2020版高中数学新人教B版必修3第三章概率3.1.4概率的加法公式学案（含解析）

3.1.4　概率的加法公式
学习目标　1.理解互斥事件与对立事件的区别与联系.2.会用互斥事件的概率加法公式求概率.3.会用对立事件的概率公式求概率．
知识点一　事件的运算
思考　一粒骰子掷一次，记事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，当事件C，D都发生时，掷出的点数是多少？事件C，D至少有一个发生时呢？
答案　事件C，D都发生，即掷出的点数为偶数且小于3，故此时掷出的点数为2.事件C，D至少有一个发生，掷出的点数可以是1,2,4,6.
梳理　事件的并
一般地，由事件A和B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件C，称为事件A与B的并(或和)．记作C＝A∪B.事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件所组成的集合．如图中阴影部分所表示的就是A∪B.
知识点二　互斥与对立的概念
思考　一粒骰子掷一次，事件E＝{出现的点数为3}，事件F＝{出现的点数大于3}，事件G＝{出现的点数小于4}，则E与F是什么事件？G与F是什么事件？
答案　∵E，F不能同时发生，∴E与F是互斥事件但不是对立事件．
∵G，F不能同时发生，且G，F必有一个发生，∴G与F既是互斥事件又是对立事件．
梳理　
1．互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件)．
2．对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A的对立事件记作.由于A与是互斥事件，所以P(Ω)＝P(A∪)＝P(A)＋P()，又由Ω是必然事件，得到P(Ω)＝1.所以P(A)＋P()＝1，即P()＝1－P(A)．
知识点三　概率的基本性质
思考　概率的取值范围是什么？为什么？
答案　概率的取值范围是0～1之间，即0≤P(A)≤1；由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，因而概率的取值范围也在0～1之间．
梳理　概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围为[0,1]．
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
(3)互斥事件的概率加法公式
①假定A，B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥(彼此互斥)，那么事件“A1∪A2∪…∪An”发生(是指事件A1，A2，…，An中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率和，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
1．若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．(　×　)
2．若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．(　√　)
3．若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.(　√　)
题型一　事件关系的判断
例1　从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
解　(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
反思与感悟　(1)不可能事件记作?，任何事件都包含不可能事件．
(2)事件的包含关系与集合的包含关系相似，不可能事件与空集相似，学习时要注意类比记忆．
(3)事件A也包含于事件A，即A?A.
(4)两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件，相等的事件A，B总是同时发生或同时不发生．
跟踪训练1　从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是(　　)
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有两个红球
答案　D
解析　根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“3个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件．
题型二　互斥事件的概率加法公式
例2　在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率．
解　分别记小明的考试成绩在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的．根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
小明考试及格的概率为P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
反思与感悟　在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求出)的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率．因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”．
跟踪训练2　假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求投掷一枚炸弹，军火库发生爆炸的概率．
解　因为只投掷了一枚炸弹，故炸中第一、第二、第三个军火库的事件是彼此互斥的．
令A，B，C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库，
则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.
令D表示军火库爆炸这个事件，则有D＝A∪B∪C，又因为A，B，C是两两互斥事件，故所求概率为P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
题型三　用互斥、对立事件求概率
例3　甲、乙两人下棋，和棋的概率是，乙获胜的概率为，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．
解　(1)“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为1－－＝.
(2)方法一　“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(甲不输)＝＋＝.
方法二　“甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(甲不输)＝1－＝，故甲不输的概率为.
反思与感悟　(1)只有当A，B互斥时，公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立；只有当A，B互为对立事件时，公式P(A)＝1－P(B)才成立．
(2)复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求解．
跟踪训练3　从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”．已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为(　　)
A．0.20B．0.39C．0.35D．0.90
答案　C
解析　∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.
1．从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述各对事件中，是对立事件的是(　　)
A．①B．②④C．③D．③④
答案　C
解析　从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件．
2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　)
A．0.42B．0.28C．0.3D．0.7
答案　C
解析　∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.
3．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
答案　
解析　由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.
4.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是______．
答案　0.10
解析　设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为
P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.
5．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.
求：(1)他乘火车或飞机去的概率；
(2)他不乘轮船去的概率．
解　设乘火车去开会为事件A，乘轮船去开会为事件B，乘汽车去开会为事件C，乘飞机去开会为事件D，它们彼此互斥．
(1)P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.
1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．
2．互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
3．求复杂事件的概率通常有两种方法：
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．
一、选择题
1．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0,1,2,3.那么A＝A1∪A2∪A3表示(　　)
A．全部击中 B．至少击中1发
C．至少击中2发 D．以上均不正确
答案　B
解析　A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发，2发或3发，故选B.
2．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是(　　)
A．A与B B．B与C
C．A与D D．B与D
答案　C
解析　A与D互斥，但不对立．故选C.
3．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8g的概率为0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)内的概率是(　　)
A．0.62 B．0.38
C．0.70 D．0.68
答案　B
解析　利用对立事件的概率公式可得P＝1－(0.3＋0.32)＝0.38.
4．袋内装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是(　　)
A．至少有一个白球与都是白球
B．至少有一个白球与至少有一个红球
C．恰有一个红球与一个白球一个黑球
D．至少有一个红球与红、黑球各一个
答案　C
解析　直接依据互斥事件和对立事件的概念判断即可．
5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)
A.B.C.D.
答案　D
解析　由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，其中4位同学都选周六的概率为，4位同学都选周日的概率为，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率P＝1－－＝，故选D.
6．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有(　　)
①恰有一名男生和全是男生；
②至少有一名男生和至少有一名女生；
③至少有一名男生和全是男生；
④至少有一名男生和全是女生．
A．①③④B．②③④C．②③D．①④
答案　D
解析　①是互斥事件．恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；②不是互斥事件；③不是互斥事件；④是互斥事件．至少有一名男生与全是女生不可能同时发生．
7．一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件：
①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”；
②“至少有1件次品”和“都是次品”；
③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；
④“至少有1件次品”和“都是正品”．
其中互斥事件有(　　)
A．1组B．2组C．3组D．4组
答案　B
解析　对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“2件都是次品”显然是互斥事件；
对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；
对于③，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事件；
对于④，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”显然是互斥事件，故①④是互斥事件．
二、填空题
8．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________.
答案　0.3
解析　因为A，B为互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．所以P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.
9．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，已知所取的2瓶全在保质期内的概率为，则至少取到1瓶已过保质期的概率为________．
答案　
解析　事件“至少取到1瓶已过保质期的饮料”与事件“没有取到已过保质期的饮料”是对立事件，根据对立事件的概率公式得P＝1－＝.
10．抛掷一枚骰子两次，若至少有一个1点或2点的概率为，则没有1点或2点的概率是________．
答案　
解析　记事件A为“没有1点或2点”，B为“至少有一个1点或2点”，则A与B是互斥事件，且A与B是对立事件，故P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
11．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为，则5点或6点至少出现一个的概率是________．
答案　
解析　记“既不出现5点也不出现6点”的事件为A，则P(A)＝，“5点或6点至少出现一个”的事件为B.
因为A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
故5点或6点至少出现一个的概率为.
三、解答题
12．根据以往的成绩记录，某队员击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示：
(1)确定图中a的值；
(2)该队员进行一次射击，求击中环数大于7的概率(频率看成概率使用)．
解　(1)由题图可得0.01＋a＋0.19＋0.29＋0.45＝1，所以a＝0.06.
(2)设事件A为“该队员射击，击中环数大于7”，它包含三个两两互斥的事件：该队员射击，击中环数为8,9,10.所以P(A)＝0.29＋0.45＋0.01＝0.75.
13．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：
命中环数
10
9
8
7
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该射击队员在一次射击中：
(1)命中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；
(3)命中不足8环的概率．
解　记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak之间彼此互斥．
(1)设“射击一次，命中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件概率的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.6.
(2)设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.
(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C，由于事件C与事件B互为对立事件，故P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.
四、探究与拓展
14．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．
答案　0.45
解析　由图可知，抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.
15．某商场有奖销售中，购物满100元可得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解　(1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
故事件A，B，C的概率分别为，，.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖．
设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＝.故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.