章末检测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下面对算法的描述正确的一项是( )
A．算法只能用自然语言来描述
B．算法只能用图形语言来表示
C．同一问题可以有不同的算法
D．同一问题的算法不同，结果必然不同
答案 C
解析 算法可以用自然语言、图形语言和程序语言来描述．同一个问题可以有不同的算法，但算法的结果相同．
2．执行如图所示的框图，输入N＝5，则输出S的值为( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 第一次循环，S＝0＋＝，k＝2；第二次循环，S＝＋＝，k＝3；第三次循环，S＝＋＝，k＝4；第四次循环，S＝＋＝，k＝5；第五次循环，S＝＋＝，此时k＝5不满足判断框内的条件，跳出循环，输出S＝，故选D.
3．下面一段程序执行后的结果是( )
a＝2；
a＝a*2；
a＝a＋2；
print a；
A．6B．4C．8D．10
答案 A
解析 由程序知a＝2,2×2＝4,4＋2＝6，故最后输出a的值为6，故选A.
4．如果以下程序运行后输出的结果是132，那么在程序中while后面的条件表达式应为( )
S＝1；
i＝12；
while 条件表达式
S＝S*i；
i＝i－1；
end
S
A．i＞11 B．i＞＝11
C．i＜＝11 D．i＜11
答案 B
解析 该程序中使用了while循环语句，当while后的条件表达式为真时执行循环体，为假时结束循环．由于输出的结果为132，所以执行了两次循环体，因此条件表达式为i＞＝11.故选B.
5．执行如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的结果是( )
A．3B．8C．10D．12
答案 B
解析 因为3＜5，执行y＝x2－1，所以输出结果为8.
故选B.
6．若如图所示的程序框图的功能是计算1××××的结果，则在空白的执行框中应该填入( )
A．T＝T×(i＋1) B．T＝T×i
C．T＝T× D．T＝T×
答案 C
解析 程序框图的功能是计算1××××的结果，依次验证选项可得C正确．
7．用更相减损之术求得420和84的最大公约数为( )
A．84 B．12
C．168 D．252
答案 A
解析 (420,84)→(336,84)→(252,84)→(168,84)→(84,84)．
8．执行下面的程序框图，如果输出的是a＝341，那么判断框中应填入的条件是( )
A．k＜4 B．k＜5
C．k＜6 D．k＜7
答案 C
解析 a＝1，k＝2；a＝5，k＝3；a＝21，k＝4；a＝85，k＝5；
a＝341，k＝6，而此时应输出a的值，故判断框中的条件应为k＜6.
9．执行如图所示的程序框图，若输出的k＝5，则输入的整数p的最大值为( )
A．7B．15C．31D．63
答案 B
解析 由程序框图可知：①S＝0，k＝1；②S＝1，k＝2；③S＝3，k＝3；④S＝7，k＝4；⑤S＝15，k＝5，输出k，此时S＝15≥p，则p的最大值为15，故选B.
10．用秦九韶算法求一元n次多项式f(x)＝anxn＋an－1×xn－1＋…＋a1x＋a0当x＝x0时的值时，一个反复执行的步骤是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由秦九韶算法可知，若v0＝an，则vk＝vk－1x＋an－k，故选B.
11．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则( )
A．a＝4B．a＝5C．a＝6D．a＝7
答案 A
解析 此程序框图的作用是计算
S＝1＋＋＋…＋的值，
由已知得S＝，即S＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－＝，
解得a＝4.
12．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是( )
A．29B．31C．61D．63
答案 D
解析 开始：p＝5，n＝1；p＝9，n＝3；p＝15，n＝7；p＝23，n＝15；p＝31，n＝31；p＝31，n＝63，此时log3163＞1，结束循环，输出n＝63.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若输入8，则下面程序执行后输出的结果是________．
t＝input(“t＝”)；
if t＜＝4
c＝0.2；
else
c＝0.2＋0.1*(t-3);
end
c
答案 0.7
解析 这是一个用条件语句编写的程序，由于输入8时，
t≤4不成立，故应有c＝0.2＋0.1×(8－3)＝0.7.
14．如图所示的程序框图表示的算法的功能是________．
答案 计算并输出使1×3×5×7×…×I≤10000成立的最大正整数I
解析 此算法中，S是累乘变量，I是累加变量，这是循环结构，当S＞10000时停止循环，输出的I的值是使1×3×5×…×I≤10000成立的最大正整数．
15．执行如图所示的程序框图，则输出结果S＝________.
答案 1007
解析 根据程序框图知，S＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2013＋2014)＝1007，故输出的S的值为1007.
16．已知五次多项式f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－，用秦九韶算法得f(－2)＝________.
答案 －
解析 ∵f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－，
∴f(－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－＝－.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)用更相减损之术求282与470的最大公约数．
解 470与282分别除以2得235和141.
∴235－141＝94,141－94＝47,94－47＝47，
∴470与282的最大公约数为47×2＝94.
18．(12分)某次数学考试中，其中某一小组的成绩为
55 89 69 73 81 56 90 74 82
请设计一个算法，用自然语言描述，从这些成绩中搜索出小于75的成绩，并画出程序框图．
解 S1 将第一个数与75比较，如果此数小于75，则输出此数；
S2 如果还有其他数，重复S1；
S3 一直到没有可输入的数为止．
程序框图如图所示．
19．(12分)利用秦九韶算法求多项式f(x)＝5x4＋2x3＋3.5x2＋2.6x＋1.7当x＝5时的值．
解 v0＝5，
v1＝5×5＋2＝27，
v2＝27×5＋3.5＝138.5，
v3＝138.5×5＋2.6＝695.1，
v4＝695.1×5＋1.7＝3477.2，
∴f(5)＝3477.2.
20．(12分)为了节约用水，学校改革澡堂收费制度，开始实行计时收费，30min以内每分钟收费0.1元，30min以上超过部分每分钟收费0.2元，编写程序并画出程序框图，要求输入洗澡时间，输出洗澡费用．
解 用y(单位：元)表示洗澡费用，x(单位：min)表示洗澡时间，则y＝
程序框图如图所示．
程序如下：
x＝input(“x＝”)；
if x＜＝30
y＝0.1*x;
else
y=3+0.2*(x-30);
end
print(%io(2),y);
21．(12分)已知函数f(x)＝对每输入的一个x值，都得到相应的函数值．画出程序框图并写出程序．
解 程序框图：
程序：
x＝input(“x＝”)；
if x>＝0
y＝x^2－1；
else
y＝2*x^2-5
end
print(%io(2),y);
22．(12分)“角谷猜想”是由日本学者角谷静夫首先提出的，所以称为“角谷猜想”．猜想的内容是：对于任意一个大于1的整数n，如果n为偶数就除以2，如果n是奇数，就将其乘3再加1，然后将得到的结果再进行以上处理，则最后结果总是1.试设计一个算法的程序框图，对任意输入的整数n(n≥2)进行检验，要求输出每一步的结果，直到结果为1时结束．
解 程序框图如图：
章末检测试卷(三)(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列事件中，随机事件的个数是( )
①2020年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④若x∈R，则x2≥0.
A．1B．2C．3D．4
答案 B
解析 ①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．
2．利用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 总体个数为N，样本容量为M，则每一个个体被抽到的概率为P＝＝＝.
3．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
答案 A
解析 由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件．
4．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 所有的基本事件总数为4，分别为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，∴两胎均是女孩的概率为.
5．已知点P是边长为4的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是( )
A.B．1－C.D.
答案 B
解析 如图所示，边长为4的正方形ABCD，分别以A，B，C，D为圆心，都以2为半径画弧截正方形ABCD后剩余部分是阴影部分．
则阴影部分的面积是42－4××π×22＝16－4π，
所以所求概率是＝1－.
6．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N：“至少一次正面朝上”，则下列结果正确的是( )
A．P(M)＝，P(N)＝
B．P(M)＝，P(N)＝
C．P(M)＝，P(N)＝
D．P(M)＝，P(N)＝
答案 D
解析 U＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，
M＝{(正，反)，(反，正)}，N＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故P(M)＝，P(N)＝.
7．某人从甲地去乙地共走了500m，途中要过一条宽为xm的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为，则河宽为( )
A．100mB．80mC．50mD．40m
答案 A
解析 因为河宽为xm，则1－＝，∴x＝100.
8．在区间[－1,4]内取一个数x，则≥的概率是( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 不等式≥，可化为x2－x－2≤0，
则－1≤x≤2，
故所求概率为＝.
9．已知平面区域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx(k∈R)下方的概率为( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线y＝kx将其面积平分，如图，故所求概率为.
10．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m>n的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足m>n的点应在梯形ABCD内，所以所求事件的概率为
P＝＝.
11．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，有10种方法．能成为勾股数的只有3,4,5一组，
∴P＝.
12．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )
A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张
答案 A
解析 由题意，为了决出胜负，最多再比赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)．所以甲获胜概率为，乙获胜概率为.
所以甲得到的游戏牌为12×＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×＝3(张)，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．袋中有3只白球和a只黑球，从中任取1只，是白球的概率为，则a＝________.
答案 18
解析 ∵＝，∴a＝18.
14．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有________人．
答案 120
解析 设男教师为n人，则女教师为(n＋12)人，
∴＝.∴n＝54，
∴参加联欢会的教师共有120人．
15．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________．
答案
解析 第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为.
16．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点出现”，则事件A∪发生的概率为________．( 表示B的对立事件)
答案
解析 事件A包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；表示“大于等于5的点出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”．显然A与是互斥的，故P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知关于x的一次函数y＝mx＋n.
(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；
(2)实数m，n满足条件求函数y＝mx＋n的图象经过第一、二、三象限的概率．
解 (1)抽取的全部结果的基本事件有：
(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个，
设“使函数为增函数的事件”为A，则A包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个，所以P(A)＝＝.
(2)m，n满足条件的区域如图所示．
要使函数的图象过第一、二、三象限，则m>0，n>0，故使函数图象过第一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，
∴所求事件的概率为P＝＝.
18．(12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解 (1)甲、乙出手指都有5种可能，因此基本事件的总数为5×5＝25(种)，事件A包括甲、乙出的手指的情况有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种情况，
∴P(A)＝＝.
(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．
(3)这种游戏规则不公平．因为和为偶数的基本事件数为13，即(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．
所以甲赢的概率为，乙赢的概率为.
所以这种游戏规则不公平．
19．(12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
解 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：
由以上树形图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，共4种，故所求概率P＝＝.
20．(12分)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如下表：
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解 (1)设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得＝，所以n＝2000.
则z＝2000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意得＝，即a＝2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，
则基本事件空间包含的基本事件为：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．事件E包含的基本事件为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．
故P(E)＝，即所求概率为.
(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.
设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包含的基本事件为：9.4,8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为.
21．(12分)M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩(单位：分)如茎叶图所示，公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．
(1)求男生成绩的中位数及女生成绩的平均数；
(2)如果用分层抽样的方法从“甲部门”和“乙部门”中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”的概率是多少？
解 (1)男生共有14人，中间两个成绩是175和176，因此男生成绩的中位数是175.5.
女生成绩的平均数＝＝181.
(2)用分层抽样的方法从“甲部门”和“乙部门”20人中抽取5人，每个人被抽中的概率是＝.
根据茎叶图，“甲部门”有8人，“乙部门”有12人．
所以选中的“甲部门”的有8×＝2(人)，“乙部门”的有12×＝3(人)．
记选中的“甲部门”的为A1，A2，选中的“乙部门”的为B，C，D.从这5人中选2人的所有可能情况为(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10种．
其中至少有一人是“甲部门”的结果有7种．
因此，至少有一人是“甲部门”的概率是.
22．(12分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.
(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率；
(2)将a，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
解 先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．
(1)∵直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切，
∴＝1，整理，得a2＋b2＝25.
由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，
∴满足条件的情况只有a＝3，b＝4或a＝4，b＝3两种情况．
∴直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率是＝.
(2)∵三角形的一条边长为5，三条线段围成等腰三角形，
∴当a＝1时，b＝5，共1个基本事件；
当a＝2时，b＝5，共1个基本事件；
当a＝3时，b＝3,5，共2个基本事件；
当a＝4时，b＝4,5，共2个基本事件；
当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6，共6个基本事件；
当a＝6时，b＝5,6，共2个基本事件；
∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14(个)．
∴三条线段能围成等腰三角形的概率为＝.
章末检测试卷(三)(B)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．以下事件是随机事件的是( )
A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄
C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大
答案 C
解析 A，B，D是必然事件．
2．盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个，从中随机取出1个，若它是肉馅包子的概率为，它不是豆沙馅包子的概率为，则素馅包子的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
答案 C
解析 由题意，可知这个包子是肉馅或素馅的概率为，所以它是素馅包子的概率为－＝，故素馅包子的个数为10×＝3.
3．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”的关系为( )
A．两事件是互斥但非对立事件
B．两事件是对立事件
C．两事件的和事件是不可能事件
D．两事件的积事件是必然事件
答案 A
解析 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．
4．(2018·钦州期中)根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为( )
A．15%B．20%C．45%D．65%
答案 D
解析 因为某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，现在能为A型病人输血的有O型和A型，故为病人输血的概率为50%＋15%＝65%，故选D.
5．根据某市疾控中心的健康监测，该市在校中学生的近视率约为78.7%.某眼镜厂商要到一中学给近视学生配送滴眼液，每人一瓶，已知该校学生总数为600人，则眼镜商应带滴眼液的数目为( )
A．600 B．787
C．不少于473 D．不多于473
答案 C
解析 由概率的意义，该校近视生人数约为78.7%×600＝472.2，结合实际情况，应带滴眼液不少于473瓶．
6．如图所示，将一个长与宽不等的长方形沿对角线分成四个区域，并涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，则下列对指针停留在各区域的可能性的说法正确的是( )
A．一样大 B．蓝白区域大
C．红黄区域大 D．由指针转动的圈数决定
答案 B
解析 哪个区域的张角大，则指针停留在哪个区域的可能性大，显然蓝、白区域的角度大，故选B.
7．小丽和小明一起用A，B两枚均匀的小正方体(小正方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏，以小丽掷出的A小正方体朝上的数字为x，小明掷出的B小正方体朝上的数字为y，来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在抛物线y＝－x2＋4x上的概率为( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 根据题意，两人各掷小正方体一次，每人都有6种可能性，则点P(x，y)的情况有6×6＝36种可能，而y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，即(x－2)2＋y＝4，易得在抛物线上的点有(2,4)，(1,3)，(3,3)共3种．因此满足条件的概率为＝.
8．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 根据题意作出满足条件的几何图形求解．
如图所示，
正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是.
9．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法( )
A．公平，每个班被选到的概率都为
B．公平，每个班被选到的概率都为
C．不公平，6班被选到的概率最大
D．不公平，7班被选到的概率最大
答案 D
解析 P(1)＝0，P(2)＝P(12)＝，P(3)＝P(11)＝，P(4)＝P(10)＝，
P(5)＝P(9)＝，P(6)＝P(8)＝，P(7)＝，故选D.
10．下列概率模型中，几何概型的个数为( )
①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
②从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；
③向一个边长为4cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1cm的概率．
A．1B．2C．3D．0
答案 B
解析 ①是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；②不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；③是几何概型，因为在边长为4cm的正方形和半径为1cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故满足无限性和等可能性．
11．如图所示，在正方形围栏内均匀地撒入米粒，一只小鸡在其中随意啄食，则小鸡在正方形的内切圆中的概率是( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 设正方形的边长为2R.
由几何概型的概率公式可得P＝＝，
即小鸡在正方形的内切圆中的概率为.
12．(2018·湖北省部分重点中学考试)某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天，日销售量为20个的3天记为a，b，c，日销售量为21个的2天记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率P＝，故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物________只．
答案 12000
解析 设保护区内有这种动物x只，因为每只动物被逮到的概率是相同的，所以＝，解得x＝12000.
14．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，我就去；如果落地后两面一样，你就去！”你认为这个游戏________(“公平”或“不公平”)．
答案 公平
解析 向空中同时抛两枚同样的一元硬币，落地后的结果有“正正”“反正”“正反”“反反”四种情况，其中“一正一反”和“两面一样”的概率都是，因此游戏是公平的．
15．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是________________．
答案
解析 由题意可知即
解得所以
16．如图所示，有一个正十二面体，12个面上分别写有1～12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率为________．
答案
解析 由题意可知，所有的基本事件数为12，其中为2或3的倍数的是2,3,4,6,8,9,10,12，共8个，故所求的概率为＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)体育彩票的抽奖方式是从写在36个球上的不同号码中随机摇出7个．有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码；也有人说，由于每个号码出现的机会相等，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，则应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？
解 体育彩票抽奖时所用的标有36个号码的球大小、重量是一致的，严格地说，为了保证公平，每次用的36个球，只允许用一次，除非能保证用过一次后，球没有磨损、变形．因此，不难看出，以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响，上述两种说法都是错的．
18．(12分)(CB即CitizenBand民用波段的英文缩写)两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都在卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3：00时莉莉在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：00时他们能够通过对讲机交谈这一概率有多大？
解 设x和y分别代表莉莉和霍伊距基地的距离，于是0≤x≤30,0≤y≤40，则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x，y)，这里x，y都在它们各自的限制范围内，则所有这样有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置，他们可以通过对讲机交谈这一事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生(如图)．
因此构成该事件的点由满足不等式≤25的数对组成，此不等式等价于x2＋y2≤625，图中的长方形区域代表总的基本事件，阴影部分代表所求事件，长方形区域的面积为1200平方公里，
而阴影部分的面积为π·(25)2＝(平方公里)．
于是有P＝＝＝.
19．(12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.
组号
分组
频数
1
[4,5)
2
2
[5,6)
8
3
[6,7)
7
4
[7,8]
3
(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
解 方法一 (1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2，从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．
其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个，所以所求的概率P＝.
(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5×＋5.5×＋6.5×＋7.5×＝6.05.
方法二 (1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2，从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．
其中，没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{B1，B2}，共1个．
所以所求的概率P＝1－＝.
(2)同方法一．
20．(12分)已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．
(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．
解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，
由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，
所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个．
故满足a·b＝－1的概率为＝.
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为
Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}．
满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}．
画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形＝25，
阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，
故满足a·b<0的概率为.
21．(12分)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
解 (1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．
因此，事件M发生的概率P(M)＝＝.
22．(12分)某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；
(2)已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女生的概率．
解 (1)设第2组[30,40)的频率为f2，
f2＝1－(0.005＋0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.35；
第4组的频率为0.02×10＝0.2.
所以被采访人恰好在第2组或第4组的概率为P1＝0.35＋0.2＝0.55.
(2)设第1组[20,30)的频数为n1，则n1＝120×0.005×10＝6.
记第1组中的男性为x1，x2，女性为y1，y2，y3，y4，
随机抽取3名群众的基本事件是：(x1，x2，y1)，(x1，x2，y2)，(x1，x2，y3)，(x1，x2，y4)，(x1，y2，y1)，(x1，y3，y2)，(x1，y1，y3)，(x1，y4，y1)，(x1，y2，y4)，(x1，y3，y4)，(x2，y2，y1)，(x2，y3，y2)，(x2，y1，y3)，(x2，y4，y1)，(x2，y2，y4)，(x2，y3，y4)，(y1，y2，y3)，(y1，y2，y4)，(y2，y3，y4)，(y1，y3，y4)共20种．其中至少有两名女性的基本事件是：(x1，y2，y1)，(x1，y3，y2)，(x1，y1，y3)，(x1，y4，y1)，(x1，y2，y4)，(x1，y3，y4)，(x2，y2，y1)，(x2，y3，y2)，(x2，y1，y3)，(x2，x4，y1)，(x2，y4，y4)，(x2，y3，y4)，(y1，y2，y3)，(y1，y2，y4)，(y2，y3，y4)，(y1，y3，y4)共16种．所以至少有两名女性的概率为P2＝＝.
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．①某学校高二年级共有526人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查；②一次数学考试中，某班有10人的成绩在100分以上，32人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；③运动会的工作人员为参加4×100m接力赛的6支队伍安排跑道．针对这三件事，恰当的抽样方法分别为( )
A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样
B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样
C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样
D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样
答案 D
解析 ①中，总体容量较大，抽取的样本容量较大，用系统抽样比较恰当；②中，考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层抽样比较恰当；③中，总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当．
2．某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图(单位：分)，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x＋y的值为( )
A．7B．8C．9D．10
答案 B
解析 由茎叶图及甲班学生成绩的众数是85，可知x＝5，而乙班学生成绩的中位数是83，所以y＝3，所以x＋y＝5＋3＝8.故选B.
3．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A．91.5和91.5 B．91.5和92
C．91和91.5 D．92和92
答案 A
解析 将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96.故中位数为＝91.5.平均数为＝91＋＝91.5.
4．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，直方图中该组对应的小长方形的高为h，则|a－b|等于( )
A．hm B.
C. D．h＋m
答案 B
解析 ＝h，∴|a－b|＝组距＝＝.
5．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形．若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )
A．28B．40C．56D．60
答案 B
解析 频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1.设中间小长方形的面积为x，则有x＋x＝1，解得x＝.因为样本容量为140，所以中间一组的频数为140×＝40.故选B.
6．一个容量为80的样本中，数据的最大值是140，最小值是50，组距是10，则应该将样本数据分为( )
A．10组 B．9组
C．8组 D．7组
答案 B
解析 组数＝＝＝9.
7．若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则3x1＋5,3x2＋5，…，3xn＋5的平均数和标准差分别为( )
A.，s B．3＋5，s
C．3＋5,3s D．3＋5，
答案 C
解析 ∵x1，x2，…，xn的平均数为，
∴3x1＋5,3x2＋5，…，3xn＋5的平均数为3＋5，
s′2＝[(3x1＋5－3－5)2＋…＋(3xn＋5－3－5)2]
＝×32[(x1－)2＋…＋(xn－)2]＝9s2.
∴s′＝3s.
8．如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图，分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，则在区间[98,100)上的频数为( )
A．0.100 B．0.200
C．20 D．0.010
答案 C
解析 区间[98,100)上小矩形的面积为0.100×2＝0.200，所以区间[98,100)上的频数为100×0.200＝20，故选C.
9．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计图用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用甲、乙表示，则下列结论正确的是( )
A.甲＞乙，且甲比乙成绩稳定
B.甲＞乙，且乙比甲成绩稳定
C.甲＜乙，且甲比乙成绩稳定
D.甲＜乙，且乙比甲成绩稳定
答案 A
解析 甲＝90，乙＝88，∴甲＞乙，甲的成绩的方差是×(4＋1＋0＋1＋4)＝2，乙的成绩的方差是×(25＋0＋1＋1＋9)＝7.2，故甲成绩稳定．
10．某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重(kg)，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60)内适合投掷相关方面训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为( )
A．4∶3∶1 B．5∶3∶1
C．5∶3∶2 D．3∶2∶1
答案 B
解析 体重在[45,50)内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50,55)内的频率为0.06×5＝0.30，体重在[55,60)内的频率为0.02×5＝0.1，
∵0.5∶0.3∶0.1＝5∶3∶1，
∴可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5∶3∶1，故选B.
11．下列关于线性回归的判断，正确的个数为( )
①若散点图中所有的点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；
②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的点A，B，C；
③已知回归直线方程＝0.50x－0.81，则当x＝25时，y的估计值为11.69；
④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．
A．0B．1C．2D．3
答案 D
解析 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而由回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数，，得到的直线＝x＋才是回归直线，所以①不对；②正确；将x＝25代入＝0.50x－0.81，解得＝11.69，所以③正确；④正确，所以选D.
12．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是( )
①平均数≤3；②标准差s≤2；③平均数≤3且标准差s≤2；④平均数≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1.
A．①②B．③④C．③④⑤D．④⑤
答案 D
解析 ①②③不符合，④符合，若极差等于0或1，在≤3的条件下，显然符合指标；若极差等于2且≤3，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：(1)0,2，(2)1,3，(3)2,4，符合指标．⑤符合，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标，故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)：
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．
答案 30
解析 由题意知，＝，解得a＝30.
14．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)跟踪调查结果如下：
甲：3,4,5,6,8,8,8,10；
乙：4,6,6,6,8,9,12,13；
丙：3,3,4,7,9,10,11,12.
三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲______，乙______，丙________．
答案 众数 平均数 中位数
解析 甲、乙、丙三个厂家从不同角度描述了一组数据的特征．甲：该组数据8出现的次数最多；乙：该组数据的平均数＝＝8；丙：该组数据的中位数是＝8.
15．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．
答案 2
解析 由表中数据计算可得甲＝90，乙＝90，且
s＝[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，
s＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2，
由于s＞s，故乙的成绩较为稳定，其方差为2.
16．某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
3
4
5
6
销售额y(万元)
25
30
40
45
根据上表可得回归直线方程＝x＋中的为7.据此模型预测广告费用为10万元时销售额为________万元．
答案 73.5
解析 由题表可知，＝4.5，＝35，
代入回归直线方程＝7x＋，得＝3.5，
所以回归直线方程为＝7x＋3.5，
所以当x＝10时，＝7×10＋3.5＝73.5(万元)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)某市化工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：
第一车间
第二车间
第三车间
女工
173
100
y
男工
177
x
z
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，则应在第三车间抽取多少名工人？
解 (1)依题意有＝0.15，解得x＝150.
(2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350，第二车间的工人数是100＋150＝250，
∴第三车间的工人数是1000－350－250＝400.
设应从第三车间抽取m名工人，则有＝，
解得m＝20，
∴应在第三车间抽取20名工人．
18．(12分)有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，特制了一份有10道题的问卷到各学校进行问卷调查．某中学A，B两个班各被随机抽取了5名学生接受问卷调查．A班5名学生得分为：5,8,9,9,9；
B班5名学生得分为：6,7,8,9,10(单位：分)．
请你估计A，B两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些．
解 A班的5名学生的平均得分为(5＋8＋9＋9＋9)÷5＝8，
方差s＝×[(5－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2]＝2.4；
B班的5名学生的平均得分为(6＋7＋8＋9＋10)÷5＝8，
方差s＝×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝2.
∴s＞s，
∴B班的预防知识的问卷得分要稳定一些．
19．(12分)抽样调查30个工人家庭的人均月收入，得到如下数据(单位：元)：
404 444 556 430 380 420 500 430 420 384
420 404 424 340 424 412 388 472 358 476
376 396 428 444 366 436 364 438 330 426
(1)取组距为60，起点为320，列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)根据频率分布直方图估计人均月收入在[440,560]上的家庭所占的百分比．
解 (1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[320,380)
6
0.20
[380,440)
18
0.60
[440,500)
4
0.13
[500,560]
2
0.07
合计
30
1.00
(2)频率分布直方图如图：
(3)人均月收入落在[440,560]上的家庭所占的频率为0.13＋0.07＝0.2＝20%.所以估计人均月收入在[440,560]上的家庭所占的百分比为20%.
20．(12分)从全校参加科技知识竞赛的学生试卷中，抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布．将样本分成5组，绘成频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小组的小长方形的高的比是1∶3∶6∶4∶2，最后一组的频数是6.
请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题：
(1)样本的容量是多少？
(2)列出频率分布表；
(3)成绩落在哪个范围内的人数最多？并求该小组的频数、频率；
(4)估计这次竞赛中，成绩不低于60分的学生占总人数的百分比．
解 (1)由于各组的组距相等，所以各组的频率与各小长方形的高成正比且各组频率的和等于1，那么各组的频率分别为，，，，.设该样本容量为n，则＝，所以样本容量n＝48.
(2)由(1)及已知得频率分布表如下：
成绩
频数
频率
[50.5,60.5)
3
[60.5,70.5)
9
[70.5,80.5)
18
[80.5,90.5)
12
[90.5,100.5]
6
合计
48
1
(3)成绩落在区间[70.5,80.5)内的人数最多，该组的频数和频率分别是18和.
(4)不低于60分的学生占总人数的百分比约为×100%＝93.75%.
21．(12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药、B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2
3．5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1
2．3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3
1．4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2
2．7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成如图所示的茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
解 (1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.
由观测结果可得：
＝×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
＝×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6，
由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好．
(2)由观测结果可绘制茎叶图如图．
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A药的疗效更好．
22．(12分)某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)已知两变量线性相关，求y关于t的回归直线方程；
(2)利用(1)中的回归直线方程，分析2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－.
解 (1)由所给数据计算得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝＝＝0.5，
＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，
故所求回归直线方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，＝0.5＞0，故2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2019年的年份代号t＝9代入(1)中的回归直线方程，
得＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
