课件28张PPT。3.3.2 利用导数研究函数的极值（一）第三章 导数及其应用3.3 导数的应用学习目标f(x)＜f(x0) f(x)＞f(x0) 知识梳理名师点睛典例剖析课件28张PPT。3.3.2 利用导数研究函数的极值（一）第三章 导数及其应用3.3 导数的应用学习目标1.极值点与极值概念
f(x)＜f(x0) y极大值＝f(x0)f(x)＞f(x0)y极小值＝f(x0)x0x0极大值点与极小值点知识梳理想一想
1.函数的极大值一定大于极小值吗?在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗?
【答案】不一定;不一定唯一.
做一做
2.关于函数的极值,下列说法正确的是( )
A.导数为零的点一定是函数的极值点
B.函数的极小值一定小于它的极大值
C.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值
D.若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数
【解析】根据极值的有关概念易知A、B、C均不正确,D正确.
【答案】D
2.求可导函数y＝f(x)极值的步骤
(1)求____________;
(2)求方程_________的所有实数根;
(3)对每个实数根进行检验,判断在每个根的左右侧,___________ 的符号如何变化.如果f′(x)的符号___________,则
f(x0)是极大值;如果f′(x)的符号__________,则f(x0)是极小值;如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧符号不变,则f(x0)不是极值.
导数f′(x)f′(x)＝0导函数f′(x)由正变负由负变正做一做
3.函数y＝x3－3的极大值是( )
A.0
B.1
C.2
D.不存在
【答案】D
典例剖析解：(1)f′(x)＝3x2－6x－9.
解方程3x2－6x－9＝0,得x1＝－1,x2＝3.
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:
因此,当x＝－1时函数取得极大值,且极大值为f(－1)＝10;当x＝3时函数取得极小值,且极小值为f(3)＝－22.
【名师点评】 判断函数极值时需注意:
(1)极值点是函数定义域内的点,而函数定义域的端点绝不是函数的极值点.(2)在讨论可导函数f′(x)在定义域内的极值时,若方程f′(x)＝0的实数根较多,应注意使用表格,使极值点的确定一目了然.
变式训练
1.求函数f(x)＝x3－12x的极值.
解:函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2).
令f′(x)＝0,得x＝－2或x＝2.
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
所以当x＝－2时,函数有极大值,
且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16;
当x＝2时,函数有极小值,
且f(2)＝23－12×2＝－16.题型二 已知极值求参数
设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直,导函数f′(x)的最小值为－12.
(1)求a,b,c的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)的极大值和极小值.
【名师点评】 已知函数极值情况,逆向应用确定函数的解析式,进而研究函数性质时,注意两点:
(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
变式训练
2.已知函数f(x)＝ax3＋bx2,当x＝1时有极大值3.
(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的极小值.列表:
由上表可知:f(x)在x＝0时,取得极小值f(0)＝0.
题型三 函数极值的综合应用
(本题满分12分)设函数f(x)＝x3－6x＋5,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若函数y＝f(x)的图象与函数y＝a的图象恰有三个不同的交点,求实数a的取值范围.
【思路点拨】 (1)利用导数求单调区间和极值.(2)由(1)的结论,问题转化为方程f(x)＝a有3个不同的根,利用数形结合的方法求解.
【名师点评】 用求导的方法确定方程根的个数,是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况,运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数,从而判断方程根的个数. 变式训练
3.已知函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x在x＝1处有极大值,求a的值.
解:f′(x)＝3x2－4ax＋a2.由题意得
3－4a＋a2＝0,解得a＝1或a＝3.
验证知当a＝1时,函数f(x)在x＝1处取得极小值,不满足题意,故舍去a＝1;a＝3时,满足题意.
所以a＝3.
方法技巧
1.极值的概念理解
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点指的是自变量的值,极值指的是函数值.请注意以下几点:
方法感悟(1)极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.
(2)函数的极值不一定是唯一的,即一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值,如图所示,
x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)＞f(x1).
?
2.极值点与导数为零的点
(1)可导函数的极值点是导数为零的点,但是导数为零的点不一定是极值点,即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分但不必要条件;
(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0,且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同.如果在x0的两侧f′(x)的符号相同,则x0不是极值点.
失误防范
1.必须严格按照求函数极值的方法步骤进行,其重点是列表考查导数为零的点的左、右两侧的导数值是否是异号的,若异号,则是极值点;否则不是极值点.
2.在解答有关极值问题时,一定要注意定义域及导数不存在的情况,否则极易导致错解.
