2020版高中数学新人教B版必修3第三章概率3.3随机数的含义与应用3.4概率的应用学案（含解析）

3.3　随机数的含义与应用 3.4　概率的应用
学习目标　1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义.2.会求一些简单的几何概型的概率.3.了解随机数的意义，能用计算机随机模拟法估计事件的概率.4.应用概率解决实际问题．
知识点一　几何概型的概念
思考　往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？
答案　出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的．
梳理
1．几何概型的定义
事件A理解为区域Ω的某一子区域A，如图，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
知识点二　几何概型的概率公式
思考　既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？
答案　可以用事件A所占有的几何量与总的基本事件所占有的几何量之比来表示．
梳理
几何概型的概率计算公式
在几何概型中，事件A的概率定义为：P(A)＝，其中，μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．
知识点三　均匀随机数
1．随机数
随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样．
2．计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法
建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．按照以上思路建立起来的方法称为计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法．
1．与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　×　)
2．随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　√　)
题型一　几何概型的识别
例1　下列关于几何概型的说法错误的是(　　)
A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性
B．几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
答案　A
解析　几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件为有限个．
反思与感悟　几何概型特点的理解
(1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；
(2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．
跟踪训练1　判断下列概率模型是古典概型还是几何概型．
(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；
(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．
解　(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果有6×6＝36(种)，且它们的发生都是等可能的，因此属于古典概型．
(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，且它们的发生都是等可能的，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．
题型二　几何概型的计算

例2　某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到站候车时间大于10分钟的概率．
解　如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T1，T2，T1T2＝15.
设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A.
则当乘客到站时刻t落到T1T上时，事件A发生．
因为T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15，
所以P(A)＝＝.
引申探究　
1．本例中在题设条件不变的情况下，求候车时间不超过10分钟的概率．
解　由原题解析图可知，当t落在TT2上时，候车时间不超过10分钟，故所求概率P＝＝.
2．本例中在题设条件不变的情况下，求乘客到达车站立即上车的概率．
解　由原题解析图可知，当t落在T0T2上时，乘客立即上车，故所求概率P＝＝＝.
反思与感悟　若一次试验中所有可能的结果和某个事件A包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求出事件A发生的概率．
跟踪训练2　平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径为r(r＜a)的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．
解　记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件A，如图，由图可知，硬币圆心在线段AB上的任意一点的出现是等可能的．圆心在线段CD(不含点C，D)上出现时硬币不与平行线相碰，所以P(A)＝＝＝.

例3　设点M(x，y)在区域{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}上均匀分布出现，求：
(1)x＋y≥0的概率；
(2)x＋y＜1的概率；
(3)x2＋y2≥1的概率．
解　如图，满足|x|≤1，|y|≤1的点(x，y)组成一个边长为2的正方形(ABCD)区域(含边界)，S正方形ABCD＝4.
(1)x＋y＝0的图象是直线AC，满足x＋y≥0的点在AC的右上方(含AC)，即在△ACD内(含边界)，而S△ACD＝·S正方形ABCD＝2，所以P(x＋y≥0)＝＝.
(2)设E(0,1)，F(1,0)，则x＋y＝1的图象是EF所在的直线，满足x＋y＜1的点在直线EF的左下方，即在五边形ABCFE内(不含边界EF)，而S五边形ABCFE＝S正方形ABCD－S△EDF＝4－＝，
所以P(x＋y＜1)＝＝＝.
(3)满足x2＋y2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O，S⊙O＝π，所以P(x2＋y2≥1)＝＝.
反思与感悟　如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点，且该区域中的每一个点被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以视为几何概型，并且这里的区域可以用面积表示，利用几何概型的概率公式求解．
跟踪训练3　欧阳修《卖油翁》中写到，(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌沥之，自钱孔入而钱不湿．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有一个边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴正好落入孔中的概率是(　　)
A.B.C.D.
答案　A
解析　∵S正方形＝1cm2，S圆＝π·2＝(cm2)，
∴P＝＝，故选A.

例4　已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于的概率．
解　如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于.
设△ABC的面积为S，由△ABC∽△A1B1C1，且相似比为2，得△A1B1C1的面积为.
由题意，知区域D(三棱锥S－ABC)的体积为Sh，
区域d(三棱台ABC－A1B1C1)的体积为Sh－··＝Sh.
所以点M到底面的距离小于的概率为P＝.
反思与感悟　如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A)＝.
解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．
跟踪训练4　在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为(　　)
A. B.π
C. D.
答案　D
解析　由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R＝，球的体积V2＝π×3＝π，则此点落在正方体内部的概率P＝＝.
题型三　均匀随机数及随机模拟方法
例5　在如图所示的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.
解　随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，
即≈.
设正方形的边长为2，则圆的半径为1，则＝＝，由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以π≈×4.所以就得到了π的近似值．
反思与感悟　(1)用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大．
(2)用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．
跟踪训练5　利用随机模拟方法计算由y＝1和y＝x2所围成的图形的面积．
解　以直线x＝1，x＝－1，y＝0，y＝1为边界作矩形，
(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b＝RAND；
(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)；
(3)数出落在阴影内的样本点数N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积．
例如做1000次试验，即N＝1000，模拟得到N1＝698，
所以P＝＝＝，
即阴影部分的面积S＝矩形面积×＝2×＝1.396.
1．下列概率模型是几何概型的为(　　)
A．已知a，b∈{1,2,3,4}，求使方程x2＋2ax＋b＝0有实根的概率
B．已知a，b满足|a|≤2，|b|≤3，求使方程x2＋2ax＋b＝0有实根的概率
C．从甲、乙、丙三人中选2人参加比赛，求甲被选中的概率
D．求张三和李四的生日在同一天的概率(一年按365天计算)
答案　B
解析　对于选项B，a，b满足的条件为坐标平面内某一区域，涉及面积问题，为几何概型，其他三个选项均为古典概型．
2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为(　　)
A.B.C.D.
答案　B
解析　向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝＝.
3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影区域的面积是(　　)
A. B.
C. D．无法计算
答案　C
解析　在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A，则事件A构
成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P(A)＝＝＝，解得S＝.
4．在200mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出20mL水样利用显微镜观察，则发现草履虫的概率是________．
答案　0.1
解析　记“从200mL水中随机取出20mL水样利用显微镜观察，发现草履虫”为事件A，则由几何概型的概率计算公式可得P(A)＝＝0.1.
5．在区间[0,1]上任取三个数a，b，c，若向量m＝(a，b，c)，求|m|≥1的概率．
解　∵a，b，c∈[0,1]，
∴Ω＝{(a，b，c)|0≤a≤1,0≤b≤1,0≤c≤1}构成的区域为单位正方体(其中原点O为正方体的一个顶点)．
设“|m|≥1”为事件A，
则表示“|m|＜1”，即a2＋b2＋c2＜1，这样的点(a，b，c)位于单位正方体内，且在以原点为球心，1为半径的球内，V′＝×π×13＝.
又V正方体＝1，∴P()＝＝，
因此P(|m|≥1)＝P(A)＝1－P()＝1－.
1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．
2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题．
3．注意理解几何概型与古典概型的区别．
4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为
P(A)＝.
一、选择题
1．在区间(15,25)内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17A.B.C.D.
答案　C
解析　∵a∈(15,25)，∴P(172．在长为10厘米的线段AB上任取一点G，以AG为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是(　　)
A.B.C.D.
答案　D
解析　以AG为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图)．∴所求概率P＝＝.
3．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你立刻看到黄灯的概率是(　　)
A.B.C.D.
答案　C
解析　由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得立刻看到黄灯的概率为P＝＝.
4．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(　　)
A．1－B.－1C．2－D.
答案　A
解析　由题意得，无信号的区域面积为2×1－2×π×12＝2－，由几何概型的概率公式，得无信号的概率为P＝＝1－.
5．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为(　　)
A.B.C.D.
答案　C
解析　设AC＝xcm，则BC＝(12－x)cm(0＜x＜12)，
∴矩形面积为x(12－x)cm2，
由x(12－x)＜32，解得x＞8或x＜4，
∴0＜x＜4或8＜x＜12.
∴所求概率为＝，故选C.
6．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)
答案　A
解析　选项A中，概率P＝；选项B中，概率P＝＝；选项C中，概率P＝＝；选项D中，概率P＝，则概率最大的为A，故选A.
7．如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，DA＝DC，过顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM<AC的概率为(　　)
A.B.C.D.
答案　D
解析　由题意，在等腰△ABC中，∠ACB＝120°，DA＝DC，则AC＝AD，即AD＝AC，AB＝AC＝3AD，所以要使过顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM<AC，只要AM二、填空题
8．有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是________．
答案　
解析　从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点．
如图，记“剪得两段的长都不小于1m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的，于是事件A发生的概率P(A)＝.
9．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．
答案　
解析　设圆面半径为R，
如图所示，△ABC的面积S△ABC＝3·S△AOC＝3·AC·OD＝3·CD·OD
＝3·Rsin60°·Rcos60°＝，
∴P＝＝＝.
10．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会射箭比赛的靶面直径是122cm，黄心直径是12.2cm，运动员在距离靶面70m外射箭．假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么射中黄心的概率是________．
答案　0.01
解析　由于中靶点随机地落在面积为×π×1222cm2的大圆内，若要射中黄心，则中靶点落在面积为×π×12.22cm2的圆内，所以P＝＝0.01.
11．已知圆O：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25，则圆O上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．
答案　
解析　因为圆心(0,0)到直线l的距离为5，圆O的半径为2，所以直线l与圆O相离．设l0∥l且圆心到l0的距离为3，则满足题意的点A位于l0，l之间的弧上(不在直线l0上)，结合条件可求得该弧所对的圆心角为周角的，由几何概型的概率计算公式可得P＝.
三、解答题
12．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，求使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率．
解　在区间[－π，π]内随机取两个数记为(a，b)，表示边长为2π的正方形边界及内部(正方形的中心为原点)．要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，需4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，表示以原点为圆心，为半径的圆的圆周及外部，且在正方形的内部，所以其面积为4π2－π2＝3π2，所以有零点的概率为＝.
13.如图，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．
解　弦长不超过1，故OQ≥，因为Q点在直径AB上是随机的，设事件A为“弦长长度超过1”，由几何概型概率的计算公式得，
P(A)＝＝.所以其对立事件“弦长不超过1”的概率为P()＝1－P(A)＝1－.
四、探究与拓展
14．在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．
答案　1－
解析　如图，要使图中点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率P＝＝1－.
15．两人约定在20时到21时之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，且在20时到21时之间各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．
解　设两人分别于(20＋x)时和(20＋y)时到达约定地点(0≤x，y≤1)，要使两人能在约定时间范围内相见，则有－≤x－y≤.(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形(包括边界)来表示，满足两人在约定的时间范围内相见的(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．
因此阴影部分与单位正方形的面积比就是两人在约定时间范围内相见的可能性的大小，也就是所求的概率，即P＝＝＝.