技巧
1.函数的最大值和最小值是一个整体性概念,最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值;最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值.
方法感悟2.函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个;极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得;有极值的未必有最
值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.
失误防范
将极大值误认为是最大值、极小值误认为是最小值,不与端点值作比较,是常犯的错误.
