2020版高中数学新人教B版必修3第三章概率3.2古典概型学案（含解析）

3.2　古典概型
学习目标　1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解概率的一般加法公式及适用条件．
知识点一　古典概型
思考1　“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？
答案　不属于．因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．
思考2　若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型吗？
答案　不一定符合．还必须满足每个基本事件出现的可能性相等才符合古典概型．
梳理　(1)古典概型的特征：
①有限性　在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；
②等可能性　每个基本事件发生的可能性是均等的．
(2)古典概型的计算公式：P(A)＝.
知识点二　概率的一般加法公式(选学)
1．事件的交(或积)
由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝A∩B(或D＝AB)．
2．概率的一般加法公式：如果A，B不是互斥事件，
则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
1．每一个基本事件出现的可能性相等．(　√　)
2．古典概型中的任何两个基本事件都是互斥的．(　√　)
题型一　古典概型的判断
例1　某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？
解　不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的(为什么？)，即不满足古典概型的第二个条件.
反思与感悟　判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性．
跟踪训练1　从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？
解　不是，因为有无数个基本事件.
题型二　古典概型的概率计算
例2　将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察出现点数的情况．
(1)一共有多少种不同的结果？
(2)点数之和为5的结果有多少种？
(3)点数之和为5的概率是多少？
解　(1)将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，得到的点数有1,2,3,4,5,6，共6种结果，故先后将这枚骰子抛掷两次，一共有6×6＝36(种)不同的结果．
(2)点数之和为5的结果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种．
(3)正方体骰子是质地均匀的，将它先后抛掷两次所得的36种结果是等可能出现的，其中点数之和为5(记为事件A)的结果有4种，因此所求概率P(A)＝＝.
反思与感悟　古典概型问题包含的题型较多，但都必须紧扣古典概型的定义，进而用公式进行计算．列举法是求解古典概型问题的常用方法，借助于图表等有时更实用更有效．
跟踪训练2　在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，则两张卡片上数字之和等于7的概率为________．
答案　
解析　试验结果如表所示：
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
6
2
2
3
4
5
6
7
3
3
4
5
6
7
8
4
4
5
6
7
8
9
5
5
6
7
8
9
10
由表可知两张卡片上数字之和共有36种情况，其中和为7有4种情况，
∴所求事件的概率为＝.
1．下列不是古典概型的是(　　)
A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
答案　C
解析　A，B，D为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不满足等可能性，故不为古典概型．
2．从长度分别为1,2,3,4的四条线段中，任取三条不同的线段，以取出的三条线段为边可组成三角形的概率为(　　)
A．0B.C.D.
答案　B
解析　从中任取三条线段共有4种取法，能构成三角形的只有长度为2,3,4的线段，所以P＝，故选B.
3．从数字1,2,3,4,5中任取2个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是(　　)
A.B.C.D.
答案　B
解析　从数字1,2,3,4,5中任取2个不同的数字能构成20个两位数：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54，而大于40的数有8个：41,42,43,45,51,52,53,54，故所求的概率是＝.
4．从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率为________．
答案　
解析　从2,3,8,9中任取2个分别记为(a，b)，则有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12种情况，其中符合logab为整数的有log39和log28两种情况，∴P＝＝.
5．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．求所取的2道题不是同一类题的概率．
解　将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m，n.
一、选择题
1．下列是古典概型的是(　　)
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
答案　C
解析　A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．
2．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都入选的概率为(　　)
A.B.C.D.
答案　C
解析　从五个人中选取三个人有10种不同结果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都入选的结果有3种，故所求的概率为.
3．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为(　　)
A.B.C.D.
答案　A
解析　甲、乙两人参加学习小组，若以(A，B)表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则一共有：(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P＝.
4．先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为(　　)
A.B.C.D.
答案　C
解析　抛掷两颗骰子，一共有36种结果，其中点数之和为7的共有6种结果，根据古典概型的概率公式，得P＝.
5．盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1,2,3,4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是(　　)
A.B.C.D.
答案　A
解析　从装有四个小球的盒子里随机摸出两个小球，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共有6种取法，其中小球上标有的数字之和为5的取法共有2种，分别为(1,4)，(2,3)，根据古典概型的概率公式，得其概率为，故选A.
6．袋中有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为(　　)
A.B.C.D.
答案　C
解析　袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15个．
两球颜色为一白一黑的基本事件有(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个．
∴其概率为＝.
7．假如小明同学的QQ密码是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中的6个数字组成的六位数，由于长时间未登录QQ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是(　　)
A.B.C.D.
答案　D
解析　只考虑最后一位数字即可，从0至9这10个数字中随机选择一个作为密码的最后一位数字有10种可能，选对只有一种可能，所以选对的概率是.
8．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(　　)
A.B.C.D.
答案　D
解析　首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a－b|≤1，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得，基本事件的总数有36种．因此他们“心有灵犀”的概率为P＝＝.
二、填空题
9．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．
答案　
解析　基本事件的总数为6×6＝36，记事件A＝{点P(m，n)落在圆x2＋y2＝16内}，则A所包含的基本事件有(1,1)，(2,2)，(1,3)，(1,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)，共8个．
∴P(A)＝＝.
10．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率是________．
答案　
解析　设3件正品为A，B，C,1件次品为D，从中不放回地任取2件，有以下基本事件：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6个．其中恰有1件是次品的基本事件有：AD，BD，CD，共3个，故P＝＝.
11．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．
答案　
解析　用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc共15种，其中2名都是女同学的有ab，ac，bc共3种，故所求的概率为＝.
三、解答题
12．某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．
(1)求应从初级教师、中级教师、高级老师中分别抽取的人数；
(2)若从分层抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率．
解　(1)由分层抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3,2,1.
(2)在分层抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3,2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则从中抽取2名教师的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．
所以P(B)＝＝.
13．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解　(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×＝1,150×＝3,100×＝2，
所以A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A1；B1，B2，B3；C1，C2，则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，C1}，{A1，C2}，
{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，
{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，
共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件出现的机会是等可能的．
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，
则事件D包含的基本事件有
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.
四、探究与拓展
14．一次掷两枚骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0有实数根的概率是________．
答案　
解析　基本事件共有36个．因为方程有实根，所以Δ＝(m＋n)2－16≥0.所以m＋n≥4，其对立事件是m＋n＜4，它包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件．
所以所求概率为1－＝.
15．“抢红包”的活动给节假日增添了一份趣味，某发红包单位进行一次关于“是否参与抢红包活动”的调查活动，组织员工在几个大型小区随机抽取50名居民进行问卷调查，对问卷结果进行了统计，并将调查结果统计如下表：
年龄(岁)
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70]
调查人数
m
n
14
12
8
6
参与的人数
3
4
12
6
3
2
表中所调查的居民年龄在[10,20)，[20,30)，[50,60)内的人数成等差数列．
(1)求表中m，n的值，并补全如图所示的频率分布直方图；
(2)在被调查的居民中，若从年龄在[10,20)，[20,30)内的居民中各随机选取1人参加抽奖活动，求选中的两人中仅有一人没有参与抢红包活动的概率．
解　(1)由题意得解得
补全频率分布直方图，如图所示：
(2)记年龄在[10,20)内的居民为a1，A2，A3，A4(其中居民a1没有参与抢红包括动)，年龄在[20,30)内的居民为b1，b2，B3，B4，B5，B6(其中居民b1，b2没有参与抢红包活动)．各选取1人的情形有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，B3)，(a1，B4)，(a1，B5)，(a1，B6)，(A2，b1)，(A2，b2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(A2，B6)，(A3，b1)，(A3，b2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A3，B5)，(A3，B6)，(A4，b1)，(A4，b2)，(A4，B3)，(A4，B4)，(A4，B5)，(A4，B6)，共24种．
其中仅有一人没有参与抢红包活动的情形有10种，分别为(a1，B3)，(a1，B4)，(a1，B5)，(a1，B6)，(A2，b1)，(A3，b1)，(A4，b1)，(A2，b2)，(A3，b2)，(A4，b2)，所以选中的两人中仅有一人没有参与抢红包活动的概率P＝＝.