2020版高中数学新人教B版必修3第三章概率章末复习学案（含解析）

第三章 概率章末复习
学习目标　1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率.2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.3.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率．
1．频率与概率
频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率．
2．求较复杂概率的常用方法
(1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；
(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解．
3．古典概型概率的计算：关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)＝求解．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏．
4．几何概型事件概率的计算
关键是求得事件A所占区域和整个区域的几何测度，然后代入公式求解．
1．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　√　)
2．“在适当条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型．(　×　)
3．几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　√　)
题型一　频率与概率
例1　对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品频率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？
解　(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2000，因为x是正整数，所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘．
反思与感悟　概率是个常数．但除了几何概型，概率并不易知，故可用频率来估计．
跟踪训练1　某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
解　(1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.
(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心．
(4)不一定．
题型二　互斥事件与对立事件
例2　甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解　把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．
因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.
(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为＝，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为＝，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为＋＝.
(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－＝.
反思与感悟　在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．
跟踪训练2　猎人在距离100米处射击一野兔，命中的概率为，如果第一次没有命中，则猎人进行第二次射击，但距离已是150米，如果又没有击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200米．已知猎人命中兔子的概率与距离的平方成反比，则三次内击中野兔的概率是多少？
解　三次内击中野兔，即第一次击中野兔或第二次击中野兔或第三次击中野兔，设第一、二、三次击中野兔分别为事件A，B，C.
设距离为d，命中的概率为P，则有P＝，
将d＝100，P＝代入上式，可得k＝5000，
所以P＝，
所以P(B)＝×＝，
P(C)＝××＝.
又已知P(A)＝，
所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
故三次内击中野兔的概率为.
题型三　古典概型与几何概型
例3　某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x，y，z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x，y，z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
解　(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．
所以P(B)＝＝.
反思与感悟　古典概型与几何概型的共同点是各基本事件的等可能性；不同点是前者总的基本事件有限，后者无限．
跟踪训练3　如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边边长为2，向大正方形内投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为(　　)
A.B.C.D.
答案　D
解析　设阴影小正方形边长为x，则在直角三角形中
有22＋(x＋2)2＝()2，
解得x＝1或x＝－5(舍去)，
∴阴影部分面积为1，
∴飞镖落在阴影部分的概率为.
题型四　数形结合思想在求解概率中的应用
例4　口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出1个球(不放回)，试求“第二个人摸到白球”的概率．
解　把四个人依次编号为甲、乙、丙、丁，把2个白球编上序号1,2，把2个黑球也编上序号1,2，于是四个人按顺序依次从袋内摸出1个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来，如图所示．
从上面的树形图可以看出，试验的所有可能结果为24.第二人摸到白球的结果有12种，记第二个人摸到白球为事件A，则P(A)＝＝.
反思与感悟　事件个数没有很明显的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树形图直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达．
跟踪训练4　如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(　　)
A．1－ B.－
C. D.
答案　A
解析　设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.
不妨令OA＝OB＝2，则OD＝DA＝DC＝1.
在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝＋×1×1－＝1，
所以整体图形中空白部分面积S2＝2.
又因为S扇形OAB＝×π×22＝π，
所以阴影部分面积为S3＝π－2.
所以P＝＝＝1－.
1．下列事件：
①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a，b都不为0，但a2＋b2＝0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温，其中为随机事件的是(　　)
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
答案　B
解析　任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能组不成直角三角形，故①为随机事件；
从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线可能不相交，交于一点、交于两点、交于三点，故②为随机事件；
若实数a，b都不为0，则a2＋b2一定不等于0，故③为不可能事件；
由于明年12月28日还未到来，故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，也可能低于今年12月28日的最高气温，还可能等于今年12月28日的最高气温．故④为随机事件．故选B.
2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(　　)
A．对立事件 B．互斥但不对立事件
C．不可能事件 D．必然事件
答案　B
解析　根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．
3．下列试验属于古典概型的有(　　)
①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；
②在公交车站候车不超过10分钟的概率；
③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；
④从一桶水中取出100mL，观察是否含有大肠杆菌．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案　A
解析　古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性．①符合两个特征；对于②和④，基本事件的个数有无限多个；对于③，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选A.
4．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是(　　)
A. B.
C. D．无法确定
答案　C
解析　共有4个事件“甲、乙同住房间A，甲、乙同住房间B，甲住A乙住B，甲住B乙住A”，且各事件等可能，两人各住一个房间共有两种情况，所以甲、乙两人各住一间房的概率是.
5．任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是(　　)
A.B.C.D.
答案　C
解析　三位正整数有100～999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27，28，29，共3个，故所求事件的概率为＝.
1．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A1，A2，A3，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题：
(1)本试验是不是等可能的？
(2)本试验的基本事件有多少个？
(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？
只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．
3．几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．
一、选择题
1．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件：
“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
答案　A
解析　从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，基本事件为：白白，白红，白黑，红红，红黑，黑黑．除“两球都不是白球”外，还有其他事件如白红可能发生，故①与“两球都为白球”互斥但不对立．②符合，理由同上．③两球至少有一个白球，其中包含两个都是白球，故不互斥．
2．集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{0,1,2,3,4}，点P的坐标为(m，n)，m∈A，n∈B，则点P在直线x＋y＝6上方的概率为(　　)
A.B.C.D.
答案　D
解析　基本事件总数为25，点P在直线x＋y＝6上方的个数为6，
∴P＝.
3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于(　　)
A.B.C.D.
答案　B
解析　基本事件36个，其中点数之和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，故概率为＝.
4．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，则恰有一件次品的概率为(　　)
A．0.4B．0.6C．0.8D．1
答案　B
解析　用列举法列出基本事件总数为10.事件“恰有一件次品”包含的基本事件个数为6，则P＝＝0.6.
5．某运动会期间，从来自A大学的2名志愿者和来自B大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是(　　)
A.B.C.D.
答案　C
解析　基本事件总数为15，事件包括的基本事件数为9，∴P＝＝.
6．从正方形的四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)
A.B.C.D.
答案　C
解析　共可组成10条线段，其中小于边长的有4条，故不小于边长的有6条，所以不小于边长的概率为.
7．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)
A.B.C.D.
答案　B
解析　由几何概型公式知，所求概率为半圆的面积与矩形的面积之比，则P＝＝，故选B.
二、填空题
8．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．
答案　
解析　基本事件有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10个．其中有a的事件的个数为4个，分别为ab，ac，ad，ae.故所求概率为P＝＝.
9．在区间[－3,2]上随机取一个数x，则事件“1≤x≤4”发生的概率是________．
答案　
解析　∵1≤x≤4，∴－2≤x≤0，∴所求概率P＝＝.
10．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
答案　
解析　两本数学书编号为1,2，语文书编号为3，则共有123,132,231,213,312,321,6个基本事件．其中2本数学书相邻的事件有4个，分别为123,213,312,321，故所求概率P＝＝.
11．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
答案　
三、解答题
12．如图所示，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，求弦AA′的长度大于等于半径的概率．
　　　
解　如图，当AA′的长度等于半径时，∠AOA′＝60°，使AA′大于半径的弧度为240°，所以P＝＝.
13．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10000个鱼卵孵出8513条鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：
(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？
(2)30000个鱼卵大约能孵化出多少条鱼苗？
(3)要孵化出5000条鱼苗，大约需准备多少个鱼卵(精确到百位)?
解　(1)这种鱼卵的孵化频率为＝0.8513，把它近似作为孵化的概率，即这种鱼卵的孵化概率是0.8513.
(2)设能孵化出x条鱼苗，则＝0.8513，所以x＝25539，即30000个鱼卵大约能孵化出25539条鱼苗．
(3)设大约需准备y个鱼卵，则＝0.8513，所以y≈5900，即大约需准备5900个鱼卵．
四、探究与拓展
14．设集合A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2}，从集合A和B中各随机取一个数，分别记为a，b，从而确定平面上的一个点P(a，b)，设“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(0≤n≤4，n∈N)．若事件Cn的概率最大，则n的值为________．
答案　2
解析　基本事件为：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共9个．
当n＝0时，落在直线x＋y＝0上的点只有(0,0)；
当n＝1时，落在直线x＋y＝1上的点有(0,1)，(1,0)，共2个；
当n＝2时，落在直线x＋y＝2上的点只有(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3个；
当n＝3时，落在直线x＋y＝3上的点只有(1,2)，(2,1)，共2个；
当n＝4时，落在直线x＋y＝4上的点只有(2,2)．
因此，当事件Cn的概率最大时，n＝2.
15．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解　(1)由题意，得(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3, 1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，
则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.